2023海南中考21

解法分析(1)

“中點(diǎn)-平行線”型全等

根據(jù)ASA/AAS證明：△AGH?△BGC.

解法分析(2)

菱形的性質(zhì)

根據(jù)菱形的性質(zhì)可證：
∠ABO=30°,，∠AOB=90°，BD=2BO,，
∴BO=AB·cos30°=3,，
∴BD=2BO=6.

解法分析(3)

方法1：銳角三角函數(shù)

根據(jù)菱形的軸對(duì)稱(chēng)性可證：PA=PC，
∴=.

1.當(dāng)∠PAH=90°時(shí),，
易證：△ABC是等邊三角形,，
AP平分∠BAC，
由菱形的性質(zhì)得：BP平分∠ABC,，
∴點(diǎn)P是等邊三角形ABC的內(nèi)心.
進(jìn)而證明：∠H=∠1=30°,，
∴==2.

2.當(dāng)∠APH=90°時(shí),，
作HA的垂直平分線,，交HP于點(diǎn)E，連接AE.
易證：△APC是等腰直角三角形,，
∴∠ACP=45°.
∴∠H=∠1=15°,，
進(jìn)而證明：∠AEP=30°.
設(shè)PA=，則：EP=,，HE=AE=2,，
∴===2+.

3.當(dāng)∠AHP=90°時(shí)，
點(diǎn)H在DA上,，不符合題意,，舍去.

綜上所述：當(dāng)△APH為直角三角形時(shí)，
的值為2或2+.

方法2：相似三角形

1.當(dāng)∠PAH=90°時(shí),，
易證：△ABC是等邊三角形,，
AP平分∠BAC，
由菱形的性質(zhì)得：BP平分∠ABC,，
∴點(diǎn)P是等邊三角形ABC的內(nèi)心.
進(jìn)而證明：∠1=30°,，
∴BP==2，BD=BC=6,，
∴DP=BD-BP=4.
易證：△HPD～△CPB,，
∴==2.

2.當(dāng)∠APH=90°時(shí)，
易證：△APC是等腰直角三角形,，
∴OP=AC=3,，
又∵OB=OD=OA=3,，
∴BP=OB-OP=3-3，
DP=OD+OP=3+3.
易證：△HPD～△CPB,，
∴==2+.

3.當(dāng)∠AHP=90°時(shí),，
點(diǎn)H在DA上，不符合題意,，舍去.

綜上所述：當(dāng)△APH為直角三角形時(shí),，
的值為2或2+.

解法分析(4)

中位線+隱圓

根據(jù)中位線定理得：OM∥AG,，
∴∠NOM=∠GBO=30°.
∵∠NOC=90°,，∠NMC=90°，
∴點(diǎn)M,、N、O,、C四點(diǎn)共圓,，
∴∠NCM=∠NOM=30°,，
由線段垂直平分線的性質(zhì)得：
GN=CN,，
∴∠CGN=∠NCM=30°.