函數(shù)的零點個數(shù)問題是高等數(shù)學的常見題型,，我們已經(jīng)多次講過這類問題，今天的題目與之前的幾個題目有所不同,，主要體現(xiàn)在它與函數(shù)的定積分有關(guān),。

例57  設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且

問函數(shù)在上至少有幾個零點,？

解題思路

首先我們確定對于這個問題的解答方案,。

一個自然而然的思路是先來考慮較簡單的情況，即利用收縮的思想方法去理解和把握問題,，去猜一下答案,。

首先考慮,即當在連續(xù)且時,，根據(jù)積分中值定理的開區(qū)間版本，在(a,b)上至少有1個零點,。

再考慮的情形,，即當在上連續(xù)且

時，在上至少有幾個零點呢,？由對的分析知道存在使得,是否還有不同于的另外零點呢,？猜想應(yīng)該有！

我們用反證法論證,。假定是在內(nèi)的唯一零點,，因為被積函數(shù)在區(qū)間上不變號，則必定有

但這跟題設(shè)條件矛盾,，因為

從而此時至少存在兩個零點.

如此,，不僅, 事實上上述簡單情況的討論也蘊含著解答原題的更一般情形的某種啟示。

所以,，我們直接證明推廣的情況,。

我們現(xiàn)在直接證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且有

我們來證明在內(nèi)至少有個零點,。

若, 則結(jié)論成立,。

現(xiàn)設(shè). 用反證法，假設(shè)在內(nèi)至多有個零點,。由知,，在必不能保持同號，于是必存在個零點

將分為個小區(qū)間

使在每個小區(qū)間上不恒等于0且不改變符號,，但在相鄰的兩個小區(qū)間上符號相異,。

引入函數(shù)

易見在每個小區(qū)間內(nèi)恒正或恒負且在相鄰的兩個小區(qū)間內(nèi)符號相異。于是函數(shù)

把多項式展開觀察,，利用已知條件,，同樣易得

這樣我們也就推出了矛盾。

所以我們斷言,，在至少有個零點,。

最后我們回歸原題目，可知在上至少有4個零點,。

最后我們指出,，上例可以進一步推廣為：

“若在上連續(xù)且, 則在內(nèi)有無窮多個零點.”

它的證法和例57一樣，利用魏爾斯特拉斯逼近定理,，我們進一步還可以推出在上恒為零,。

這個題目的解題思路非常典型，大家可以認真地體會思考和推廣的過程。