數(shù)學(xué)歷史的啟示
2006-8-18 15:40:00 人教網(wǎng) 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 龔升 |
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首先，我要感謝國際數(shù)學(xué)奧林匹克（香港）委員會及香港教育署讓我有機(jī)會在“數(shù)學(xué)普及講座及交流系列”上作講演,。尤其要感謝國際數(shù)學(xué)奧林匹克（香港）委員會主席岑嘉評教授及譚炳均博士,。我也要感謝今天來出席會議的各位香港的中學(xué)老師和同學(xué)。再過三天就要過春節(jié)了,，大家都很忙,，有很多事情要做，可是還抽空來聽我的講演,，使我很感動,。
這次講演,，打算講以下幾點(diǎn)：
一、百年前的講演
二,、百年前的講演的啟示
三,、算術(shù)與代數(shù)
四、幾何與三角
五,、微積分
六,、幾點(diǎn)啟示
七、結(jié)束語
一,、百年前的講演
今天是2001年1月20日,，二十一世紀(jì)剛剛開始了20天。在100年前,，即1904年8月5日,，德國數(shù)學(xué)家davidhilbert（1862—1943）在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。這是載入數(shù)學(xué)史冊的重要講演,。他在講演的前言和結(jié)束語中,，對數(shù)學(xué)的意義、源泉,、發(fā)展過程及研究方法等,，發(fā)表了許多精辟的見解。而整個(gè)講演的主體,，則是他根據(jù)十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢而提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題,，這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域。一百年來,，這些問題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣，100年過去了,，這些問題近一半已經(jīng)解決或基本解決,，但還有些問題雖取得了重大進(jìn)展，但未最后解決,，如：riemann猜想,，goldbach猜想等。
100年過去了,，對hilbert在1900年提出的23個(gè)問題,，現(xiàn)在回過頭來看，有不少評論,。但是很多人認(rèn)為：這些問題,，對推動二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的作用，當(dāng)然也有評論說其不足之處,，例如：這23個(gè)問題中未能包括拓?fù)鋵W(xué),、微分幾何等在二十世紀(jì)成為前沿學(xué)科的領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問題,；除數(shù)學(xué)物理外很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)待等。當(dāng)然更不會想到二十世紀(jì)電腦的大發(fā)展及其對數(shù)學(xué)的重大影響,。二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)際上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了hilbert問題所預(yù)示的范圍,。
d。hilbert是十九世紀(jì)和二十世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上高聳著的三位偉大數(shù)學(xué)家之一,，另外二位是henripoincare（1854—1912）及felixklein（1849—1925）,，他們的數(shù)學(xué)思想及對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，既反射出十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的光輝,，也照耀著二十世紀(jì)數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路,。
d。hilbert是在上一個(gè)世紀(jì),，新,、舊世紀(jì)交替之際作的講演，現(xiàn)在又一個(gè)新的世紀(jì)開始了,，再來看看他的講演,，其中一些話，現(xiàn)在仍然適用,，例如在講演一開始,，他說“我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢,？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo),？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會帶來什么樣的新方法和新成果,？”他還接著說：“歷史教導(dǎo)我們,，科學(xué)的發(fā)展具有連續(xù)性。我們知道,，每個(gè)時(shí)代都有它自己的問題,，這些問題后來或者得以解決，或者因?yàn)闊o所裨益而被拋到一邊并代之以新的問題,。因?yàn)橐粋€(gè)偉大時(shí)代的結(jié)束,，不僅促使我們追潮過去，而且把我們的思想引向那未知的將來,。”
二十世紀(jì)無疑是一個(gè)數(shù)學(xué)的偉大時(shí)代,，二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)將會更加輝煌。“每個(gè)時(shí)代都有它自己的問題”,，二十世紀(jì)來臨時(shí),，hilbert提出了他認(rèn)為是那個(gè)世紀(jì)的23個(gè)問題。這些問題對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的推動作用,，但二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他所提出的問題,。那么二十一世紀(jì)的問題又是什么呢,？hilbert1900年在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上提出這些問題時(shí)，才38歲,，但已經(jīng)是當(dāng)時(shí)舉世公認(rèn)的德高望重的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家之一,。大家知道，2002年國際數(shù)學(xué)家大會將在中國北京召開,，這是國際數(shù)學(xué)家大會第一次在第三世界召開,，那么在這新舊世紀(jì)交替之際，會不會有像hilbert這樣崇高威望的人在會上提出他認(rèn)為的二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)問題或是以其他的形式展望二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué),？這個(gè)我當(dāng)然不知道,，但這些年來，已有不少數(shù)學(xué)家提出他自己認(rèn)為的二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)問題,，但往往是“仁者見仁,，智者見智”。
二,、百年前的講演的啟示
對hilbert的23個(gè)問題不在這里介紹了,，因?yàn)樗搅酥袑W(xué)數(shù)學(xué)的范圍。但百年前,，hilbert演講中對數(shù)學(xué)的一些見解都是非常的深刻,，百年過去了，重讀他的演講,，依然得到很多啟示,，我也不可能在這短短的一個(gè)多小時(shí)內(nèi)，對他的演講的各個(gè)部分來闡述自己的體會,，我只想講一點(diǎn)對他說的其中的一段話自己的粗淺認(rèn)識,。
從十七世紀(jì)六十年代，微積分發(fā)明以來,，數(shù)學(xué)得到了極大的發(fā)展,，分支也愈來愈多。開始時(shí)一些大數(shù)學(xué)家,，對各個(gè)分支都懂，并且做出了很重大的貢獻(xiàn),。但后來數(shù)學(xué)的分支愈分愈細(xì),，全面懂得各個(gè)分支的數(shù)學(xué)家愈來愈少，到十九世紀(jì)末,，hilbert做講演時(shí),，已經(jīng)是這種情況，于是在講演中,，他說了這樣一段話：“然而,，我們不禁要問,，隨著數(shù)學(xué)知識的不斷擴(kuò)展，單個(gè)的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎,？為了回答這個(gè)問題,，我想指出：數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會有助于理解已有的理論并把陳舊的,、復(fù)雜的東西拋到一邊,，數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的。因此,，對于個(gè)別的數(shù)學(xué)工作者來說,，只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中比其它科學(xué)更容易地找到前進(jìn)的道路,。”,。一百年過去了，數(shù)學(xué)發(fā)展得更為廣闊與深人,，分支愈來愈多,，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已有六十個(gè)二級學(xué)科、四百多個(gè)三級學(xué)科,，更是不得了,，所以hilbert的上述這段話現(xiàn)在顯得更為重要。不僅如此,，hilbert的這段話實(shí)際上講的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程,，十分深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個(gè)新陳代謝，吐故納新的過程,，是一些新的有力的工具,，更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的,、復(fù)雜的東西被拋棄的過程,，是“高級”的數(shù)學(xué)替代“低級”的數(shù)學(xué)的過程，而“數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的,。”事實(shí)上,，在數(shù)學(xué)的歷史中，一些新的有力的工具,，更簡單的方法的發(fā)現(xiàn),，往往標(biāo)志著一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，是一些老的分支的衰落甚至結(jié)束,。
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回顧一下我們從小開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程,，就是在重復(fù)這個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。一些數(shù)學(xué)雖然后來被更有力的工具和更簡單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了,，即“低級”的被“高級”的所替代了,，但在人們一生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,，卻不能只學(xué)習(xí)“高級”的，而完全不學(xué)習(xí)“低級”的,，完全省略掉學(xué)習(xí)“低級”的過程,。這是因?yàn)槿藗冸S著年齡的不斷增加，學(xué)習(xí)與他的年齡與智力相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)才是最佳選擇,，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程,，沒有“低級”的數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)，很難理解與學(xué)習(xí)好“高級”的數(shù)學(xué),。
以下我們從hilbert講演中的這一段精辟的論述的角度來認(rèn)識我們的中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程,。我只是從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來討論問題，為大家從數(shù)學(xué)教育的角度來討論問題作參考,。但我必須強(qiáng)調(diào)的是：從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來考慮問題與從數(shù)學(xué)教育的角度來考慮問題雖有聯(lián)系,，但是是不一樣的。
三,、算術(shù)與代數(shù)
人類有數(shù)的概念,，與人類開始用火一樣古老，大約在三十萬年前就有了,。但是有文字記載的數(shù)學(xué)到公元前3400年左右才出現(xiàn),。至于數(shù)字的四則運(yùn)算則更晚，在我國,，《九章算術(shù)》是古代數(shù)學(xué)最重要的著作,，是從先秦到西漢中葉的眾多學(xué)者不斷修改、補(bǔ)充而成的一部數(shù)學(xué)著作,，成書年代至遲在公元前一世紀(jì),。這是一本問題集形式的書，全書共246個(gè)題,，分成九章,，包含十分豐富的內(nèi)容。在這本書中有分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則,、比例算法,、盈不足術(shù)、解三元線性代數(shù)方程組,、正負(fù)數(shù),、開方以及一些計(jì)算幾何圖形的面積與體積等。在西方,，也或遲或早地出現(xiàn)了這些內(nèi)容，而這些內(nèi)容包括我們從小學(xué)一直到中學(xué)所學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程的全部內(nèi)容,。也就是說人類經(jīng)過了幾千年才逐步弄明白建立起來的“算術(shù)”的內(nèi)容,，現(xiàn)在每個(gè)人在童年時(shí)代花幾年才逐步弄明白建立起來的“算術(shù)”的內(nèi)容,，現(xiàn)在每個(gè)人在童年時(shí)代花幾年就全部學(xué)會了。對于“算術(shù)”來講,，“真正的進(jìn)展”是由于“更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)”,，這個(gè)工具與方法是“數(shù)字符號化”，從而產(chǎn)生了另一門數(shù)學(xué)“代數(shù)”,，即現(xiàn)在中學(xué)中的“代數(shù)”課程的內(nèi)容,。在我國，這已是宋元時(shí)代（約十三世
紀(jì)五六十年代）,，當(dāng)時(shí)的著作中,，有“天元術(shù)”和“四元術(shù)”，也就是讓未知數(shù)記作為“天元”,、“x”,，后來將二個(gè)、三個(gè)及四個(gè)未知數(shù)記作為“天”,、“地”,、“人”、“物”等四元,，也就是相當(dāng)于現(xiàn)在用x,，y，z,，w來表達(dá)四個(gè)未知數(shù),，有了這些“元”，也就可以解一些代數(shù)方程與聯(lián)立線性代數(shù)方程組了,。在西方徹底完成數(shù)字符號化是在十六世紀(jì)?，F(xiàn)在中學(xué)生學(xué)習(xí)的“代數(shù)”的內(nèi)容：包括一元二次方程的解，多元（一般為二元,，三元至多四元）聯(lián)立方程的解等,。當(dāng)然在“數(shù)字符號化”之前，一元二次方程的解,，多元聯(lián)立方程的解也是已經(jīng)出現(xiàn),，例如我國古代已經(jīng)有一些解一般數(shù)字系數(shù)的代數(shù)方程的“算法程序”，但這些都是用文字來表達(dá)的,，直到“數(shù)字符號化”之后,，才出現(xiàn)了現(xiàn)在中學(xué)代數(shù)的內(nèi)容的形式。
由“數(shù)字符號化”而產(chǎn)生的中學(xué)“代數(shù)”的內(nèi)容,，的的確確是“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”,。“代數(shù)”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，“算術(shù)”顧名思義，可以理解為“計(jì)算的方法”,，而“代數(shù)”可以理解為“以符號替代數(shù)字”,，即“數(shù)字符號化”。人類從“算術(shù)”走向“代數(shù)”經(jīng)歷了千年,。但在中學(xué)的課程中,，卻只花短短的幾年，就可以全部學(xué)會這些內(nèi)容,。
回憶我在童年時(shí)代,，在小學(xué)學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程時(shí)，感到很難,，例如：求解“雞兔同籠”題,，即：一個(gè)籠子中關(guān)著若干只雞，若干只兔,，已知共有多少個(gè)頭,，多少只腳，求有多少只雞,，多少只兔,？當(dāng)時(shí)老師講的求解的方法，現(xiàn)在已完全記不得了,，留下的印象是感到很難,，而且納悶的是：雞與兔為何要關(guān)在一個(gè)籠子里？既數(shù)得清有多少個(gè)頭及多少只腳,？為何數(shù)不清有多少只雞與多少只兔,？等到初中時(shí)，學(xué)習(xí)了“代數(shù)”課程,，才恍然大悟,，這不過是二元一次聯(lián)立代數(shù)方程組，解方程組十分簡單方便,，這不僅可以用來解“雞兔同籠”,，即使將鴨與狗關(guān)在一個(gè)房間中，來數(shù)頭數(shù)與腳數(shù),，不妨叫做“鴨狗同室”問題,，對這樣的問題一樣可以解。因之,，“代數(shù)”顯然比“算術(shù)”來得“高級”,，這的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，而這些工具和方法同時(shí)會有助于理解已有的理論并把“陳舊的,、復(fù)雜的東西拋到一邊”,，也就是從“代數(shù)”的角度來理解“算術(shù)”可以理解得更深刻,，而可以把“算術(shù)”中一些復(fù)雜的，處理個(gè)別問題的方法拋到一邊去,。
在這里,，我要重復(fù)說一遍，盡管中學(xué)的“代數(shù)”比小學(xué)的“算術(shù)”來得“高級”,，是“更有力的工具與更簡單的方法”，但并不意味著小學(xué)的“算術(shù)”就可以不必學(xué)了,，因?yàn)椋?/p>
?。?）“算術(shù)”中的一些內(nèi)容不能完全被“代數(shù)”所替代，如四則運(yùn)算等,；
?。?）即使能被替代的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)一些,，有利于對“代數(shù)”內(nèi)容的認(rèn)識與理解,；
（3）從教育學(xué)的角度考慮,，這里有循序漸進(jìn)的問題,，有學(xué)生不同年齡段的接受能力的問題等等。
作為中學(xué)“代數(shù)”中的一個(gè)重要內(nèi)容是解多元一次聯(lián)立方程組,，在中學(xué)“代數(shù)”的教材中,，一般著重講二元或三元一次聯(lián)立方程組，所用的方法往往是消元法,。但是如果變元為四個(gè)或更多時(shí),，就得另想辦法來建立起多元一次聯(lián)立方程組的理論。經(jīng)過很多年的努力,，矩陣的想法產(chǎn)生了,，這不但給出了多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學(xué)科“線性代數(shù)”,。這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”,，由于“更有力的工具和更簡單的方法”，即“矩陣”的發(fā)現(xiàn),，不僅對多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的理解更為清楚,、更為深刻，由于有了統(tǒng)一處理方法,，可以把個(gè)別地處理方程組的方法“拋到一邊”,。
當(dāng)然，“線性代數(shù)”是大學(xué)的課程,，但它的產(chǎn)生的確再次印證了hilbert所說的那段話,。在中學(xué)“代數(shù)”中的另一個(gè)重要內(nèi)容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術(shù)》中已有解一般一元二次方程的算法,，后來有很多的發(fā)展,，直到al-khowarizmi（約783—850）相當(dāng)于給出了一般形式的一元二次方程。
1545年g.cardano（1501-1576）公布了由n.fontana（1499－1557）發(fā)現(xiàn)了解一元三次方程的解,，而一元四次方程的解由l.ferrari（1522—1565）所解決,。于是當(dāng)時(shí)大批的數(shù)學(xué)家致力于更高次方程的求根式解，即企圖只對方程的系數(shù)作加,、減,、乘、除和求正整數(shù)次方根等運(yùn)算來表達(dá)方程的解,。經(jīng)過了二個(gè)世紀(jì)的努力,，大批數(shù)學(xué)家都失敗了，直到1770年j.·lagrange（1736—1813）看到了五次及高次方程不可能做到這點(diǎn),，又過了半個(gè)世紀(jì),，1824年，n.·abel（1802—1829）解決了這個(gè)問題,，即對于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的,。但什么樣的特殊的代數(shù)方程能用根式來求解，這是e·galois（1811—1832）所解決,，而更為重要的是：為了解決這個(gè)問題,，他建立起“群”的概念，這就意味著現(xiàn)代代數(shù)理論的產(chǎn)生,，這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”,。它是由于“更有力的工具和更簡單的方法”，即“群”的發(fā)現(xiàn)而造成的,，有了“群”以及后來發(fā)展起來的現(xiàn)代代數(shù)理論,，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數(shù)方程求根式解的問題,，而的確可以把以往那些“陳舊的,、復(fù)雜的東西拋到一邊”。
雖然“群”等近代代數(shù)的內(nèi)容已超出中學(xué)教學(xué)的內(nèi)容,，但代數(shù)方程求根式解問題的提出到徹底解決,，這三百年的過程，十分確切地印證了前面不斷重復(fù)的hilbert所說的那段話,。
“群”的作用在歷史上及現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都是不可估量的,。例如：1872年klein提出著名的erlangerprogramm，即認(rèn)為各種幾何學(xué)就是研究各種不同變換群下的不變性質(zhì),。這個(gè)數(shù)學(xué)思想,，不僅對幾何學(xué)的發(fā)展,，而且對整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了巨大的作用。
選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年10月上
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