1900年8月6日,，第二屆國際數(shù)學家代表大會在巴黎召開，此次大會大師云集,，其中就有德國數(shù)學的領袖級人物大衛(wèi)·希爾伯特(David Hilbert，1862—1943),。在這場世紀之交的數(shù)學大會上,，躊躇滿志的希爾伯特上臺便說道:“揭開隱藏在未來之中的神秘面紗,，探索未來一個世紀的發(fā)展前景，誰能不為此興奮呢,？”緊接著,，他提出了自己精心準備的23個數(shù)學問題，以供20世紀的數(shù)學家們研究探索,。這23個問題就這樣揭開了20世紀數(shù)學發(fā)展的大幕,，影響深遠，直至今日,。而希爾伯特作為整個數(shù)學史上最偉大的數(shù)學家之一,，我們將另外專門介紹。

第二屆國際數(shù)學家大會籌備之初,，委員會便準備找一位“如日中天”的數(shù)學家來作主旨演講,。此時的希爾伯特38歲，對于一個數(shù)學家而言,，正值黃金時期,，而且此時的希爾伯特已經(jīng)成就卓著，是數(shù)學界中領袖級的佼佼者,。于是他自然就成了首選,。

希爾伯特意識到，這次世紀之交的數(shù)學大會必定意義非凡,，自己必須要拿出一個像樣的演講出來,。對于演講的內(nèi)容，一開始希爾伯特有兩種不同的想法:一是為純數(shù)學辯護,，二是探討新世紀數(shù)學的發(fā)展方向,。拿不定主意的希爾伯特寫信給摯友閔可夫斯基(Hermann Minkowski，1864—1909,，德國數(shù)學家),，希望得到一些建議。而閔可夫斯基同樣作為當時的數(shù)學大師,，欣然談了自己的看法:“最有吸引力的題材莫過于展望數(shù)學的未來,，列出在新世紀里數(shù)學家應當努力解決的問題。這樣一個題材,，將會使你的演講在今后幾十年的時間里成為人們議論的話題?！?/p>

無數(shù)的想法此時在希爾伯特的頭腦中產(chǎn)生,，他想到:數(shù)學歷史上一些問題的提出甚至直接導致某些學科的誕生,。比如伯努利的最速下降問題催生出了變分法,，而費馬大定理則直接改變了代數(shù)數(shù)論的面貌等等,。經(jīng)過仔細而慎重的思考之后,，希爾比特還是采納了閔可夫斯基的建議,。

希爾伯特給自己給自己出了一個大難題,，選出具有指引作用的問題來絕非易事,。大會在8月就要召開,，而直到6月希爾伯特還沒有動靜,，以至于發(fā)給到會數(shù)學家代表的日程表上還沒有希爾伯特的演講安排。希爾伯特還在吃持續(xù)的深思熟慮中……直到7月中旬,，在閔可夫斯基的一再詢問下,，希爾伯特才給他寄了初稿。閔可夫斯基立馬找來了另一位德國數(shù)學大家赫維茨(Hurwitz,，1859—1919)前來一起研究和修改,。最終在眾人的幫助和建議下，希爾伯特總算趕在會前確定了23個問題,。

希爾伯特在大會上的演講大獲成功，立馬吸引了全世界數(shù)學家的注意力,，各大數(shù)學雜志紛紛轉(zhuǎn)載。希爾伯特23問一時間名聲大噪,，無數(shù)數(shù)學家慕名開始投入到這場數(shù)學洪流之中。一百余年來,，對希爾伯特23問的深入探索極大地促進了現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展,，可以說真正指引了數(shù)學的發(fā)展方向,，具有劃時代的深刻意義和影響,。大數(shù)學家外爾(Weyl,，1885—1955,，德國數(shù)學家) 曾形象地評價希爾伯特和他的23問為:“希爾伯特就像穿雜色衣服的風笛手,，甜蜜的笛聲誘惑了眾多的老鼠，跟著他一起跳進了數(shù)學的深淵,?！倍聦嵰彩侨绱?。

下面就簡要地介紹希爾伯特23問以及它們的解決概況。

1,、連續(xù)統(tǒng)假設

1874年,，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)間不存在其他基數(shù),，也即連續(xù)統(tǒng)問題,。1938年,，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合公理系統(tǒng)相容，而在1963年,，科恩又證明了連續(xù)統(tǒng)假設和ZF公理系統(tǒng)彼此獨立,，因而無法證明其對錯。

2,、算術公理無矛盾性

希爾伯特曾提出利用數(shù)學形式主義的方法加以證明,，但哥德爾的不完備性定理打破了這一幻想。1936年,，根岑利用超限歸納法得以證明,。

3、等底等高四面體體積是否相等問題

這個問題的具體意思是:是否存在兩個等底等高的四面體，它們不能被分解為有限個小四面體,，使得這兩組四面體相互全等,。問題提出當年，德恩就證明了它,。

4,、兩點間直線為距離最短線問題

1973年，前蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫認為這個問題條件太廣泛,，他在對稱距離情況下解決了這個問題,。

5、連續(xù)群的解析性

問題的意思是:是否每一個局部歐式群都一定是李群,。馮·諾依曼解決了緊群的情形(1933),，龐特里亞金解決了交換群的情形(1939)，謝瓦萊解決了可解群的情形(1941),。1952年,，在前人的基礎上，最終由格列森,、蒙哥馬利和齊平共同徹底解決。

6,、物理學公理化

力學和量子論方面公理化很成功,，但整個物理學能否公理化至今仍是個不解之謎。

7,、某些數(shù)的超越性

問題也即是要證明:若α是代數(shù)數(shù)(可作為某有理系數(shù)代數(shù)方程解的數(shù))而β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù),，那么α^β必是無理數(shù)或超越數(shù)(不能作為有理系數(shù)代數(shù)方程解的數(shù))。1934年,，前蘇聯(lián)數(shù)學家蓋爾豐德將其證明,，德國數(shù)學家施耐德緊隨其后，也于1935年獨立證明,。

8,、素數(shù)問題

希爾伯特具體提到了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想,。由此可見希爾伯特作為數(shù)學大師的獨到眼光,，這三個問題均為獲證。而希爾伯特對黎曼猜想情有獨鐘,，稱之為自己最想見證被證明的數(shù)學問題,。

9、任意數(shù)域中證明互反律

1921年日本數(shù)學家高木貞治和1927年德國數(shù)學家阿廷分別基本解決了這個問題,，而相關理論仍在發(fā)展,。

10、丟番圖方程的可解性

所謂丟番圖方程的可解性也就是整系數(shù)方程的可解性。1970年,，前蘇聯(lián)數(shù)學家最終將其否定,。但這個過程所產(chǎn)生的一系列成果卻影響深遠。

11,、任意代數(shù)數(shù)系數(shù)的二次型

德國數(shù)學家哈賽與西格爾,，法國數(shù)學家韋依先后取得重大成果。但至今仍未完全獲證,。

12,、阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意代數(shù)有理域

影響甚廣，涉及范圍也很大,，至今未獲證,。

13、用雙變量函數(shù)解一般七次方程的不可能性

1957年,，前蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德還是本科生的時候就解決了連續(xù)函數(shù)的情形,，1964年維圖什金解決了連續(xù)可微函數(shù)的情形。但仍未完全獲證,。

14,、完備函數(shù)系的有限性

1959年，日本數(shù)學家永田雅宜舉出反例將其否定,。

15,、舒伯特計數(shù)方法的嚴格性

其合理性至今未獲證。

16,、代數(shù)曲線和曲面的拓撲學問題

這個問題分為兩部分：前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目,，后半部分要求討論極限環(huán)的最大個數(shù)和相對位置。至今未完全或證,。

17,、半正定形式的平方和表示問題

1927年，阿廷(沒錯,，還是他)將其證明,。

18、全等多面體構造空間的問題

德國數(shù)學家比伯巴赫和萊因哈特分別在1910年和1928年將其部分解決,。

19,、正則變分問題的解之解析性

伯恩斯坦與彼得洛夫斯基分別部分解決，至今未獲證,。

20,、偏微分方程邊值問題

對這個問題的研究已經(jīng)形成龐大的數(shù)學分支，目前仍在蓬勃發(fā)展之中,。

21,、具有指定單值群的線性微分方程解的存在性

分別由希爾伯特本人在1905年和勒爾在1957年獲得重大成果,，最終德利涅在1970年將其解決。

22,、自守函數(shù)構成的解析函數(shù)之單值化

單變量情形由克貝在1907年解決,，多變量情形至今未獲證。

23,、進一步發(fā)展變分法

變分法在20世紀獲得了長足發(fā)展,。