例1.（1）下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y＝a^x,，（2）y＝b^x，（3）y＝c^x,，（4）y＝d^x的圖象,，則a、b,、c,、d與1的大小關(guān)系是（    ）

A. a＜b＜1＜c＜d 

B. b＜a＜1＜d＜c

C. 1＜a＜b＜c＜d 

D. a＜b＜1＜d＜c

剖析：可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)一定大于1,，（1）（2）的底數(shù)小于1,，然后再從（3）（4）中比較c、d的大小，從（1）（2）中比較a,、b的大小,。

解法一：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時，圖象上升,，且底數(shù)越大,，圖象向上越靠近于y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時,，圖象下降,，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸.得b＜a＜1＜d＜c,。故選B。

解法二：令x＝1,，由圖知c¹＞d¹＞a¹＞b¹,，∴b＜a＜1＜d＜c。

（2）已知2≤（）^x－2,，求函數(shù)y＝2^x－2^－x的值域,。

解：∵2≤2^{－2（x－2）}，∴x²＋x≤4－2x,，

即x²＋3x－4≤0,，得－4≤x≤1。

又∵y＝2^x－2^－x是［－4,，1］上的增函數(shù),，

∴2^－4－2⁴≤y≤2－2^－1。

故所求函數(shù)y的值域是［－,，］,。

（3）要使函數(shù)y＝1＋2^x＋4^xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立,，求a的取值范圍,。

解：由題意，得1＋2^x＋4^xa＞0在x∈（－∞,，1）上恒成立,，

即a＞－在x∈（－∞，1）上恒成立,。

又∵－＝－（）^2x－（）^x

＝－［（）^x＋］²＋,，

當(dāng)x∈（－∞，1）時值域為（－∞,，－）,，

∴a＞－。

評述：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題是解決這類問題常用的方法。

例2. 已知f（x）＝log［3－（x－1）²］,，求f（x）的值域及單調(diào)區(qū)間,。

解：∵真數(shù)3－（x－1）²≤3，

∴log［3－（x－1）²］≥log3＝－1,，

即f（x）的值域是［－1,，＋∞］。

又3－（x－1）²＞0,，得1－＜x＜1＋,，

∴x∈（1－，1）時,，3－（x－1）²單調(diào)遞增,，從而f（x）單調(diào)遞減；

x∈［1,，1＋］時,，f（x）單調(diào)遞增。

例3. 若f（x）＝x²－x＋b,，且f（log₂a）＝b,，log₂［f（a）］＝2（a≠1）。

①求f（log₂x）的最小值及對應(yīng)的x值,；

②x取何值時,，f（log₂x）＞f（1）且log₂［f（x）］＜f（1）？

解：①∵f（x）＝x²－x＋b,，

∴f（log₂a）＝log₂²a－log₂a＋b,。

由已知有log₂²a－log₂a＋b＝b，

∴（log₂a－1）log₂a＝0,。

∵a≠1,，

∴log₂a＝1，∴a＝2,。

又log₂［f（a）］＝2,，

∴f（a）＝4。

∴a²－a＋b＝4,，b＝4－a²＋a＝2,。

故f（x）＝x²－x＋2，

從而f（log₂x）＝log₂²x－log₂x＋2＝（log₂x－）²＋,。

∴當(dāng)log₂x＝即x＝時,，f（log₂x）有最小值。

②由題意 0＜x＜1,。

例4. 設(shè)f（x）＝log₂,，F（x）＝＋f（x）,。

（1）試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義,，給出證明,；

（2）若f（x）的反函數(shù)為f^－1（x），證明：對任意的自然數(shù)n（n≥3）,，都有f^－1（n）>,；

（3）若F（x）的反函數(shù)為F^－1（x），證明：方程F^－1（x）＝0有惟一解,。

解：（1）由>0,，且2－x≠0得F（x）的定義域為（－1，1）,，設(shè)－1＜x₁＜x₂＜1,，則

F（x₂）－F（x₁）＝（）＋（）

，

∵x₂－x₁>0,，2－x₁>0,，2－x₂>0，

∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1,。

因此F（x₂）－F（x₁）>0,，F（x₂）>F（x₁）,，

∴F（x）在（－1,，1）上是增函數(shù)。

（2）證明：由y＝f（x）＝得：2^y＝,，

∴f^－1（x）＝,，∵f（x）的值域為R，

∴f^－－1（x）的定義域為R,。

當(dāng)n≥3時,，

f^－1（n）>。

（3）證明  ∵F（0）＝,，∴F^－1（）＝0,，

∴x＝是F^－1（x）＝0的一個根。

假設(shè)F^－1（x）＝0還有一個解x₀（x₀≠）,，

則F^－1（x₀）＝0,，

于是F（0）＝x₀（x₀≠）。這是不可能的,，

故F^－1（x）＝0有惟一解,。