在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演,。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢,，提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個問題通稱希爾伯特問題,，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān),，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用,，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決,，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念,，對于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞,。

希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題,；第7到第12問題是數(shù)論問題,；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析,。

（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題,。

1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù),，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè),。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年,，美國數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨立,。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明,。在這個意義下,，問題已獲解決。

（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性,。

歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性,。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定,。根茨（G.Gentaen,，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。

（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的,。

問題的意思是：存在兩個登高等底的四面體,，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決,。

（4）兩點間以直線為距離最短線問題,。

此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多,，因而需要加以某些限制條件,。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布,，在對稱距離情況下,，問題獲解決。

（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?br>
這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性,，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群,。1952年，由格里森（Gleason）,、蒙哥馬利（Montgomery）,、齊賓（Zippin）共同解決。1953年,，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果,。

（6）對數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。

1933年,，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘?。后來，在量子力學(xué),、量子場論方面取得成功,。但對物理學(xué)各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。

（7）某些數(shù)的超越性的證明,。

需證：如果α是代數(shù)數(shù),，β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如,，2√2和eπ）,。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性,。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成,。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù),，尚無統(tǒng)一的方法,。

（8）素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想,、哥德巴赫猜想和孿生素共問題,。

素數(shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想,、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數(shù)問題,。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前也未最終解決,，其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學(xué)家陳景潤,。

（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。

1921年由日本的高木貞治,，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決,。而類域理論至今還在發(fā)展之中。

（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解,？

求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根,，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解,。1950年前后,，美國數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）,、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破,。1970年，巴克爾（Baker）,、費羅斯（Philos）對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論,。1970年,。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的,。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價值的副產(chǎn)品，其中不少和計算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系,。

（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論,。

德國數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代,，法國數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展,。

（12）類域的構(gòu)成問題。

即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去,。此問題僅有一些零星結(jié)果,，離徹底解決還很遠(yuǎn)。

（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性,。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a,、b、c,；x=x(a,b,c),。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決,。1957年,，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在［0，1］上連續(xù)的實函數(shù)f(x1,，x2,，x3)可寫成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，這里hi和ξi為連續(xù)實函數(shù),?？聽柲缏宸蜃C明f(x1，x2,，x3)可寫成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)這里hi和ξi為連續(xù)實函數(shù),，ξij的選取可與f完全無關(guān)。1964年,，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形,，對解析函數(shù)情形則未解決。

（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明,。

即域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項式fi（i=1,…,，m），R為K［X1,，…,，Xm]上的有理函數(shù)F（X1，…,，Xm）構(gòu)成的環(huán),，并且F（f1,，…，fm）∈K[x1,，…,，xm]試問R是否可由有限個元素F1，…,，F(xiàn)N的多項式生成,？這個與代數(shù)不變量問題有關(guān)的問題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決,。

（15）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ),。

荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決,。

注一舒伯特（Schubert）計數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ),。

一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交,？舒伯特給出了一個直觀的解法,。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法,，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立,。

（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?br>
此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目,。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個數(shù)N（n）和相對位置，其中X,、Y是x,、y的n次多項式。對n=2（即二次系統(tǒng)）的情況,，1934年福羅獻(xiàn)爾得到N(2)≥1,；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,，這個曾震動一時的結(jié)果,，由于其中的若干引理被否定而成疑問。關(guān)于相對位置,，中國數(shù)學(xué)家董金柱,、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年,，中國數(shù)學(xué)家秦元勛和蒲富金具體給出了n＝2的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實例,。1978年，中國的史松齡在秦元勛,、華羅庚的指導(dǎo)下,，與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子,。1983年，秦元勛進(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán),，并且是（1,，3）結(jié)構(gòu),，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問題,，并為研究希爾伯特第（16）問題提供了新的途徑。

（17）半正定形式的平方和表示,。

實系數(shù)有理函數(shù)f(x1,…,，xn)對任意數(shù)組（x1，…,xn）都恒大于或等于0,，確定f是否都能寫成有理函數(shù)的平方和,？1927年阿廷已肯定地解決。

（18）用全等多面體構(gòu)造空間,。

德國數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年,，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。

（19）正則變分問題的解是否總是解析函數(shù),？

德國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Bernrtein,，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決。

（20）研究一般邊值問題,。

此問題進(jìn)展迅速,，己成為一個很大的數(shù)學(xué)分支。日前還在繼讀發(fā)展,。

（21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明,。

此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年,、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結(jié)果,。1970年法國數(shù)學(xué)家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻(xiàn)。

（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化,。

此問題涉及艱深的黎曼曲面理論,，1907年克伯（P.Koebe）對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決,。

（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究,。

這不是一個明確的數(shù)學(xué)問題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展,。