二、幾何學(xué)范疇

1,、初等幾何

 

在希臘語中,，“幾何學(xué)”是由“地”與“測量”合并而來的，本來有測量土地的含義,，意譯就是“測地術(shù)”,。“幾何學(xué)”這個名詞，系我國明代數(shù)學(xué)家根據(jù)讀音譯出的,，沿用至今,。

 

現(xiàn)在的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形(點(diǎn),、線,、面、角,、圓等)在運(yùn)動下的不變性質(zhì)的科學(xué),。例如，歐氏幾何中的兩點(diǎn)之間的距離,，兩條直線相交的交角大小,，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運(yùn)動不變量。

 

初等幾何作為一門課程來講,，安排在初等代數(shù)之后,；然而在歷史上，幾何學(xué)的發(fā)展曾優(yōu)先于代數(shù)學(xué),，它主要被認(rèn)為是古希臘人的貢獻(xiàn),。

 

幾何學(xué)舍棄了物質(zhì)所有的其它性質(zhì)，只保留了空間形式和關(guān)系作為自己研究的對象,，因此它是抽象的,。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法,，從一些結(jié)論導(dǎo)出另一些新結(jié)論,。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學(xué)的代表作,，便是公元前三世紀(jì)歐幾里得的《原本》,，它從定義與公理出發(fā)，演繹出各種幾何定理。

 

現(xiàn)在中學(xué)《平面三角》中關(guān)于三角函數(shù)的理論是15世紀(jì)才發(fā)展完善起來的,，但是它的一些最基本的概念,，卻早在古代研究直角三角形時便己形成。因此,，可把三角學(xué)劃在初等幾何這一標(biāo)題下,。

 

古代埃及、巴比倫,、中國,、希臘都研究過有關(guān)球面三角的知識。公元前2世紀(jì),，希帕恰斯制作了弦表,，可以說是三角的創(chuàng)始人。后來印度人制作了正弦表,；阿拉伯的阿爾·巴塔尼用計算sinθ值的方法來解方程,，他還與阿布爾·沃法共同導(dǎo)出了正切、余切,、正割,、余割的概念；賴蒂庫斯作了較精確的正弦表,，并把三角函數(shù)與圓弧聯(lián)系起來,。

 

由于直角三角形是最簡單的直線形，又具有很重要的實(shí)用價值,，所以各文明古國都極重視它的研究,。我國《周髀算經(jīng)》一開始就記載了周朝初年(約公元前1100年左右)的周公與學(xué)者商高的對話，其中就談到“勾三股四弦五”,，即勾股定理的特殊形式,；還記載了在周公之后的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關(guān)系,，推算過地球與太陽的距離和太陽的直徑,，同時為勾股定理作的圖注達(dá)幾十種之多。在國外,，傳統(tǒng)稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理,，認(rèn)為它的第一個一致性的證明源于畢氏學(xué)派(公元前6世紀(jì))，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發(fā)現(xiàn)了這個定理,。到現(xiàn)在人們對勾股定理已經(jīng)至少提供了370種證明,。

 

19世紀(jì)以來，人們對于關(guān)于三角形和圓的初等綜合幾何,，又進(jìn)行了深入的研究,。至今這一研究領(lǐng)域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點(diǎn)、線,、面,、球。

 

2,、射影幾何

 

射影幾何學(xué)是一門討論在把點(diǎn)射影到直線或平面上的時候,，圖形的不變性質(zhì)的一門幾何學(xué)?；脽羝系狞c(diǎn),、線,，經(jīng)過幻燈機(jī)的照射投影,，在銀幕上的圖畫中都有相對應(yīng)的點(diǎn)線，這樣一組圖形經(jīng)過有限次透視以后,，變成另一組圖形,，這在數(shù)學(xué)上就叫做射影對應(yīng)。射影幾何學(xué)在航空,、攝影和測量等方面都有廣泛的應(yīng)用,。

 

射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開辟的。迪沙格發(fā)表了—本關(guān)于圓維曲線的很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊子,，從開普勒的連續(xù)性原理開始,，導(dǎo)出了許多關(guān)于對合、調(diào)和變程,、透射,、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理,，這些課題是今天學(xué)習(xí)射影幾何這門課程的人所熟悉的,。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深奧的定理,，并于9年后寫了一份內(nèi)容很豐富的手稿,。18世紀(jì)后期，蒙日提出了二維平面上的適當(dāng)投影表達(dá)三維對象的方法,，因而從提供的數(shù)據(jù)能快速算出炮兵陣地的位置,，避開了冗長的、麻煩的算術(shù)運(yùn)算,。

 

射影幾何真正獨(dú)立的研究是由彭賽勒開創(chuàng)的,。1822年，他發(fā)表了《論圖形的射影性質(zhì)》一文,，給該領(lǐng)域的研究以巨大的推動作用,。他的許多概念被斯坦納進(jìn)一步發(fā)展。1847年，斯陶特發(fā)表了《位置幾何學(xué)》一書,，使射影幾何最終從測量基礎(chǔ)中解脫出來,。

 

    后來證明，采用度量適當(dāng)?shù)纳溆岸x,，能在射影幾何的范圍內(nèi)研究度量幾何學(xué),。將一個不變二次曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統(tǒng)的非歐幾何學(xué),。在19世紀(jì)晚期和20世紀(jì)初期,，對射影幾何學(xué)作了多種公設(shè)處理，并且有限射影幾何也被發(fā)現(xiàn),。事實(shí)證明,，逐漸地增添和改變公設(shè)，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何,，其間經(jīng)歷了許多其它重要的幾何學(xué),。

　

3、解析幾何

 

解析幾何即坐標(biāo)幾何,，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分,。解析幾何通過平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系,，從而建立起曲線或曲面與方程之間的一一對應(yīng)關(guān)系,，因而就能用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題,。

 

在初等數(shù)學(xué)中,，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個分支；在方法上,，它們也基本是互不相關(guān)的,。解析幾何的建立，不僅由于在內(nèi)容上引入了變量的研究而開創(chuàng)了變量數(shù)學(xué),，而且在方法上也使幾何方法與代數(shù)方法結(jié)合起來,。

 

在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，笛卡兒和費(fèi)爾馬開始構(gòu)思現(xiàn)代解析幾何的概念,。這兩項(xiàng)研究之間存在一個根本區(qū)別：前者是幾何學(xué)的一個分支,，后者是幾何學(xué)的一種方法。

 

1637年,，笛卡兒發(fā)表了《方法論》及其三個附錄,，他對解析幾何的貢獻(xiàn)，就在第三個附錄《幾何學(xué)》中,，他提出了幾種由機(jī)械運(yùn)動生成的新曲線,。在《平面和立體軌跡導(dǎo)論》中,，費(fèi)爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上,，笛卡兒從軌跡開始,，然后求它的方程；費(fèi)爾馬則從方程出發(fā),，然后來研究軌跡,。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何”的名稱是以后才定下來的,。

 

這門課程達(dá)到現(xiàn)在課本中熟悉的形式,，是100多年以后的事。象今天這樣使用坐標(biāo),、橫坐標(biāo),、縱坐標(biāo)這幾個術(shù)語，是萊布尼茲于1692年提出的,。1733年,，年僅18歲的克雷洛出版了《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》一書,，這是最早的一部空間解析幾何著作,。1748年，歐拉寫的《無窮分析概要》,，可以說是符合現(xiàn)代意義的第一部解析幾何學(xué)教程,。1788年，拉格朗日開始研究有向線段的理論,。1844年,，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號,。于是多維解析幾何出現(xiàn)了,。

 

    解析幾何在近代的發(fā)展，產(chǎn)生了無窮維解析幾何和代數(shù)幾何等一些分支,。普通解析幾何只不過是代數(shù)幾何的一部分,，而代數(shù)幾何的發(fā)展同抽象代數(shù)有著密切的聯(lián)系。

　

4,、非歐幾何

 

非歐幾何有三種不同的含義：狹義的,，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的,，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何,；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何,。

 

歐幾里得的第5公設(shè)(平行公設(shè))在數(shù)學(xué)史上占有特殊的地位,，它與前4條公設(shè)相比,，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。它在《原本》中第一次應(yīng)用是在證明第29個定理時,，而且此后似乎總是盡量避免使用它,。因此人們懷疑第五公設(shè)的公理地位，并探索用其它公理來證明它,，以使它變?yōu)橐粭l定理,。在三千多年的時間中，進(jìn)行這種探索并有案可查的就達(dá)兩千人以上,，其中包括許多知名的數(shù)學(xué)家,，但他們都失敗了。

 

羅巴契夫斯基于1826年,，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時代的研究結(jié)果,，開創(chuàng)了非歐幾何。在這種幾何中,，他們假設(shè)“過不在已知直線上的一點(diǎn),，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設(shè),，同時保留了歐氏幾何的其它公設(shè),。

 

1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何,。在這種幾何中,，他假設(shè)“過已知直線外一點(diǎn)，沒有和已知直線平行的直線可引”,，用以代替第5公設(shè),，同時保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。1871年,，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的,、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何,。

 

非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問題——平行公設(shè)被證明是獨(dú)立于歐氏幾何的其它公設(shè)的,，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何的道路被打開了,。

 

1854年,，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)的講演”。他指出：每種不同的(兩個無限靠近的點(diǎn)的)距離公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì),。1872年,，克萊因建立了各種幾何系統(tǒng)按照不同變換群不變量的分類方法。

 

    19世紀(jì)以后,，幾何空間概念發(fā)展的另一方向,，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類,，每一種幾何都對應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。1899年,，希爾伯特發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》一書,，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴(yán)密的基礎(chǔ),，并給出了證明一個公理體系的相容性(無矛盾性),、獨(dú)立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點(diǎn),，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合,。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統(tǒng)中,，只不過是極其特殊的情形罷了,。

　

5、拓?fù)鋵W(xué)

 

1736年,，歐拉發(fā)表論文,，討論哥尼斯堡七橋問題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點(diǎn),、邊,、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說是拓?fù)鋵W(xué)的開端,。

 

龐加萊于1895～1904年建立了拓?fù)鋵W(xué),，采用代數(shù)組合的方法研究拓?fù)湫再|(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式,，與此有關(guān)的理論現(xiàn)在稱為同調(diào)理論和同倫理論。以后的拓?fù)鋵W(xué)主要按照龐加萊的設(shè)想發(fā)展,。

 

拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個分支,，在二十世紀(jì)它得到了極大的推廣。1906年,，弗雷歇發(fā)表博士論文,，把函數(shù)作為一個“點(diǎn)”來看，把函數(shù)收斂描繪成點(diǎn)的收斂,，這就把康托的點(diǎn)集論和分析學(xué)的抽象化聯(lián)系起來了,。他在函數(shù)所構(gòu)成的集合中引入距離的概念，構(gòu)成距離空間,，展開了線性距離空間的理論,。在這個基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué),。在豪斯道夫的《點(diǎn)集論綱要》一書中,，出現(xiàn)了更一般的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的完整想法,。第二次世界大戰(zhàn)后，把分析引進(jìn)拓?fù)?，發(fā)展了微分拓?fù)洹?/span>

 

    現(xiàn)在的拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究,。任何事物的集合都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g，拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論已基本完組成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一,，滲入到各個分支,，并且成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。