高中數(shù)學為何感覺很難-函數(shù)值域最值（二）

當以讀書通世事 2023-09-10

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高中數(shù)學為何感覺很難

百分之九十的學生感覺高中數(shù)學很難,，做題沒有思路,，對于課堂學過的知識，做題時不會用,，想不到解題方法,。一旦給出了解題思路，又感覺自己也可以解出來,。產生這種情況的原因是高中教育階段數(shù)學的題目一般會涉及多個知識點,，甚至是初中,、小學知識的熟練且綜合的運用。數(shù)學題目很少直接可以讓你用課本上的定義,、公式直接套進去解出來,，而是加了幾層外殼（一般不超過3個），需要進行脫殼（轉化）,，而脫殼的工具就需要利用前面的知識點,。因為前面知識點不熟練不會運用，或沒有掌握導致題目做不出來,。對此,，一個快速的解決方法就是：大量刷題作為前提，總結規(guī)律作為結果,，高考時數(shù)學科目的成績一定會名列前名,。

5）含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題運用歸納法和數(shù)形結合

A、利用二次函數(shù)的判別式和韋達定理（根個數(shù)已知）,，或者根關于各項系數(shù)的表達式，獲得關于參數(shù)的表達式

B,、注意變量例如（n<a<b<n+1,其中a和b為根,，n為參數(shù)，是f（x）中x某個范圍的變量）根與變量n的分布,，結合拋物線的f（x）隨x的變化形態(tài)進行求解,。C、關于點集問題（x,，f（x））組成某種形狀的圖形,，要注意根據(jù)圖形的性質提取出關于點集的界限和相應成立的條件。

6）直接平方

求最值(兩項都是根式,，且根式內部變量冪為1)對于含有兩個開方數(shù),，例如(1-x)^1/2+(3+x)^1/2, (1-x)^1/2為減函數(shù)， (3+x)^1/2為增函數(shù)可以直接平方進行轉化求解,。當然也可以通過嘗試比較這兩項導數(shù)的斜率,，判斷增減速度，運用分段歸納進行最值得求解（不建議）5-1）對于有一項含根式且是（a-x^2)^(1/2)的形式可以利用（a-x^2)^(1/2)》=0的性質,，設x^2=a^(1/2)sinx,進行換元求解

7）數(shù)形結合求最值獲得解題的條件

對容易做出圖形的函數(shù)或具有明顯特征的圖形的函數(shù),，數(shù)形結合更容易找出題目中隱含的條件。其中二次函數(shù)和三角函數(shù)（三角函數(shù)先轉化為一個角,，再根據(jù)范圍,，求內函數(shù)的值域，結合三角函數(shù)圖像,，求三角函數(shù)范圍）求最值問題,，注意結合不等式或導數(shù)求解

8）給定等式求最值（一般是兩個以上參數(shù)）

1,、見比設k法 2、因式分解 (十字相乘法) 3,、消參換元

9）分段函數(shù)求極值

一般結合函數(shù)的周期性,，單調性（導數(shù)）求最值。注意：x的定義域,，選擇合適的分段函數(shù),，一般可化成f2(f1(x))的形式(其中f1和f2對應著分段)。另外注意分段函數(shù)的值域并集（考察集合的知識）

10）復合函數(shù)求極值或值域

判斷函數(shù)的定義域,，根據(jù)復合函數(shù)定義域,，求內函數(shù)的值域作為復合函數(shù)的定義域，再求整個函數(shù)的值域,。

11）歸納法求函數(shù)參數(shù)的值問題

根據(jù)函數(shù)性質,，對參數(shù)展開討論。特別注意參數(shù)代數(shù)式0,1作為界限的討論和結合函數(shù)的成立條件,，包含隱含成立條件的討論,。例如a^x,ax^2+bx+c,等的討論

12）三角函數(shù)求極值

對于三角函數(shù)最值問題，常見的解決方法有：

A,、直接求導,，利用函數(shù)的單調性；

B,、換元后求導,，利用函數(shù)的單調性；

C,、構造均值不等式,；

D、根據(jù)函數(shù)的凹凸性,，利用琴生（Jensen）不等式等

13）待定系數(shù)法（又稱為笛卡爾法）

例如：一元四次方程化為x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式,。

令x=y-a/4 整理后得到y^4+py^2+qy+r=0,y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm

比較y對應項系數(shù)，得t+m-k^2=p,，k(m-t)=q,，tm=r

設k≠0，把t和m當作未知數(shù),，解前兩個方程,，

得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)

再代入第三個方程,，得[(k^3+pk)2-q^2]/(4k^2)=r,。即k^6+2pk^4+(p2-4r)k^2-q^2=0

解這個方程，設k0是它的任意一根,，t0和m0是k=k0時t和m的值

那么方程(1)就變?yōu)椋?span lang='EN-US'>y^2+k0y+t0)(y^2^-k0y+m0)=0

解方程y^2+k0y+t0=0和y^2-k0y+m0=0就可以得出方程(1)的四個根

各根加上-a/4就可以得出原方程的四個根,。

此外：該方法也常用于數(shù)列an=m*an-1+n其中m,，n為常數(shù)，求其通項需要引入一個參數(shù)使得an+1和an構成等比數(shù)列進行求解通常用an+1+μ*qn+1=p（an+μ*qn）,，通過比較系數(shù),，求出μ，轉化等比數(shù)列,。

14）參數(shù)的常量化

本質上講就是將多元參數(shù)中的某些參數(shù)看做常量,，進行求解的方法。雖然歷年考察的次數(shù)較少,，但是如果沒有好的解題思路,，但是有好的計算能力，也可以硬算出題目的答案,。

也許,，對專類題目沒有實際總結的你，看了這篇文章會迷糊,，不要緊,。我之所以給出很少的實例，就是讓你實際做題時,，出現(xiàn)“開悟”的感覺,。定期多讀幾遍，在平時做每一道數(shù)學題時,，都對照一下這些方法。特別是沒有思路時,，逐個將這些方法過一遍,，基本上會有不錯我思路。堅持下來,，數(shù)學學習層次一定會有極大的提升,。高考數(shù)學的黑馬非汝莫屬。