且對任意 , 有

記 為映射 , 則 (14) 可改寫為

我們稱 為一個(gè)“預(yù)層”。不難看出 完全決定 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：對兩個(gè)同胚于 的開子集 ,，由上所述可見粘合 由所有 給出的 完全決定,，而 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可由所有同胚于 的開子集之間的相互粘合完全決定，故可由 給出的信息完全決定,。這里我們可將 看作一個(gè)抽象的集合,，記 為所有映射 的集合, 則 可看作一個(gè)映射 , 滿足 (15)。只需知道集合 和映射 就可完全知道 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),，因?yàn)檫@些信息已經(jīng)說明 有哪些同胚于 的開集及它們通過什么方式相互粘合, 這些粘合方式都可由 中的開嵌入給出。因此, 由 得到的任何信息都是 的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

注意上面的方法反過來是不能成立的, 即如果任給一個(gè)集合 及一個(gè)滿足 (15) 的映射 ,，不一定有流形 使得 像上面那樣由 給出,。不過，如果對 加上適當(dāng)?shù)臈l件,，這樣的流形是存在的,，問題在于什么是“適當(dāng)“的條件。

設(shè) 是另一個(gè)拓?fù)淇臻g,，則它也對應(yīng)于一個(gè)預(yù)層 ,，其中 為所有開嵌入 組成的集合。如果 是一個(gè)開嵌入,，則對任意 有 ,，這給出一個(gè)映射

易見對任意 有交換圖

我們說 給出從 到 的一個(gè)“自然變換”。反之,，如果給出從 到 的一個(gè)自然變換 ,，則對 的任一同胚于 的開子集 , 為 的同胚于 的開子集, 且 給出同胚 , 易見所有這些同胚都是相容的（即對任意 有），故它們合起來給出一個(gè)開嵌入 , 滿足 ,。

特別地,，若 是同胚，則 誘導(dǎo)自然變換 ,，且顯然有, ,，此時(shí)我們說 是一個(gè)“自然等價(jià)”?？傊覀冇?/p>

定理 3. 任意拓?fù)淞餍? 給出一個(gè)預(yù)層 如 (15),，它唯一決定 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。若 是另一個(gè)拓?fù)淇臻g,，對應(yīng)于預(yù)層 ,，則一個(gè)開嵌入 等價(jià)于從 到 的一個(gè)自然變換 。特別地， 是同胚當(dāng)且僅當(dāng) 是一個(gè)自然等價(jià),。

上同調(diào)及其推廣

設(shè) 為一個(gè)拓?fù)淇臻g,， 為 所對應(yīng)的奇異復(fù)形 (見第二節(jié))。對任意 , 令 （即阿貝爾群 的對偶）,，則對任意 , 誘導(dǎo)同態(tài) ,，且顯然有 ()，這樣就得到一個(gè)“上鏈復(fù)形” ,，它和復(fù)形 (亦稱``鏈復(fù)形'') 的區(qū)別是指標(biāo)從小到大（而鏈復(fù)形的指標(biāo)則是從大到?。@只是記號(hào)上的區(qū)別,，實(shí)質(zhì)性的區(qū)別是 從 0 開始而 到 0 為止,。與同調(diào)類似地可以定義“上同調(diào)”

顯然上同調(diào)也是拓?fù)洳蛔兞俊４送?，? 為拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射,，則 誘導(dǎo)典范同態(tài) ()，注意它的方向與 相反,。

注意 的元可以看作 的 維單形的集合上的整數(shù)值函數(shù),，不難將此推廣到更一般的“函數(shù)”，例如可考慮取值在一個(gè)阿貝爾（加法）群 中的函數(shù),，即將上面定義中的 換為 ,，這樣仍可以得到一個(gè)上鏈復(fù)形 , 由此得到的上同調(diào)記為 ()，當(dāng)然也是拓?fù)洳蛔兞?。? 為 中所有 維單形的集合,，，則 的元可以看作 上的局部常值函數(shù),。如果取 ,，還可以考慮 上的連續(xù)的函數(shù)組成的復(fù)形。

若 是拓?fù)淞餍? 則可以用下面的方法計(jì)算上同調(diào): 對每個(gè) , 記 （見第三節(jié)）,，且對每個(gè) 及 () 記 為投射 ,。

對任意 , 記 。對任意開子集 , 記 為 

上取值在 中的函數(shù)全體組成的加法群,。這樣對任意 ,， 給出 上的函數(shù) 。這樣就定義了一個(gè)群同態(tài) ,。若 則令 為 0,。定義

由“交錯(cuò)和的交錯(cuò)和為 0”的原理（見第二節(jié)），易見 (),，故若記 ,，則得到一個(gè)上鏈復(fù)形 ，稱為“切赫復(fù)形”, 其同調(diào)稱為“切赫上同調(diào)”，記為 (),。利用同倫不難驗(yàn)證有典范同構(gòu)

此外, 若在 中任取 的一個(gè)開覆蓋代替 , 則 (19) 仍成立,。

綜上所述有

定理 4. 對任意拓?fù)淞餍? 及任意阿貝爾加法群 , 令 為 中所有 維單形的直并， 為 上取值在 中的局部常值函數(shù)（或連續(xù)函數(shù), 若 有給定的拓?fù)? 全體組成的阿貝爾加法群, 則得到一個(gè)上鏈復(fù)形 ,其上同調(diào) () 都是 的拓?fù)洳蛔兞?。? 為拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射,則 誘導(dǎo)典范同態(tài) (),。若 是拓?fù)淞餍危? 中任取 的一個(gè)開覆蓋 ,，則由 (18) 可以定義切赫復(fù)形 ,，相應(yīng)的切赫上同調(diào) 典范同構(gòu)于 ()。

由此可見,，對一個(gè)拓?fù)淞餍?,，一個(gè) 的元相當(dāng)于對任意 給出一個(gè)函數(shù) , 使得對任意 有 , 而這恰等價(jià)于 上的一個(gè)函數(shù) , 換言之

注意若 而我們考慮連續(xù)函數(shù)，則 (20) 給出關(guān)于 上的整體連續(xù)函數(shù)的重要信息,。

對 的意義的解釋較為復(fù)雜,，有多個(gè)方面的應(yīng)用，如纖維叢和擴(kuò)張等,。

上面的方法可以很自然地推廣到一些其他的幾何學(xué)分支。在微分幾何中, 對一個(gè)微分流形 可以取 為所有微分開嵌入 組成的集合,，則和定理3類似,， 給出一個(gè)預(yù)層，而 在微分同胚之下由 唯一決定,。取 為 上連續(xù)可微函數(shù)全體組成的阿貝爾加法群,，則和定理 4 類似地可以定義切赫復(fù)形，相應(yīng)的切赫上同調(diào)是微分幾何不變量,。特別地 可以看作 上的整體連續(xù)可微函數(shù)的集合,。

類似地，在復(fù)幾何中,，對一個(gè)復(fù)流形 可以取 為復(fù)單位球到 的所有復(fù)解析開嵌入組成的集合,，則和定理 3 類似， 給出一個(gè)預(yù)層 ,，而 在復(fù)解析同構(gòu)之下由 唯一決定,。取 為 上復(fù)解析函數(shù)全體組成的阿貝爾加法群，則和定理 4 類似地可以定義切赫復(fù)形,，相應(yīng)的切赫上同調(diào)是復(fù)幾何不變量,。特別地 可以看作 上的整體復(fù)解析函數(shù)的集合， 可以看作 的皮卡群 (關(guān)于皮卡群的概念參看復(fù)幾何或代數(shù)幾何教科書及習(xí)題Ⅷ.13),。

上面的方法也可以用“層”的概念來說明,。直觀地說, (20) 的實(shí)質(zhì)是將整體函數(shù)分解為局部函數(shù)再“粘”起來, 這提示我們在研究整體性質(zhì)時(shí), 不僅要考慮整體函數(shù)（即 上的函數(shù)）， 而且要考慮局部函數(shù)，即定義在每個(gè)開子集上的函數(shù),，在大開集上的函數(shù)可以限制在小開集上,，所有這些資料合起來稱為一個(gè)“函數(shù)層”。一個(gè)函數(shù)層可以給出關(guān)于 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的很多信息,。（對微分流形我們關(guān)心連續(xù)可微函數(shù)層, 而對復(fù)解析流形我們關(guān)心復(fù)解析函數(shù)層,。）層可以看作預(yù)層的特殊情形（參看例Ⅻ.1.1）。我們下面將看到,，預(yù)層和層可以用函子的語言來刻畫,。

一般說來，一個(gè)幾何分支所研究的對象是一類“空間”,，它們通常具有某種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),，并有一類特定的函數(shù)，這些函數(shù)通常是局部的（即定義在開子集上）,，對此可以用函數(shù)層來準(zhǔn)確地表述,。函數(shù)層給出幾何結(jié)構(gòu)的重要而基本的信息，例如 維微分流形可以定義為一個(gè)帶有函數(shù)層的拓?fù)淇臻g,，局部同構(gòu)于 及其上的連續(xù)可微函數(shù)層,，若將空間分解為同構(gòu)于 的開子集的并，則函數(shù)層說明如何將這些開子集粘合,。

和同調(diào)的情形類似（參看第三節(jié)）,，若 同胚于 ，則對任意 有 ,，這說明 （或切赫復(fù)形 ）在指標(biāo) 處都是正合的,。對于一般的 ，由此可見對任意同胚于 的開子集,， 和 在 上的限制在指標(biāo) 處都是正合的, 換言之 和 在指標(biāo) 處是“局部正合的”,。如果在 (或 ) 前面再加上一項(xiàng) ，則由 (20) 可見所得的復(fù)形是局部正合的,，稱為 的一個(gè)“預(yù)解”,。

一個(gè)復(fù)形如果在指標(biāo) 處都是正合的，則稱為“零調(diào)的”,。由上所述 和 的每一項(xiàng)都是零調(diào)的,，上面說的 的預(yù)解稱為“零調(diào)預(yù)解”?？紤]到同調(diào)的組合特性,，就可看到對 的任一零調(diào)預(yù)解 都有 （前面所說的預(yù)解只是一些特殊情形），對此不難利用同倫證明,。

明白了這一點(diǎn),，我們在計(jì)算同調(diào)時(shí)就不必局限于使用上面的兩類預(yù)解,，而可以相當(dāng)自由地選擇方便的零調(diào)預(yù)解。這樣就可能將同調(diào)應(yīng)用于更廣的領(lǐng)域,。

例如在代數(shù)學(xué)中,，考慮一個(gè)環(huán) 上的模 ，其上的“函數(shù)”可以理解為 -模同態(tài),，其中 是另一個(gè) -模,。此時(shí) 本身作為 -模是零調(diào)的（用代數(shù)的術(shù)語說， 保持正合性）,，可以擔(dān)當(dāng)上面的 或 的角色,。由此可以``分解'' , 即給出一個(gè)正合列

其中每個(gè) 是 的一些拷貝的直和。注意這里并沒有要求 有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),，倒是有代數(shù)結(jié)構(gòu),。不過由于“分解的組合特性”（參看前面剖分、覆蓋等的組合特性）,，分解 (21)

可起與剖分,、覆蓋等類似的作用。這里我們遇到的本質(zhì)上還是交錯(cuò)和,，這一點(diǎn)由科斯居爾復(fù)形（參看XV.2）可以很明顯地看到,。

對 (21) 去掉 再應(yīng)用 ，就得到一個(gè)相當(dāng)于上面的 的上鏈復(fù)形

其第 同調(diào)記為 ,。與奇異同調(diào)類似,， 在同構(gòu)之下由 唯一決定（即與 (21) 的選擇無關(guān)），要說明這一點(diǎn)只需把同倫的概念搬過來（注意同倫也可以用組合的方式表達(dá)）,。至于這些同調(diào)的意義，我們知道 ,，而 可以看作 -模的“擴(kuò)張” 的等價(jià)類的集合,。

同調(diào)代數(shù)的產(chǎn)生

同調(diào)代數(shù)約形成于 1940 年代中期，現(xiàn)在我們所能查到的最早文獻(xiàn)是 S. Eilenberg 和 S. MacLane的幾篇奠基性的論文（見[6], [7], [8]）,。我們來簡略地看一下當(dāng)時(shí)和后來建立的基本概念和方法,。

上節(jié)中的 , 等可以推廣到更一般的“函子”概念，第三節(jié)中的 也可以看作函子,，而函子的一般概念需要建立在“范疇”的框架下,。（范疇的概念需要通過大量的例子來理解，參看Ⅺ章,。）范疇是比集合高一個(gè)層次的概念,，因此可以突破集合論框架的局限，例如可以考慮不同的范疇之間的關(guān)系,。（盡管如此, 現(xiàn)在的大部分?jǐn)?shù)學(xué)仍是建立在集合論的框架之下,。）另一方面,，范疇又比集合有更豐富的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，這就是“態(tài)射”,。這里可以隱約看到拓?fù)鋵W(xué)的影響,，例如一個(gè)拓?fù)淇臻g 就可以看作一個(gè)范疇，其“對象”是 的所有開子集,，而態(tài)射是開子集之間的包含映射,。然而，沿著范疇的方向可以走得很遠(yuǎn), 例如可以考慮一些抽象的交換圖的范疇,。

函子的概念可以看作集合論中的“映射”概念在范疇論中的提升,，即為兩個(gè)范疇之間的“映射”。由于范疇中有內(nèi)在結(jié)構(gòu)——態(tài)射, 函子必須是“保結(jié)構(gòu)”的,，即將態(tài)射映到態(tài)射,，并保持態(tài)射的合成。一個(gè)任意范疇到集合范疇的函子稱為“預(yù)層”,。對于一個(gè)拓?fù)淇臻g ,，我們可以將它看作一個(gè)范疇，其對象為 的所有開子集,，而態(tài)射就是開子集之間的包含映射 （如果 ）,；如果 是 維拓?fù)淞餍危部梢詫⑦@個(gè)范疇改為所有同胚于 維單位球的開子集組成的范疇,。我們在前面（第三節(jié)）已經(jīng)看到預(yù)層的重要作用：一個(gè)流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以由相應(yīng)的預(yù)層唯一決定,，因此經(jīng)常可能將拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為較簡單的集合問題,。這一原理可以推廣到很多領(lǐng)域,，通稱為“抽象廢話”，它們盡管是“廢話”,，卻很有用,，甚至是強(qiáng)有力的。由此可見,，同調(diào)代數(shù)的作用并不僅僅是給出“同調(diào)”,。

當(dāng)然，同調(diào)代數(shù)的一個(gè)最重要的作用是將同調(diào)的概念和方法建立在一個(gè)一般的框架上,。一類重要的情形是“阿貝爾范疇”,，它是阿貝爾群、模等范疇的推廣,，典型的例子有拓?fù)淇臻g上的阿貝爾群層范疇等,。盡管同調(diào)理論不一定要建立在阿貝爾范疇上，迄今為止大部分同調(diào)理論都是建立在阿貝爾范疇上的,。對于阿貝爾范疇,，我們通常通過投射或內(nèi)射預(yù)解來建立同調(diào),。

拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)論的很多概念和方法都可以推廣到很一般的情形，例如短正合列誘導(dǎo)的長正合列,，屈內(nèi)特公式,，邁耶-菲托里斯序列，同倫,，譜序列等（參看XIII章）,。

在哲學(xué)上，這些概念和方法都可以理解為處理“局部和整體的關(guān)系”,。對于“局部”,，除了像上面那樣從剖分或覆蓋的角度理解外，還可以從“局部函數(shù)”的角度理解：設(shè) 是拓?fù)淇臻g,，,，一個(gè)“ 附近的局部函數(shù)”是指定義在 的一個(gè)開鄰域 上的連續(xù)函數(shù)，我們只關(guān)心函數(shù)在 附近的值,，就是說,，兩個(gè)函數(shù)如果在 的一個(gè)開鄰域上相等，就看作同一個(gè)函數(shù),。用交換代數(shù)的語言說,，所有 附近的局部函數(shù)組成一個(gè)局部環(huán) ，其中所有在 點(diǎn)取值 0 的函數(shù)組成它的極大理想 ,。這個(gè)概念很容易推廣到其他幾何：在微分幾何中,，我們關(guān)心的是連續(xù)可微函數(shù)，此時(shí)我們 為 附近的連續(xù)可微函數(shù)組成的局部環(huán),，其極大理想仍是所有在 點(diǎn)取值 0 的函數(shù)組成的理想 ,；在復(fù)幾何中，我們關(guān)心的是復(fù)解析函數(shù),，此時(shí)我們?nèi)?span> 為 附近的復(fù)解析函數(shù)組成的局部環(huán),，其極大理想仍是所有在 點(diǎn)取值 0 的函數(shù)組成的理想 。這個(gè)概念和前面所說的層的概念有密切的聯(lián)系,，因?yàn)閷釉臼强紤]所有局部函數(shù)而得到的概念。

如果考慮代數(shù)流形,，自然就應(yīng)該取 為 附近的代數(shù)函數(shù)組成的局部環(huán),，而代數(shù)函數(shù)就是多項(xiàng)式函數(shù)的商（即分式），由此就可想到在一般的代數(shù)對象（包括數(shù)論對象如整數(shù)環(huán)）中,，函數(shù)環(huán)（或數(shù)環(huán)）的“局部化”就是用一些函數(shù)（或數(shù)）作分母,。不過這樣的局部化有時(shí)還嫌不夠``局部'', 因?yàn)橐粋€(gè)分式 ( 為多項(xiàng)式函數(shù)) 的定義域還很大,

不像解析函數(shù)那樣可能只在一個(gè)有界的開集上有定義。因此這樣的函數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)仍可能很復(fù)雜,，具有某種整體特征,。一個(gè)進(jìn)一步“局部化”的方法是形式完備化, 即取所有的形式冪級(jí)數(shù),，這包括了所有的解析函數(shù)，但很多形式冪級(jí)數(shù)不是解析函數(shù),，沒有解析函數(shù)那樣好的性質(zhì),，而這樣得到的函數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)比解析函數(shù)環(huán)還要簡單，可能更適合作為粘合的基本“磚塊”,。

我們在下一節(jié)還將看到在更廣范圍的“局部”概念及其意義,。

我們注意，在拓?fù)鋵W(xué)中對“局部”的理解已經(jīng)與此前的幾何學(xué)很不相同了,。例如在實(shí)分析中,，一個(gè)數(shù) 的“附近”是指一個(gè)鄰域 ，這里 是一個(gè)充分“小”的正數(shù),，但這樣的定義離不開大小關(guān)系,；而在拓?fù)鋵W(xué)中,，一個(gè)點(diǎn) 的“附近”是指 的一個(gè)開鄰域,，這樣就不需要考慮大小關(guān)系 （這種定義可以使問題簡化，更有利于抓住問題的關(guān)鍵）,。實(shí)際上,，在應(yīng)用同調(diào)代數(shù)的很多領(lǐng)域除了包含關(guān)系外未必還有其他的大小關(guān)系,，而在這些領(lǐng)域仍可以理解“局部”，但即使在直觀上也未必能把局部“理解為小范圍”,。例如在代數(shù)幾何中采用的察里斯基拓?fù)?，其開集都是“很大”的，在代數(shù)學(xué)中的多項(xiàng)式環(huán),、自由模等也常被看成局部''的對象,，這里的“局部''也沒有小”的意義。

理解了“局部”,，就不難理解同調(diào)是處理局部和整體的關(guān)系的工具,，在哲學(xué)上我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為整體是由局部“粘合”起來的，而粘合自然應(yīng)該具有“組合特點(diǎn)”,。這一點(diǎn)我們在下一節(jié)還會(huì)從其他角度看到,。

一般地可以將零調(diào)對象理解為具有某種“局部性”，所以取零調(diào)預(yù)解就可以看作將整體“拆開”成為“磚塊”（局部）,。

函子之間的映射“就是自然變換”,，我們在前面已看到，如果用預(yù)層來決定拓?fù)淞餍?，則拓?fù)淞餍伍g的開嵌入就等價(jià)于相應(yīng)的預(yù)層之間的自然變換,，這這一原理同樣可以推廣到很多領(lǐng)域，一般也是抽象廢話,。如果建立了這些函子的同調(diào)理論,，則自然變換經(jīng)?？梢越o出同調(diào)之間的“映射”，準(zhǔn)確地說是同調(diào)函子之間的自然變換,，而且這些自然變換之間還有一些自然的聯(lián)系,。

在哲學(xué)上，數(shù)學(xué)研究的對象從根本上說是來自自然界,，因此研究的對象和方法是否“自然”就非常重要,。“自然”的反義詞是“人工”,，那些生硬的或湊合的構(gòu)造,、隨意的或無理的條件、與客觀事實(shí)明顯相悖的假設(shè)等都屬于這一類,。但在數(shù)學(xué)中什么是“自然”呢,？自然變換的概念啟發(fā)我們對這一問題的理解。例如,，設(shè) 為所有有限（加法）阿貝爾群的范疇,，一個(gè)有限阿貝爾群 到自身有一個(gè)同態(tài) ，將每個(gè)元 映到 ,，這個(gè)同態(tài)對所有阿貝爾群是一致的,，用范疇論的語言說，可以看作 到自身的一個(gè)自然變換,，所以我們說同態(tài) 是自然的（也說它是“函子性”的）,。另一方面， 與其對偶 總是同構(gòu)的,，但我們沒有一個(gè)“自然”的方法給出同構(gòu) （對每個(gè) 只能“人工”地給出一個(gè)同構(gòu) ,，而且這種構(gòu)造一般不是唯一的），換言之沒有“函子性”的同構(gòu) ,。這是因?yàn)?，如果有一個(gè)有限阿貝爾群的同態(tài) ，則 自然地給出一個(gè)同態(tài) ,，而不是 ,！

“自然”的概念同樣可以追溯到拓?fù)鋵W(xué)。如第三節(jié)中的函子 就不是可以隨意構(gòu)造的：需要對每個(gè) 同時(shí)給出 ,，要保證它們相容是很高的要求,。盡管這樣的構(gòu)造是經(jīng)常需要的，但流形歸根結(jié)底不是被“構(gòu)造”出來的,，而只是被“發(fā)現(xiàn)”的，它們本來就存在于自然界,。

由于拓?fù)鋵W(xué)的一些基本思想和方法已經(jīng)滲入幾乎整個(gè)數(shù)學(xué)以及物理等其他學(xué)科,，在今天不變量,、不變性質(zhì)等概念已經(jīng)深入人心，這在同調(diào)代數(shù)上的一個(gè)表現(xiàn)是對“典范性”（等價(jià)于函子性或自然的）的深入理解和重視,。例如,，一個(gè)微分流形（或解析空間、概形等）上有很多層,，但人們特別注意典范的層,，如微分層，其重要性與其典范性密切相關(guān),。又例如, 對于一個(gè)諾特環(huán)上的有限生成模,，菲廷理想具有典范性（參看習(xí)題VI.6），而其重要性也是與其典范性密切相關(guān)的,。

總之,，同調(diào)代數(shù)的基本概念如范疇、函子,、自然變換,、函子的同調(diào)、抽象廢話等都是很自然地產(chǎn)生的,，它們給出了一個(gè)很寬廣的框架, 可以應(yīng)用于很多領(lǐng)域,，給出不變量、不變性質(zhì),、等價(jià)和約化的方法等（詳見第Ⅺ, Ⅻ, XIII章）,。還應(yīng)指出，范疇雖然比集合在邏輯上高一個(gè)層次, 仍有更高層次的數(shù)學(xué)概念,，如二范疇（two category）,。

同調(diào)代數(shù)不僅給出強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，給出新的數(shù)學(xué)課題,，而且使數(shù)學(xué)家從更高的視點(diǎn)觀察和理解數(shù)學(xué),，形成新的哲學(xué)理念。

同調(diào)代數(shù)向各數(shù)學(xué)領(lǐng)域的滲透

同調(diào)代數(shù)逐漸滲透到數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域,，其中有些領(lǐng)域與拓?fù)鋵W(xué)相距甚遠(yuǎn),，以至很難看出其與拓?fù)鋵W(xué)中同調(diào)的原始思想的聯(lián)系。我們下面來看幾個(gè)領(lǐng)域中的初步例子,，希望由此說明,，雖然有些領(lǐng)域看上去與拓?fù)鋵W(xué)相距遙遠(yuǎn)，但從其中的同調(diào)仍能看到同調(diào)論原始思想的內(nèi)核,。

例 1. 纖維叢.

拓?fù)鋵W(xué)中的纖維叢是指局部平凡族,。詳言之，一個(gè)拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射 稱為 上的一個(gè)纖維叢，如果存在一個(gè)拓?fù)淇臻g ,，使得對任一點(diǎn) 有一個(gè)開鄰域 及一個(gè)同胚 ,，

滿足 。此時(shí) 稱為這個(gè)纖維叢的纖維,。 當(dāng)然是一個(gè)纖維叢,，稱為平凡的纖維叢。一般的纖維叢雖然局部（即在足夠小的開集 上）結(jié)構(gòu)和 一樣,，但整體結(jié)構(gòu)卻可能不同,。例如設(shè) 為圓周， 為線段,，則有兩個(gè)熟知的纖維叢,，一是環(huán)帶，另一是默比烏斯帶（圖 7）,。這兩個(gè)纖維叢是顯然不同的,，因?yàn)榍罢呤请p側(cè)的而后者是單側(cè)的。

由于纖維叢也是局部平凡而整體不平凡的一類數(shù)學(xué)對象,，很自然地可以應(yīng)用同調(diào)的思想和方法來研究,。簡言之, 就是把纖維叢的結(jié)構(gòu)歸結(jié)為平凡纖維叢如何“粘”成整個(gè)纖維叢的問題，從而用一種同調(diào)來刻畫,。

構(gòu)造纖維叢需要將平凡的纖維叢“粘”起來,，但如同上節(jié)對流形所說的，纖維叢歸根結(jié)底不是被“構(gòu)造”出來的, 而只是被“發(fā)現(xiàn)”的,，它們本來就存在于自然界,。如果“粘”不起來，那就是有“障礙”,，而障礙也是可以用同調(diào)來刻畫的,。

纖維叢不僅在拓?fù)鋵W(xué)中,也是其他幾何分支中的重要對象。向（空間）叢就是其中常見的一類,，例如在微分幾何中,，設(shè) （即圓周），, 則 為 上的平凡平面叢,，它有一個(gè)子叢

這是 上的一個(gè)非平凡直線叢,，它像默比烏斯帶那樣，是單側(cè)的,。與此對照,，一個(gè)平凡實(shí)直線叢 則為圓柱面，是雙側(cè)的,。向量叢的概念可以推廣到復(fù)幾何,、代數(shù)幾何,、數(shù)論等。

纖維叢與層有密切的關(guān)系,，例如向量叢就等價(jià)于局部自由層,。這里我們要推廣層的概念。在上節(jié)我們看到,，一般的預(yù)層就是一個(gè)范疇 到集合范疇的反變函子，對于一個(gè)拓?fù)淇臻g ,，可以取 為 的所有開子集組成的范疇,。一個(gè)預(yù)層中的元（稱為“截口”') 一般還不能看作函數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)是由它在各點(diǎn)的值唯一決定的,。對函數(shù)的值域則可放寬限制,，例如可以考慮向量值函數(shù)。這樣,，對預(yù)層加上一些必要的條件,，就可以將第四節(jié)中函數(shù)層的概念推廣到一般的層的概念（參看例Ⅻ.1.1）。下面我們還會(huì)看到其他重要的層,。

對流形上的向量叢的同構(gòu)分類, 引導(dǎo)出一類同調(diào)論—— -理論,，這種理論后來又滲透到代數(shù)、數(shù)論等學(xué)科中,，成為又一個(gè)強(qiáng)有力的工具,。

例 2. 群的同調(diào).

考慮一個(gè)流形 的自同構(gòu) 。若 為同構(gòu)于單位球的開子集,則 給出 的兩個(gè)同構(gòu)于單位球的開子集之間的同構(gòu)映射,。注意任意兩個(gè)同構(gòu)于單位球的開子集之間總有同構(gòu)映射,，但它們不一定能“粘”成 的自同構(gòu)。不難看到,，局部的同構(gòu)映射能否粘成 的自同構(gòu)的問題,，也可以化為同調(diào)的問題。

的所有自同構(gòu)組成一個(gè)群 ,。我們經(jīng)常需要研究一個(gè)給定的群 在 上的作用,，這等價(jià)于一個(gè)群同態(tài) 。因此,，這樣的作用是否存在也經(jīng)?？梢曰癁橥{(diào)的問題。不僅如此, 同調(diào)還經(jīng)?？梢越o出構(gòu)造群的作用或同態(tài)的途徑,。

群及其作用在很多領(lǐng)域都會(huì)遇到，因此上面的想法被應(yīng)用于許多不同的學(xué)科,，其表現(xiàn)往往千差萬別,。例如在代數(shù)學(xué)中,，考慮一個(gè)群 在模上的作用，就給出一個(gè)函子, 將一個(gè)模 對應(yīng)于其中的 -不變元組成的子模 ,。這個(gè)函子的同調(diào)可以用來研究 -模的結(jié)構(gòu)和擴(kuò)張等,。這里所用的預(yù)解中，邊緣同態(tài)也是一種交錯(cuò)和,。

在數(shù)論中?？紤]的群是伽羅瓦群，相應(yīng)的同調(diào)就是伽羅瓦上同調(diào),。

對于一般的群的同調(diào)問題,，常常也可以從局部與整體的關(guān)系的角度來理解。例如對于一個(gè)有限覆蓋 及一個(gè)群 在 上的作用 ,，是否 可以提升為 在 上的一個(gè)作用,，一般局部總是可以提升的，而整體上是否能夠提升就是“障礙”問題,，可能轉(zhuǎn)化為同調(diào)來研究,。如果將 換成模的同態(tài)或某些其他范疇中的態(tài)射，那么離開拓?fù)鋵W(xué)就很遠(yuǎn)了（參看第四節(jié)中模的擴(kuò)張）,。

如果我們沿這個(gè)方向深入探討,，會(huì)發(fā)現(xiàn)群的作用與整體幾何結(jié)構(gòu)有很多類似之處（參看[18]）。

在哲學(xué)上可以這樣理解：我們經(jīng)常需要研究某個(gè)對象 的運(yùn)動(dòng)（或?qū)ΨQ性）,，如果考慮 的某一類運(yùn)動(dòng)的全體組成的集合 ,，那就進(jìn)入了群論，因?yàn)? 是一個(gè)群,，而 的這一類運(yùn)動(dòng)就可以理解為 在 上的作用,。因此群的作用所表現(xiàn)出來的整體性是由于它代表了所有這一類運(yùn)動(dòng)。例如當(dāng) 為單位球而對稱性為剛體對稱時(shí), 繞一條固定的軸作小角度旋轉(zhuǎn)可看作“局部的”運(yùn)動(dòng),，而所有運(yùn)動(dòng)組成一個(gè)同構(gòu)于 的群,，它在 上的作用是可遷的，自然會(huì)給出關(guān)于 的整體結(jié)構(gòu)的信息,。

例 3. 德拉姆復(fù)形.

對于一個(gè)微分流形 ,，一個(gè)自然而又極重要的層是微分層 ，它的 次外積就是外微分層 ,。外微分可以推廣到任何有微分結(jié)構(gòu)的幾何中,，甚至代數(shù)中。

所有 給出一個(gè)“德拉姆復(fù)形”

這里 為外微分映射,，它實(shí)質(zhì)上也是一種交錯(cuò)和（模去一些等價(jià)關(guān)系, 參看[18]）,。德拉姆復(fù)形的同調(diào)，即德拉姆上同調(diào),，是非常重要的不變量,。

如果有一個(gè)連續(xù)群 作用在 上,，就會(huì)按例 2 的方式給出一個(gè)復(fù)形，這個(gè)復(fù)形與

之間有一個(gè)典范同態(tài),，給出兩種交錯(cuò)和之間的聯(lián)系（參看[18]）,。

在上面的幾個(gè)例子中，以及很多其他的情形,，同調(diào)的計(jì)算常需要先選擇一些不確定的量,，而通過計(jì)算可由這些不確定的量得到確定的量，這是與以往的數(shù)學(xué)有顯著區(qū)別的一個(gè)特點(diǎn)（以往的計(jì)算都是由確定的量計(jì)算確定的量）,。

例 4. adele.

局部和整體的關(guān)系的概念也被引入數(shù)論,。和代數(shù)函數(shù)類比（見上節(jié)），整數(shù)環(huán) 的局部化就是添加一些分母（給出一些有理數(shù)組成的環(huán)）,，而且還有更強(qiáng)的局部化，就是完備化,，直觀地說就是取極限,。例如實(shí)數(shù)和 -進(jìn)數(shù)都是由有理數(shù)取極限得到的。

設(shè) 為數(shù)域（即有理數(shù)域 的有限擴(kuò)張）,，每個(gè) 的賦值（參看II.4）稱為 的一個(gè)“位”,，對每個(gè)位 有一個(gè) 的完備化 ，直積 給出 的所有“局部”信息,，稱為 的adele 環(huán),。一般來說，一個(gè)困難的問題在局部化后會(huì)變得較為容易,。有些問題只要把局部情形都解決就完全解決了,，但并非總是如此，因?yàn)樗? 之間并非完全相互獨(dú)立,，而是有整體的關(guān)聯(lián)的,。一個(gè)重要的整體關(guān)聯(lián)就是“互反律”。因此在較深入的研究中經(jīng)常要顧及局部-整體原則,。

Grothendieck建立的一般同調(diào)理論

前面我們已經(jīng)看到,，同調(diào)的概念和方法可以推廣到很一般的范疇和函子。但是所得到的同調(diào)可能很抽象,，常常需要花很大的工夫才能具體地理解,。而且所得到的同調(diào)不變量能解決什么問題，能否滿足我們的需要,，也常常是個(gè)問題,。

Grothendieck 對于拓?fù)鋵W(xué)和同調(diào)代數(shù)有非常深刻的理解和洞察。在1960年代,，他在代數(shù)幾何中建立了一套一般的同調(diào)論框架,，在這個(gè)框架中填入一種具體內(nèi)容就得到一種同調(diào),，因此可以根據(jù)具體需要填入不同的內(nèi)容而得到不同的同調(diào)理論。

前面我們已看到,，預(yù)層是可以推廣到很一般的范疇的,，但層卻不然。仔細(xì)觀察層所需要滿足的條件就會(huì)發(fā)現(xiàn),，為在一個(gè)范疇 上定義層,，需要 中有給定的“覆蓋”，這是一類態(tài)射,，滿足幾條基本公理,。這種范疇稱為“site”。對一個(gè) site 可以定義層,，包括群層,、模層等，即可取不同的“值域”,。如果所取的“值域”是阿貝爾范疇,，則所有層組成一個(gè)新的阿貝爾范疇，稱為一個(gè)“topos”,。如果在一個(gè) topos 中有足夠的投射對象或足夠的內(nèi)射對象（一般不會(huì)同時(shí)都有）,，則對 到另一個(gè)阿貝爾范疇 的加性函子 可以定義同調(diào)函子 或上同調(diào)函子 , 它們滿足同調(diào)的一般性質(zhì)。

自從 Grothendieck 建立一般同調(diào)理論的框架后,，很多學(xué)者用它建立了不計(jì)其數(shù)的同調(diào)論,，有時(shí)甚至僅為解決一個(gè)問題就建立一種同調(diào)。對于算術(shù)代數(shù)幾何,，后來起作用最大的新同調(diào)論是平展上同調(diào)和晶體上同調(diào),，它們的定義都頗不簡單。

注意同調(diào)也具有典范性,。一般意義上的同調(diào),，是“導(dǎo)出函子”（derived functor），其一般性質(zhì)（結(jié)構(gòu)）也是同調(diào)代數(shù)的研究課題,。不僅如此,，由這些結(jié)構(gòu)還可得到“導(dǎo)出范疇”（derived category）的概念，近年來它已成為研究原范疇的一個(gè)新途徑（例如通過研究一個(gè)空間 上的函數(shù)層范疇的導(dǎo)出范疇來研究函數(shù)層范疇, 并進(jìn)而研究空間 的結(jié)構(gòu)）,。

Grothendieck 的一般同調(diào)理論框架也可以應(yīng)用于其他學(xué)科,，不過迄今為止主要是在代數(shù)幾何中使用。若希望全面了解同調(diào)代數(shù)近年來的進(jìn)展, 可參看[10],。