虛數(shù)可不是數(shù)學(xué)家用想象構(gòu)造出來的（虛數(shù)真的一點都不“虛”）,。事實是,，虛數(shù)對我們生活的影響遠(yuǎn)超過任何只是想象出來的東西。虛數(shù)在現(xiàn)代世界有著重要作用：把電送進(jìn)家庭,、工廠還有網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器集群,，如果沒有虛數(shù)，那么現(xiàn)代世界將不復(fù)存在,。同學(xué)們在向數(shù)學(xué)老師抱怨學(xué)習(xí)虛數(shù)沒什么意義之前,，不妨試試放下手機(jī)，關(guān)掉音樂,，拔掉寬帶路由器,，要知道，這些東西都是需要虛數(shù)才能工作的,。但或許我們應(yīng)該先解釋一下什么是虛數(shù),。

我們知道如何計算一個數(shù)的平方(用它自己乘自己)，我們還知道負(fù)數(shù)的平方是正數(shù),；負(fù)負(fù)得正,，還記得嗎？所以(–2) × (–2) = 4,。我們還知道平方根是平方的逆運算,。所以4可能的平方根是2 和 –2。虛數(shù)就來源于思考–4的平方根應(yīng)該是什么,。

我們在這里發(fā)現(xiàn)的,，不是什么宇宙深處的奧秘

這個問題真的是無意義的嗎？如果你算一個數(shù)的平方,，無論這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),，結(jié)果都是正的,，所以你不能對一個負(fù)數(shù)開方。這正是亞歷山大里亞的希羅(Heron of Alexandria)思考的事情,。希羅是一個埃及建筑師,，他的數(shù)學(xué)技巧寫在了《立體測量學(xué)(Stereometrica)》一書中，這本書為圣索菲亞大教堂的穹頂設(shè)計提供了理論指導(dǎo),。也是在這本書中,，他給出了如何計算截角四棱錐的體積，截角四棱錐,，就是削去頂角的四棱錐,。他對一個例子的求解過程涉及對225減去288的結(jié)果開方。但這個結(jié)果是一個負(fù)數(shù): –63,。所以這個問題的答案要通過計算來得到,。

出于某種原因——無論是感覺存在一些錯誤，還是有人抄錯了某些東西,，或者因為它太荒謬——現(xiàn)存的手稿顯示希羅忽略了負(fù)號,，給出了答案。

負(fù)數(shù)的平方根就是我們現(xiàn)在所說的虛數(shù),。第一個提出人們不應(yīng)該忽略虛數(shù)的人是16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾(Jerome Cardano),，他開始了一個宏偉的工作：寫一本詳細(xì)介紹他那個時代所有代數(shù)知識的書。在鉆研三次方程的問題時,，他停住了腳步并審視這里面虛數(shù)的問題,。剛開始，他將其稱為“不可能的情況”,。在他1545年關(guān)于代數(shù)的《大術(shù)(The Great Art)》一書中,，他給出了一個例子：嘗試將10分成兩個數(shù)，并且這兩個數(shù)相乘等于40,。在尋找這樣的數(shù)的過程中,，你可以遇到5 + 。

卡爾達(dá)諾并沒有回避這次意外的發(fā)現(xiàn),。事實上,，他甚至還記下了一些對此的想法。然而他用的是拉丁語,，譯者們對于他的實際意思產(chǎn)生了爭議,。一些人認(rèn)為他寫的是一個“錯誤的點”，一些人認(rèn)為他寫的是一個“虛構(gòu)的數(shù)”,，還有人認(rèn)為,，他將這種情況描述為“不可能”求解。他關(guān)于如何在這種情況下繼續(xù)前進(jìn)作出了進(jìn)一步評論,，其中一部分被翻譯為“拋開心理上的偏見”和“虛部被丟棄了”,。在其他地方,，他將虛數(shù)稱為“算術(shù)的精妙，其結(jié)果……既精妙又無用,?！?他說，這“確實很復(fù)雜……人們不能像計算純負(fù)數(shù)那樣計算它” 他所說的純負(fù)數(shù)是指標(biāo)準(zhǔn)負(fù)數(shù),，例如–4,。 他對負(fù)數(shù)很滿意，并寫道“要么是+3,，要么是–3,，正數(shù)(乘以正數(shù))或負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得到正數(shù)?！比缓笏^續(xù)說道，“ 既不是 +3 也不是–3,，而是另一種深奧的東西,。”卡爾達(dá)諾顯然認(rèn)為負(fù)數(shù)的平方根是深奧而抽象的東西,，但同時他也知道它們是某種東西——而且是數(shù)學(xué)家應(yīng)該研究的東西,。不過，這個任務(wù)不適合他,?？栠_(dá)諾隨后的著作都沒有提到負(fù)數(shù)的平方根。他把這個問題留給了他的同胞拉斐爾·邦貝利(Rafael Bombelli),，讓他在大約幾十年后解決這些問題,。

邦貝利在 1572 年提出，5 + 中的兩項可以被視為兩個獨立的事物,，這在他本人看來是“瘋狂的想法”,。“整件事似乎都是詭辯而非事實,，”他說,，但他還是進(jìn)行了這樣的劃分。我們今天仍然這樣做,，因為它有效,。

對自然界進(jìn)行完全的數(shù)學(xué)描述要求虛數(shù)的存在

邦貝利的兩個不同的東西就是我們現(xiàn)在所說的實部和虛部。兩者的組合被稱為“復(fù)數(shù)”(這里的“復(fù)”字就像“軍工復(fù)合體”中的那樣,，指的是實部和虛部的組合,，而不是復(fù)雜或者困難)。但我們要明確一點,，如果我們在重溫數(shù)學(xué)的過程中學(xué)到了一件事,，那就是所有數(shù)字都是虛構(gòu)的,。它們只是一種有助于理解“多少”概念的符號。因此,，將“虛數(shù)”這個名稱應(yīng)用于負(fù)數(shù)的平方根是貶義且無益的,。

也就是說，我們必須承認(rèn)“虛數(shù)”和“實數(shù)”間的區(qū)別,。數(shù)學(xué)家們所說的實數(shù)只是你更加熟悉的數(shù),。兩個蘋果中的“2”；π中的3.14...,；分?jǐn)?shù)等等,。正如正數(shù)在某種意義上與負(fù)數(shù)互補(bǔ)一樣，我們所說的實數(shù)也與我們現(xiàn)在所說的虛數(shù)互補(bǔ),。將他們視為陰和陽,，或者頭和尾。當(dāng)然不要真的認(rèn)為他們是虛構(gòu)出來的,。

邦貝利按照他瘋狂的想法,，展示了這一類新的數(shù)字在現(xiàn)實世界中可以發(fā)揮作用。他開始著手求解卡爾達(dá)諾放棄了的三次方程: . 卡爾達(dá)諾的解需要處理包含的表達(dá)式,，而他并不知道如何是好解,。另一方面，邦貝利相信可以嘗試將正常的算術(shù)規(guī)則應(yīng)用在平方根里,。于是他指出或許就是 × ,，也就是1 × .。

邦貝利的重大突破在于,，他發(fā)現(xiàn)這些看似不可能的奇怪?jǐn)?shù)字,，一旦在計算過程中與其他更熟悉的數(shù)字分開，就會遵守簡單的算術(shù)規(guī)則,。之后的一切都順理成章,。

他繼續(xù)研究卡爾達(dá)諾的三次方程，并最終得出了一個解:

x=(2+)+(2-)

將他們分解為我們今天所說的實部和虛部,，它就簡化成了2加2,，減，虛部抵消了,，只剩下2+2,。所以x=4就是方程的一個解。請讀者們代進(jìn)去自行驗證一下吧,。

如今,，用i代表已成為慣例。瑞士數(shù)學(xué)家列昂納多·歐拉首先提出了這個記號,。很容易認(rèn)為i代表虛數(shù)的英文imaginary首字母,，但事實上,，正如歐拉的另一個常數(shù)e一樣，他可能只是隨機(jī)地選了這個字母,。不管是什么原因,，歐拉的舉動以無益的方式確立了i是一個“虛構(gòu)的”數(shù)。

為了更好地理解虛數(shù)是什么,，讓我們想象一個從–1到1的標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸(你可以將它想象成一把尺子放在你面前的桌子上,，左端是–1，右端是+1),。我們把沿著這條線移動稱作加和減(假設(shè)我現(xiàn)在位于0.3,，如果我加0.3，我就到了0.6處),。但我們也可以想象通過乘法來進(jìn)行移動,。如果我開始在1，我怎么到達(dá)–1呢,？乘一個–1就可以了,。下面讓我們把乘–1想象成沿著圓周逆時針旋轉(zhuǎn)半圈(這里我們討論以坐標(biāo)原點為圓心，經(jīng)過1和–1的圓),。這實際上是一個180度的旋轉(zhuǎn),。用數(shù)學(xué)上更喜歡的單位來記錄角度,，180度就是π弧度(當(dāng)然一個圓周360度就是2π弧度),。

這個旋轉(zhuǎn)操作如果我們只做一半會發(fā)生什么呢？這是“乘以–1”這個操作的一半,，你可以看作是乘以 ,，這樣一個只轉(zhuǎn)動π/2弧度(或者說90度)的操作將我們的數(shù)留在圓周的上半部分，遠(yuǎn)離了標(biāo)準(zhǔn)數(shù)軸,。所以我們可以認(rèn)為–1的平方根位于一條垂直于我們所熟悉的數(shù)軸的另一條數(shù)軸上,。它只是另一組數(shù)的集合，只不過這次是在一個和你原來的尺子呈90度夾角相交的尺子上,。

上面的討論將我們帶到某些有趣的結(jié)論,。虛數(shù)和圓周上的旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系意味著i和π以及角度的正弦余弦是相聯(lián)系的。它們之間的關(guān)系通過奇怪的數(shù)e聯(lián)系起來,，這個數(shù)通常被稱為歐拉數(shù),。這個無理數(shù)以2.71828...開始，并且無窮無盡,。數(shù)學(xué)里到處都是這個數(shù)的身影,，它對于統(tǒng)計學(xué)、微積分,、自然對數(shù)和一系列算術(shù)計算至關(guān)重要,。歐拉準(zhǔn)確地計算出了e的表達(dá)式,，他采用了一種特殊的無限級數(shù)（稱為泰勒級數(shù)）并推導(dǎo)出了現(xiàn)在我們熟知的歐拉公式：

這說明自然對數(shù)的底數(shù)和虛數(shù)存在著基本的關(guān)系。另外,，你可以將這個關(guān)系化簡為歐拉恒等式的形式：

對某些人來說,，這是一個近乎神秘的公式。這里我們有自然對數(shù)的底數(shù)e,；數(shù)字 0 和 1,，它們都在整個數(shù)軸上有獨特的地位；虛數(shù)單位i,，本身就是一個特殊的存在,；還有π，眾所周知,，它是數(shù)學(xué)的力量源泉,。盡管這些數(shù)來自于不同的人在不同的時間進(jìn)行的不同分支的數(shù)學(xué)研究時的發(fā)現(xiàn)，但事實證明它們是相互關(guān)聯(lián)的,，共存于這個優(yōu)雅,、簡單的方程中。

從另一個稍微不同的角度來看,，也許我們不應(yīng)該感到驚訝,。與π本身一樣，這個公式確實沒有什么神秘之處,。這來自于這樣一個事實,，數(shù)字通過旋轉(zhuǎn)改變自身，變?yōu)楸舜恕?/span>這是由數(shù)的使命所決定的：數(shù)字就是數(shù)量之間關(guān)系的表示,。通過加法和減法沿著熟悉的“實”數(shù)軸移動,，我們并不認(rèn)為有任何神秘的地方。事實上,，通過乘法和除法產(chǎn)生的變換沒有什么不同,。請記住，正弦和余弦只是與三角形內(nèi)的角度相關(guān)的比例(一個數(shù)字除以另一個數(shù)字),，這些角度可以表示為π的分?jǐn)?shù)或倍數(shù)（以弧度為單位）,。因此，我們在這里發(fā)現(xiàn)的并不是宇宙深處的謎團(tuán),，而是一組清晰且有用的關(guān)系,，這些關(guān)系是以各種不同方式定義數(shù)字的結(jié)果。

事實上,，這些關(guān)系不僅是有用的,，而且可以說是至關(guān)重要的。以它們在科學(xué)中的應(yīng)用為例：對自然的完整數(shù)學(xué)描述似乎需要虛數(shù)的存在，我們已經(jīng)非常了解的實數(shù)是不夠的,。實數(shù)必須與虛數(shù)結(jié)合起來,，形成邦貝利首次創(chuàng)造的“復(fù)”數(shù)。數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯將復(fù)數(shù)的出現(xiàn)視為完美,。他在他的《通往現(xiàn)實之路(The Road to Reality)》一書中寫道：“復(fù)數(shù)與實數(shù)一樣,，甚至可能在更深的程度上，實現(xiàn)與自然真正非凡的統(tǒng)一,。大自然本身就像我們自己一樣被復(fù)數(shù)系統(tǒng)的范圍和一致性深深地打動了,，并將她的世界在最微小尺度上的精確運作托付給這些數(shù)字。”換句話說,，必須發(fā)現(xiàn)虛數(shù),，因為它們是描述自然的重要組成部分。