“愛(ài)因斯坦年”行將過(guò)去，難道關(guān)于愛(ài)因斯坦還有什么可說(shuō)的呢,？我想,，真的還有不少題目是許多人很少談到甚至幾乎沒(méi)有談到，這個(gè)題目也許是其中的一個(gè),。

　　2005年號(hào)稱“愛(ài)因斯坦奇跡年”的100周年,。“奇跡年”的說(shuō)法來(lái)自牛頓（牛頓的“奇跡年”大致是1665年）。通常我們把牛頓看成科學(xué)家的范例,，甚至按照當(dāng)時(shí)的

　　實(shí)際上,，不僅是物理學(xué)家,，就連許多數(shù)學(xué)家都跟不上當(dāng)時(shí)的形勢(shì),。1900年左右，物理學(xué)產(chǎn)生革命性的變革眾所周知,，而數(shù)學(xué)中的變革也悄悄地進(jìn)行著,。等到大家都理解的時(shí)候，才驚呼看來(lái)無(wú)用的純粹數(shù)學(xué)的“不可思議的有效性”,。1900年前,，在物理學(xué)家眼中,，數(shù)學(xué)只不過(guò)是一個(gè)仆從或者工具,，這個(gè)工具有時(shí)好使，有時(shí)也不怎么樣,，最典型的是非線性問(wèn)題從來(lái)不好辦,，物理學(xué)家沒(méi)辦法，數(shù)學(xué)家也沒(méi)辦法,，數(shù)學(xué)家沒(méi)了辦法不想辦法卻“鉆”起什么存在性,、唯一性之類的理論的問(wèn)題。更有甚者,，物理學(xué)家還認(rèn)為,，那些不著邊際的抽象問(wèn)題，解決得了還是解決不了都是一個(gè)樣,，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界毫無(wú)影響,。

　　愛(ài)因斯坦就是抱著這樣的觀點(diǎn)進(jìn)入大學(xué)的。說(shuō)起來(lái),，愛(ài)因斯坦是頗具數(shù)學(xué)天賦的,。他自己說(shuō)“在12歲時(shí)，我……在歐幾里得平面幾何小書(shū)經(jīng)歷了第二次奇跡……”對(duì)歐幾里得神往的不只是愛(ài)因斯坦,，大哲學(xué)家羅素在他的《自傳》第一卷中也談到,，在11 12歲時(shí)，心情十分抑郁,，甚至想到自殺,，但學(xué)習(xí)歐幾里得幾何的狂喜使他從這種境地?cái)[脫了出來(lái)。要知道,，歐幾里得幾何決不是能使任何普通孩子感到興奮的,。接著愛(ài)因斯坦說(shuō)，“在12 16歲時(shí),，我自學(xué)包括微積分基礎(chǔ)在內(nèi)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)……”這兩件事說(shuō)明,，他對(duì)數(shù)學(xué)有著一定的興趣、感悟和能力,。他學(xué)好數(shù)學(xué)乃至成為一位數(shù)學(xué)家不成問(wèn)題,。而且,，他在1896年10月進(jìn)入瑞士蘇黎世聯(lián)邦技術(shù)大學(xué)之后，更是有可能在這個(gè)培養(yǎng)數(shù)學(xué)家的最好環(huán)境中成為數(shù)學(xué)家,，至少掌握最前沿的數(shù)學(xué)知識(shí),。愛(ài)因斯坦沒(méi)能夠這樣做，從某種意義上來(lái)講,，他錯(cuò)過(guò)了一次機(jī)會(huì),。

　　1900年左右，數(shù)學(xué)界發(fā)生了重要的思想變革,，其領(lǐng)袖人物就是希爾伯特,。而希爾伯特的思想來(lái)源，很大程度上是同比他年長(zhǎng)3歲的胡爾維茨與比他年輕2歲的閔可夫斯基在格廷根大學(xué)期間經(jīng)過(guò)8年的散步慢慢積累起來(lái)的,。而愛(ài)因斯坦上學(xué)期間,，胡爾維茨是教授，閔可夫斯基是副教授,，他完全有機(jī)會(huì)親自得到他們的口傳心授,。當(dāng)時(shí)，愛(ài)因斯坦的同班同學(xué)只有4個(gè)人,。但是,，愛(ài)因斯坦對(duì)物理學(xué)的興趣遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)，加上他獨(dú)立不羈的性格,，經(jīng)常逃課,。他的表現(xiàn)用閔可夫斯基的話講最為透徹：“愛(ài)因斯坦在學(xué)生時(shí)期是條懶狗。他一點(diǎn)也不為數(shù)學(xué)操心,。”愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論的確使閔可夫斯基大吃一驚,，但是，真正認(rèn)識(shí)到狹義相對(duì)論價(jià)值并且從哲學(xué)和數(shù)學(xué)上推進(jìn)一大步的也正是閔可夫斯基,。用愛(ài)因斯坦的話說(shuō),，正是閔可夫斯基第一次把時(shí)間和空間聯(lián)系在一起成為四維時(shí)空。另一個(gè)相關(guān)的發(fā)展則是群的觀念,，這對(duì)愛(ài)因斯坦當(dāng)然是陌生的,，只有在后來(lái)愛(ài)因斯坦才認(rèn)識(shí)到這種數(shù)學(xué)的價(jià)值。

　　如果說(shuō),，提出狹義相對(duì)論,，愛(ài)因斯坦的知識(shí)還算夠用的話，到廣義相對(duì)論,，愛(ài)因斯坦則捉襟見(jiàn)肘,。他不得不求助于他的同學(xué)格羅斯曼。從黎曼開(kāi)始發(fā)展的黎曼幾何和張量分析仿佛是為廣義相對(duì)論定做的工具，格羅斯曼正好是這方面的專家,。不可否認(rèn),，愛(ài)因斯坦學(xué)這一套數(shù)學(xué)頗為吃力。實(shí)際上,，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論大大推動(dòng)了黎曼幾何學(xué)的發(fā)展,，另一方面數(shù)學(xué)家則依他們的習(xí)慣對(duì)廣義相對(duì)論進(jìn)行了推廣，以致愛(ài)因斯坦有一次自嘲道：“自從數(shù)學(xué)家搞起相對(duì)論研究之后,，我自己就不再懂它了,。”也正是由于這個(gè)原因，在1915年出現(xiàn)了希爾伯特和愛(ài)因斯坦的“優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)”,。

　　廣義相對(duì)的核心是引力場(chǎng)方程,。1915年11月25日愛(ài)因斯坦在柏林發(fā)表了他的場(chǎng)方程，而希爾伯特早幾天也推導(dǎo)出來(lái)了,。但是,，兩人之間并沒(méi)有什么“爭(zhēng)”。希爾伯特一直認(rèn)為愛(ài)因斯坦是相對(duì)論的惟一創(chuàng)始人,，正因?yàn)橛辛藧?ài)因斯坦的問(wèn)題、理論和方法,，才能在這個(gè)基礎(chǔ)上得出場(chǎng)方程,。希爾伯特顯然在數(shù)學(xué)上十分擅長(zhǎng)，他是從變分原理得出的,。愛(ài)因斯坦則是通過(guò)另外的方法得出的,。在這個(gè)問(wèn)題上，物理的概念仍然是必不可少的基礎(chǔ),。

　　統(tǒng)一場(chǎng)論是愛(ài)因斯坦下一個(gè)目標(biāo),，在這方面，數(shù)學(xué)家又顯示出自己的優(yōu)勢(shì),。最早的嘗試是大數(shù)學(xué)家外爾提出的,。他首先提出了規(guī)范不變性的問(wèn)題。但是,，愛(ài)因斯坦從物理概念上批判外爾的理論,。實(shí)際上從非歐幾何出現(xiàn)之后，數(shù)學(xué)家已經(jīng)飛躍到自由的王國(guó),，不再受現(xiàn)實(shí)的物理世界的束縛,，而只關(guān)心數(shù)學(xué)的邏輯完整性。統(tǒng)一場(chǎng)論至今仍懸而未決,，而在當(dāng)時(shí),，還根本不可能了解另外兩種相互作用：強(qiáng)相互作用和弱相互作用。愛(ài)因斯坦去世之后，這兩種相互作用同電磁相互作用形成了“大統(tǒng)一理論”,，其中外爾開(kāi)創(chuàng)的規(guī)范理論的作用不可低估,。而現(xiàn)在試圖把引力包括進(jìn)來(lái)的理論，基本上可以說(shuō)是一種數(shù)學(xué)的理論,。20世紀(jì)末,，物理學(xué)與數(shù)學(xué)這一對(duì)離婚長(zhǎng)達(dá)一個(gè)多世紀(jì)的歡喜冤家仿佛又在談?wù)搹?fù)婚的問(wèn)題。但是,，這些新興的數(shù)學(xué)似乎并不是愛(ài)因斯坦所樂(lè)于見(jiàn)到的,。

　　廣義相對(duì)論發(fā)展的另一個(gè)方向是宇宙學(xué)。無(wú)疑,，愛(ài)因斯坦是現(xiàn)代宇宙學(xué)的奠基人,，他的出發(fā)點(diǎn)仍是去解場(chǎng)方程。但是,，場(chǎng)方程只給出局部的圖像,，而難以拼出整體圖像。在宇宙形狀或宇宙結(jié)構(gòu)這個(gè)大問(wèn)題上,，人們的認(rèn)識(shí)仿佛又回到哥倫布時(shí)代,。哥倫布時(shí)代的主要問(wèn)題頭一個(gè)是拓?fù)鋯?wèn)題，也就是地球表面是否是一個(gè)球面,，是開(kāi)的還是閉的,。翻開(kāi)過(guò)去的歷史，就知道這個(gè)問(wèn)題上主要有三種看法：地圓說(shuō),、地平說(shuō),，還有一種實(shí)際上無(wú)所謂。哥倫布第一步走對(duì)了,，他相信地圓說(shuō),。在這一步確定之后就可以走第二步了，哥倫布的度量少了1/3,，這種有意無(wú)意的錯(cuò)誤使他獲得資助,。在宇宙學(xué)上，我們又碰到同樣的問(wèn)題：先是拓?fù)涞?，后是度量的,。這種區(qū)別首先是黎曼明確考慮到的，他區(qū)別幾何圖形的度量性質(zhì)和非度量性質(zhì),，而且還要明確局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的不同,，單純由局部性質(zhì)不太能判斷整體性質(zhì)，研究整體的拓?fù)湫再|(zhì)需要另起爐灶,，其結(jié)果是拓?fù)鋵W(xué),。在對(duì)高斯,、黎曼的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)不熟悉的情形下，愛(ài)因斯坦采取一個(gè)更原始的方法,，也就是把四維時(shí)空嵌入到五維中去,，而這就造成新的麻煩。也許這是愛(ài)因斯坦晚期工作不太成功的另一種原因,。

　　閔可夫斯基（右）說(shuō)：“愛(ài)因斯坦在學(xué)生時(shí)期是條懶狗,。他一點(diǎn)也不為數(shù)學(xué)操心。”愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論的確使閔可夫斯基大吃一驚,，但是,，真正認(rèn)識(shí)到狹義相對(duì)論價(jià)值并且從哲學(xué)和數(shù)學(xué)上推進(jìn)一大步的也正是閔可夫斯基。