經(jīng)開(kāi)外校八（8）班平行四邊形技巧 之 中位線構(gòu)造

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制作人員:謝紫璇,，李泓哲，薛彩兒,，姜居政

審核人員:劉睿熙

中位線構(gòu)造問(wèn)題已經(jīng)成了當(dāng)下最流行的八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)考題類(lèi)型之一,，希望今天的這篇公眾號(hào)能夠幫到大家！

三角形中位線定義：
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

三角形中位線定性質(zhì)：
三角形的中位線平行于三角形的第三邊,，并且等于第三邊的二分之一,。

三角形中位線的結(jié)論：
* 1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半,。

* 2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形,。

* 3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

* 4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分,。

* 5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等,。

中位線的具體證明過(guò)程如下：

基礎(chǔ)1:已知：如圖，在四邊形 ABCD 中,，對(duì)角線 AC ,、 BD 相交于點(diǎn) O ，且 AC = BD , E ,、 F 分別是 AB 、 CD 的中點(diǎn),， EF 分別交 BD ,、 AC 于點(diǎn) G 、 H ．求證：OG = OH .

證明：取 BC 邊的中點(diǎn) M ,，連接 EM , FM ,
∵M(jìn) ,、 F 分別是 BC 、 CD 的中點(diǎn),，
.∴MF∥BD , MF =1/2BD,
同理：ME∥AC , ME =1/2AC ,
∵AC = BD 
∴ME = MF 
∴∠MEF =∠MFE ,
∵M(jìn)F∥BD ,
∴∠MFE =∠OGH ,
同理∠ MEF =∠OHG ,
∴∠OGH =∠OHG 
∴OG = OH .

基礎(chǔ)2：如圖,，點(diǎn)P是四邊形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),， AD=BC,∠CBD =45°,，∠ADB =105°，試探究EF與PF之間的數(shù)量關(guān)系,，并證明,。

解析：
EF=√3PF，證明如下：
如圖,，連接PE ,
∵P,、E 分別為BD、AB 的中點(diǎn),，
∴PE//AD,且PE=1/2AD 
∴∠ADP+∠EPD=180°,
∴∠EPD=75°,
∵ F,、P為CD、BD中點(diǎn),，
∴PF//BC,，且PF=1/2BC 
∴∠DPF=∠DBC=45°,
∵AD=BC ,
∴ PF=PE ，且∠EPF=75°+45°=120°,
過(guò)P作PG⊥EF于點(diǎn)G ，則EF=2FG,
在Rt△PFG中,，由勾定理可得FG =√3/2PF
∴EF =√3PF.

中檔1：

中檔2：