|
導讀 本文是華裔范疇論數學家鄭樂雋（Eugenia Loh-Gene Cheng,，英國數學家、鋼琴家,，父母是香港人,。Cheng是“鄭”在廣東話中的發(fā)音，zzllrr小樂譯注）接受量子雜志播客主Steven Strogatz的采訪時交流內容,。鄭樂雋,，撰寫了多本暢銷的數學科普著作，例如： 數學可以處理本質上相同但不完全相等的事物嗎,？范疇論數學家鄭樂雋和主持人 Steven Strogatz 討論了抽象的力量和樂趣,。 數學還有比等號更多的東西嗎？一雙鞋與一副手套不同,，但我們認識到它們之間的相同之處,，因為兩者都符合我們對一雙的定義。范疇論是數學的一個分支,，它研究事物如何在本質上相同而不完全相等。數學家鄭樂雋用它來在抽象概念之間建立聯系,，并識別許多主題和尺度的模式。鄭是芝加哥藝術學院的常駐科學家,，也是《抽象的樂趣：數學,、范疇論和生活的探索》一書的作者。在這一集中,，她和主持人Steve Strogatz解讀范疇論,，并展示它如何應用于日常事務——包括認識到那個不斷出現在你生活中的令你煩惱的人,。 Steve Strogatz （00：00）：嗨,。我是Steve Strogatz，這是量子雜志的播客The Joy of Why,，帶你進入當今數學和科學中一些最大的未解決的問題,。在這一集中，我們要問：數學還有比等號更多的東西嗎,？換句話說,，我們是否可以利用數學的邏輯力量來談論本質上相同的含義，而不必完全嚴格相等,？ （00：28）這就引出了范疇論(category theory),。它通常被描述為數學的數學 - 對整個學科的一種鳥瞰圖。但這意味著什么,？如果數學依賴于抽象,，那么范疇論的支持者說，它為這些抽象提供了一個健全的腳手架,，一種在廣泛的主題和尺度上（例如各種空間形狀,，或不同類型的對稱性）建立聯系并識別模式和關系的方法。 （00：59）但是一些數學家,，特別是一些愛抱怨的老前輩，對范疇論真正告訴我們的是新的數學有質疑,。它的意義何在？甚至一些最熱心的實踐者也親切地將其描述為“抽象的廢話”（abstract nonsense）,。 （01：16）然而，最近,，范疇論甚為風靡。它不僅在數學界很熱門,。它現在被用于計算機科學、物理,、工程,、化學,、語言學等,。雖然它最初是純數學的一個抽象分支，但它被證明是一種全新的思考很多事情的方式,，包括日常生活中的情況。 （01：37） 今天的嘉賓鄭樂雋博士將幫助我們更好地理解范疇論,。她是芝加哥藝術學院的常駐科學家，也是幾本書的作者,，她最近的一本書是《抽象的樂趣：數學、范疇論和生活的探索》,。歡迎您，鄭樂雋博士,。
https:/// 鄭樂雋：非常感謝你邀請我。 Strogatz（02：01）：我很高興有機會和你交談,。多年來,，我一直是你的忠實粉絲。范疇論在我們的數學世界中是如此有趣的學科,。老實說,，在我開始看你的書之前,，我并不欣賞它是如何開始觸及許多其他學科的——甚至正如我剛才所說，甚至是日常生活,。那么，如果你讓我們開始——想象一下,，你正在制作一個TikTok視頻來定義范疇理論,。你會說什么？ 鄭（02：32）：就像你說的,，我會說范疇論是數學的數學,。請記住,，數學不僅僅是關于數字和方程式,。這是關于我們如何建立證明以及如何找到事物之間的模式。所以這是關于在模式中找到模式并對證明進行證明,。 Strogatz（02：50）：我喜歡。這是你整個職業(yè)生涯都感興趣的東西嗎,？你什么時候開始對它感興趣,？ 鄭（02：56）：我要冒昧地說我一生都對它感興趣，卻沒有意識到這就是我感興趣的。因為從我很小起,，我就對模式和證明感興趣——不是人們互相大喊大叫,，而是為我們如何認識事物建立理由。雖然我根本沒有意識到范疇論的存在,，但我總是對深刻的解釋感興趣,。即那種反復問為什么的孩子,，不是為了惹惱大人,，而是因為想知道（答案）,。數學總是給我最令人滿意的答案,，為什么事情是正確的,。 （03：35）在數學中，是純數學給了我最滿意的答案。然后在純數學中,，是代數,。然后在代數中,，是范疇論。當我終于第一次接觸到范疇論時,，就像回到了家，或者找到了我一直夢寐以求的家,。我意識到這就是我一直在尋找卻沒有意識到的東西。即使是現在,，當我回到我小時候讓我感興趣的一些事情——這些就是我舉的一些例子,。當我談論范疇理論時——我意識到,，在內心深處,，讓我感興趣的事情實際上與范疇論有關,。 Strogatz（04：11）：我喜歡你回到家的感覺。你不是下意識地擁有這個久違的天堂或一直在尋找的地方,。 鄭（04：21）：確實有這種感覺。 Strogatz：我很高興你能再次團圓,，或者—— 鄭：團圓。 Strogatz （04：27）：是的,。實際上，這可能非常合適,，因為整個主題似乎是關于許多不同事物的統(tǒng)一,。是這樣嗎？ 鄭（04：35）：確實如此,。是的，這實際上是關于發(fā)現不同情境之間的相似之處,，然后找到一種統(tǒng)一的方式來思考它們——本質上是為了可以更好地使用我們的大腦,。因為我們可憐的,、有限的大腦與我們試圖理解的世界的復雜性相比，真的非常渺小,。處理這種復雜性的一種方法是故意忽略其中的某些部分。不幸的是,，這是一種非常普遍的方法,。 （05：05）但我相信,，處理世界復雜性的更好方法是對事物采取更廣闊的視野,，并找到不同情境之間的相似之處,，這樣你就可以在一定水平上同時研究許多事物,。我想這就是你所說的統(tǒng)一。我們并不是要宣布不一樣的事情是相同的,。我們試圖找到一些關于它們的共同點的深層本質，這樣我們至少可以將這部分作為同一部分進行研究,，然后再放大各個情境以查看細節(jié)。 Strogatz（05：40）：你在那里給出了一個美麗的宣言,，展示了像數學家一樣思考的意義,。我認為這是我們所有人在這個領域的事情 - 嗯，說我們所有人也許這有點夸張,。但可以肯定的是——我應該小心這樣的陳述,。你甚至在書中說了這樣的話,。我想小心而不要夸大其詞,。但是,，我仍然認為,，對抽象的訴求，對在特定上下文中似乎無關緊要的細節(jié)的剝離,，可以給我們帶來深刻的洞察力,，這是一個對真理的恰當近似,。所以,，也許這是一個你告訴大家你對抽象的看法之處,，關于它的利弊,。 鄭（06：16）：是的，我喜愛抽象，因為我以此為樂,。我認為我們在數學上談論得還不夠多。有一個很大的推動力告訴每個人數學是多么有用,，它有多重要,，因為它會幫助你解決生活中的問題,。我認為這在數學上有點有害,。是的,，它非常有用,。是的,，它確實在各種方面幫助了我。但我也喜歡這樣做,。這就是為什么我給書名起了名字,，我給它起的標題,，就是《抽象的樂趣》,。這不是抽象的有用性,，而是抽象的樂趣,。因為對我來說，這真的是一個快樂的過程,。這就像照亮了事物,。你知道，我今天剛出門,，陽光明媚,，這給了我快樂，不是因為我在尋找什么,，而是我可以看得更清楚,。你知道，如果我把東西掉在街上,，我正在尋找它,，那么陽光明媚會有所幫助,。但是，能夠清楚地看到事物是件好事,，不是嗎,？這就是我喜歡抽象的原因。對我來說,，感覺到處都是霧,。然后當你進行抽象時,，正如你所說，你正在清除不相關的細節(jié),，然后你可以更清楚地看到事物,。這對我來說是快樂的,。 Strogatz（07：29）：這部分討論起來可能有點棘手,，但讓我們試試吧。你知道,，我在數學中遇到了一點不同的亞文化。我來自數學非常偏向于應用的那一頭,。但我確實在本科訓練的最后一年接觸了范疇論,。那時我正在上拓撲學課程。我想說的是,，在你的書之前,，我唯一接觸過它的觀點（我認為，是一種老式的觀點）是,，范疇論依賴于對大量高等數學的了解,。它的巨大效用,，至少在當時對我們爭論的那樣，是它幫助我們看到之間的聯系——即使這些詞對我們的一些聽眾來說沒有意義,，我想他們會明白的——我們在拓撲學中做了一些關于形狀的難題,，我們正在將它們轉化為關于代數的問題，關于稱為群的東西,。這就是最大的優(yōu)點,，我們被告知：通過范疇論,，可以從數學的一部分到另一部分進行某種翻譯,，也許可以使問題變得更容易,。但是你怎么看呢？這是長期以來公認的關于范疇論的智慧,，對吧,？這是一種非常復雜的事情,。 鄭（08：43）：是的,。這就是我稱之為數學的數學的原因之一,。因為數學四處觀察世界并發(fā)現世界上不同事物之間的相似之處,，你可以說范疇論對數學就是這樣做的,。所以它繞來繞去,，就像在數學中尋找不同事物之間的相似之處一樣,。所以在數學中，你可能會說,，哦——例如在拓撲學中,，......嗯，例如,，挑選一個著名的例子：有這個東西像咖啡杯,，還有這個東西像百吉圈（硬面包圈）或甜甜圈。從某種意義上說,，它們是相同的,，這并不是說你可以同時吃它們（因為你不能），而是如何將一個變成另一個,。因此,，拓撲學提出了一種談論這些東西相同的方法。 （09：23）然后范疇論更上一層樓,，說有某種方法可以,，讓我們可以在整個拓撲學領域和整個代數領域之間建立聯系，這樣我們就可以在形狀的整個概念和整個代數概念之間進行轉換,，而不是在咖啡杯和甜甜圈之間進行轉換,。所以它確實是從這個想法中發(fā)展起來的。它源于想要一個框架以一種嚴謹的方式建立這些聯系,，因為數學就是以一種嚴謹,、合乎邏輯的方式做事——而不僅僅是說，“我在我的直覺的某個地方感覺到這些東西是有聯系的,?！蔽覀兘洺闹庇X開始，但隨后我們需要給它一個邏輯框架,，因為我們相信將我們的證明建立在邏輯上,，而不僅僅是直覺之上?？磥砟阈枰私鈹祵W中的那些高級領域,，才能看到范疇論在做什么,。 （10：17）但老實說，我認為這是一個相反的錯誤,。沒必要,。這是實現它的一種方法。但另一種方法就是思考抽象,。我是從這個角度出發(fā)的,，因為，老實說,，我認為當我完成本科學位時,，我對數學的掌握不是很好。我喜歡這樣想,，我沒有這樣做的原因之一是因為我沒有做過范疇論,。當我做范疇論時，我只是從欣賞代數本身的角度來研究它,。我并沒有試圖將數學的不同領域結合起來,，因為老實說，我對數學的所有不同領域都感到困惑,。 （10：58）當范疇論出現時,，范疇論本身對我來說非常有意義。你不需要知道任何其他數學來理解范疇的定義,。它不依賴于任何東西,。它不涉及數學其他部分的內容，而只是直接進入,。 （11：12）但后來發(fā)生的事情是，它幫助我理解了我以前在本科學位時做過的所有數學部分,。我記得一些朋友和我坐下來說,，“嗯，真的,，這是我們以前做的所有事情的先決條件,。”我個人覺得,，如果我先做范疇論,，而不是用其他東西作為理解范疇論的跳躍點，它會幫助我理解所有其他事情,。問題是——激進的思想——每個人都是不同的,。即有些人通過數學的其他部分來理解事物。有些人通過范疇論了解數學的其他部分,。 （11：52）我認為目前數學教育方式的一個大問題是,，人們相信你必須有一定的順序來做數學,。所以我在書的開頭就把它描述為一系列的障礙。如果你認為數學是一系列的障礙,，并且隨著你的前進,，它們變得越來越高，那么確實是的,，如果你不能克服較低的障礙,，那么試圖克服更高的障礙就沒有多大意義。 （12：18）但問題是,，數學實際上并不是一連串的障礙,，而是一個相互關聯的思想網絡。因此,，圍繞這一點有許多不同的路徑,。因為一切都是相互關聯的。你可以在該網絡中使用各種不同的路線,。這里再次提出了激進的想法：不同的路線將以不同的方式適合不同的人,。這就像你最初如何呈現數學一樣。有些人喜歡先看具體的例子,，然后根據對具體例子的理解,，再看一般理論。 （12：50）但我更喜歡看一般理論,，然后再用具體的例子來幫助我,，同時用一般理論來幫助我理解具體的例子。當我去參加研討會時,，當研討會從例子開始,，然后做理論時，我總覺得我想倒著看研討會,。我必須把例子放在我的大腦里,，忽略它們，聽一般理論,，然后迅速嘗試倒帶,，然后回顧例子。 Strogatz（13：18）：你帶來的關于人類多樣性的心理學真是太好了,，因為我能聽到不只是成為一個研究型數學家,。你知道，你在一個藝術學院甚至可能不是偶然的,。你對數學和數學教育的看法是如此令人耳目一新,，具有平等主義和與眾不同。你知道,，即使只是拒絕這個障礙的比喻,，或者我們經常聽到的守門——我們知道我們的做法,，有些東西不起作用，對吧,？有這么多人對數學有強烈的厭惡,，在某些情況下接近數學恐懼癥或數學焦慮癥，這是不必要的,。我真的認為你可能已經找到了,，你至少為其中一些人找到了一條出路。 （14：03）但真正令我驚訝的是“抽象第一”或“理論第一”的想法,，因為我們經常被教導——就像在不同的領域：例如寫作,。我知道，我們倆都對寫作感興趣,。就像你讀過Strunk和White或很多老前輩,，他們會說“先舉例子”或“更喜歡具體而不是一般”。然而,，這顯然不對——你的大腦認為不對,。對于某些人的大腦來說，這可能是對的,。 鄭（14：26）：沒錯,。對某些人來說確實如此。七八年來,，我一直在藝術學院向我的藝術學生展示范疇論,。我發(fā)現他們是藝術專業(yè)的學生。他們中的許多人,，過去真的被推遲了數學和整個主流的教育,。數學的具體形式或數學的例子形式并沒有引起他們的共鳴。問題是抽象——所以我的課被稱為“抽象的優(yōu)雅”——似乎抽象與其他形式的數學相比,，抽象與生活的相關性更低,。實際上，我自己也曾經這么想過,。我曾經認為我做的數學，范疇論,，只對純數學的其他部分有用,。純數學對部分應用數學有幫助，應用數學對工程,、科學有用,。這對人類世界是有用的。所以我想,，我只是接受了我的數學形式 在一系列非常長的連鎖反應中對正常生活有用,。 （15：28）然后我意識到,，實際上，因為抽象是關于如何更好地思考,，它可以直接對人類生活有幫助——事實上,，它比應用數學和工程學更有幫助。所以如果你說數學是有用的,，因為,，這意味著我們可以制造使用GPS的手機，我們可以駕駛飛機和建造橋梁,。是的,，這一切都很棒。但這意味著任何不打算進入科學和工程領域的人都不需要這樣做,。它給了這些人一個真正的,，我認為，是正當的理由說,，“我很高興有些人做數學,，但我不明白為什么我需要自己做?！睂W生會說,，“哦，為什么我們必須學習三角學,？我永遠不會在生活中使用三角學,。”我認為這是有道理的,。我想說這是真的,。我在日常生活中很少使用任何三角學。我唯一使用三角學的時候是當我為數學論文繪制數學圖時,，我必須為某些東西找出一些坐標,。這不是日常生活的主流部分。 Strogatz（16：27）：對不起,，如果你不介意我打斷的話,。我想在這里給你一些設置，就像排球的風格,。我認為這對你來說應該很容易拒絕,。但讓我們看看。這就是我的想法：人們會提出的標準論點——我相信有些聽眾在搖頭,，“哦,，不”。他們認為三角學是神圣不可侵犯的?！澳阕詈貌灰獢[脫三角學,！”三角學對90%的人或99%的人來說毫無價值，但它教會你思考,?！斑@對你的思想來說是很好的鍛煉?！彼詠戆?，拒絕它。 鄭（17：02）：這正是我要說的,。這真是太好了,。我們同意。你可以打斷并同意我的看法,，太好了,！當我們推動數學對應用的有用性時——沒有冒犯應用數學家，事情就是這樣,。但是,，當我們推動這一點時，這并不是全部和最終目的,。因為正如你所說,，這是關于學習如何思考。因此,，當我們學習三角學時,，并不是因為三角學有用。這是因為它是對我們大腦的訓練,。一旦你把數學作為一種思維方式,，那么它對任何關心思考的人來說都變得很重要。我希望每個人——有時似乎不是每個人都在思考,。但是,，任何關心思考的人，我的藝術學生真的很關心思考,，當他們意識到這不是直接應用時,，他們就會以不同的方式對它感興趣。這不是直接解決問題,。這是關于學習使用大腦的新方法,，并學習如何使用你的大腦對同一件事獲得許多不同的觀點。 （18：02）我認為這就是抽象對我來說的意義所在,。當你上升到一個更高的層次時，——我的意思不是指更困難的高度,，只是指一種鳥瞰圖,，忽略了一些關于事情的小細節(jié),，你可以更好地轉身，可以看到不同的觀點,。我認為數學經常被呈現為固定和僵化的東西是一種恥辱,，因為我真的相信它是關于靈活性的，關于在同一件事上綁定不同的觀點,。甚至三角學也非常深入地在圓形視角和方形視角之間切換視角,。我認為當我們談論三角學時，這還不夠,。這通常是關于記住所有這些啞笨的公式或三角函數,。但這實際上是關于如果我們通過圓形視角而不是方形網格來理解世界，我們如何在這兩種觀點之間轉變,？ （18：59）我認為這就是所有數學的意義所在,，甚至是那些可怕的方程和等號，正如你所說,，我們正在遠離它們,。方程實際上是觀點的轉變。方程在說什么,？它是說某物等于其他事物,。但它說的遠不止于此。它說,，一些在某種意義上彼此不明顯相同的事物實際上在另一種意義上彼此相同,，這使我們能夠將我們的觀點從一個改變到另一個。即使是簡單的事情,，比如5 + 1 = 1 + 5,，也告訴我們，一種觀點是我們可以取五件東西,，然后再添加另一件東西,。另一種觀點是，我們可以取一個,，然后添加五個,。這似乎不是一個完全不同的觀點。但是如果你教一個小孩子這種想法,，你可以做的一種方法是可以把一件東西和五件東西放在一個盤子上,，然后你可以旋轉盤子，或者你可以讓他們走到盤子的另一邊,，這時一件和五件東西已經交換了位置,。所以你真的改變了你的觀點。這就是抽象數學的意義所在。 Strogatz（20：01）：好吧,，這可能有點違背你告訴我們的關于抽象和理論構建的精神,，而不是例子和細節(jié)。但我認為,，如果你可以給我們一些例子,，說明一個范疇是什么，或者你如何通過忽略某些細節(jié)來使用更高層次的思維來闡明某些事——一些絕對思維方式的例子——也許會有所幫助,。我們可以從一個范疇開始嗎,？還是一開始就太技術性了？ 鄭（20：29）：不,，我認為我們可以從這個開始,，因為聽眾可能有興趣聽。一個范疇,，是一段代數,。但這個想法是，一方面,，我們可以看看一系列的東西,。一組東西只是一堆對象。除了有一堆對象,，我們沒有任何額外的信息,。所以一個范疇的作用是說，如果我們也思考這些對象之間的關系,，那么我們就會得到更多的可以思考的東西,。因此，一個范疇由一堆對象組成,，它們之間的一些選擇關系滿足一些溫和的公理,。但這個想法是，如果我們通過它們的關系而不是通過它們的內在特征來研究對象,，那么我們就會理解很多的相關內容,。這就像我們研究人一樣——看看人們如何與他人互動真的很有意義。如果你正在寫某人的傳記,，那么只寫一整本書來描述他的內在特征,，而不是看他與他人的關系，他與家人的關系,，他與朋友的關系,，他的伴侶，他的孩子,，與他一起工作的人,，這將是非常奇怪的,。從那里，我們通過他與他人的互動來建立對他性格的看法,。 （21：45）這就是范疇論,。它的意思是，我們把一切都放在一個語境（上下文,、背景環(huán)境）中。靈活性在于,，我們可以通過思考它們之間的不同關系,，將相同的對象放入不同的語境中。因此,，我們可以思考,，例如，人與人之間的年齡關系,，或者我們可以思考他們之間的教育關系,。因此，我們可以思考人們的年齡,，或者可以思考他們有什么水平的教育,。我們可以思考他們在工作中如何相互交流，或者可以思考哪些數學家與他人合作 - 這與他們的年齡無關,。我想他們可能必須同時活著,。因此，這使人們處于不同的語境中,。 （22：26）范疇論就是說,，我們不應該在語境之外思考任何事情，因為事物的特性確實會根據它們所處的語境而改變,。甚至數字本身會根據它們所處的字符語境而改變,。例如，普通數字 — 1,、2,、3、4,、5,、6、7,、8,、9、10,、11,、12,、13...它們永遠持續(xù)下去，它們變得越來越大,，永遠越來越大,。而時鐘上的數字則繞著圈子轉。這真的很重要,，因為如果我們不繞圈子,，我們就會說這樣的話，“哦,，我會在1000233點鐘見你”,。因此，語境真的很重要,。 （23：06）事實上,，我最近和學生一起做的一件事就是思考一種稱為偏序（partial ordering）的特定范疇。一個全序（total ordering）是你可以將所有內容放在一條直線上,，例如數字,。你可以把它們全部排成一排。有一種非常明智的方法將它們全部放在一個直接的層次結構中,。問題是,，生活中沒有多少事情適合直接的層次結構。不幸的是,，我們人類的傾向是試圖將所有東西都推入直接的層次結構中,。我認為這是因為我們還沒有充分習慣其中有更多維度的東西的復雜性。因此,，我相信讓我們的大腦更好地處理更多的維度,，這樣我們就可以對情境理解更加細致入微。 Strogatz（23：50）：也許我們應該接受你提到的偏序,，因為我不太確定我是否理解你的意思,。 鄭（23：55）：好的。在全序中,，你可以清楚地說出一切都是直線順序,。所以 1 小于 2，2 小于 3,，3 小于 4,。沒有歧義。但隨后我們陷入困境——我經常談到的一個情況是與不同類型的特權有關,。即如果我們接受某些人的身份給了他們在生活中更多的特權,，這并不意味著他們比其他人過得更好，這只是意味著他們的特定方面不會給他們帶來問題,。例如,，白人對非白人擁有結構性特權,。男性對非男性擁有結構性特權。因此,，只有白人對非白人是一個全序,。我們已經把它們整理好了。男性對非男性也是一個全序,，因為我們已經把他們放在一個順序中,。 （24：48）但是，當我們把這兩者結合起來時,，就不能再按順序排列了,。因為在這些人群中，白人男性肯定擁有最多的特權,，然后非白人非男性擁有最少，但如果我們看看非白人的男性和非男性的白人,，我們不能把他們按順序排列,，因為他們每個人都有一種類型。因此,，如果我們嘗試,，那么我們就會陷入潛在的對抗局面。經常發(fā)生的事情是,，白人女性如此關注她們作為女性受到壓迫的方式,，以至于她們最終對種族主義問題疏忽了，因為她們過于關注自己作為女性的問題,。如果她們只是把整個世界看作男人對女人,，那么她們就會忽視種族主義問題。與此同時,，非白人可能過于關注他們作為非白人所面臨的問題,，以至于他們忽略了女性的問題。 （25：41）因此,，在社會學的其他領域,，這也許被稱為交叉性（intersectionality）。當然,，數學中的交叉點意味著略有不同的東西,。但我喜歡把它看作是一個更高維度的情況，因為不是把每個人都放在一條一維的直線上,，現在變成了一個二維的情境,，這里它不是一個全序，而是一個偏序,。因為我們不能完全讓每個人都排隊,，所以我們只能部分地做到這一點,。如果你畫一張圖表，它看起來像一個正方形,，而不是一條直線,。然后，如果你添加其他類型的特權,，你將獲得一個多維數據集,，然后你不斷為你添加的每種類型添加更多維度。 Strogatz（26：21）：這是一個豐富而有趣的例子,。我的意思是,，如果我們開始談論女權主義的歷史，它也將具有很多歷史意義,。我想每個聽眾都會意識到這些是你剛剛提出的非常真實的事情,。這些不是與日常生活無關的抽象概念；事實上,，它們具有巨大的相關性,。我們一直在談論——我不知道我們應該怎么稱呼它們——社會正義，或者對現實生活中真實人物的擔憂,。這不是范疇論所固有的,，對吧？這是我們可以使用它的眾多可能方法之一,。但我們也可以在化學或物理中使用它,。 鄭（26：57）：哦，是的,。所以范疇論本質上只是一段代數,。僅此而已。這是一個看起來完全像代數的定義,。從一些對象和一些箭頭結構開始,。（這就是數據：你輸入一些結構，有一些公理,，然后用邏輯操縱它）,。所以我描述它的方式聽起來有點哲學性。但那是因為我沒有給需要了解全部細節(jié)的研究生講課,。是的,，我們不該給人以印象：即它只是一些模糊的哲學。它確實是一門非常精確的數學,，是一個非常技術性的代數,。我發(fā)現我可以把它應用于這些問題，社會正義的這些非常困難的問題,。 （27：38）有兩件事,。一個是我剛剛在做的這件事,。我剛剛意識到，這就是我的想法,，這就是我理解周圍世界的方式,。這就是為什么我覺得能夠理解人們，即使我完全不同意他們,。你知道,，我經常在互聯網上看到我完全不同意的人，然后其他人就像“哦,，我的天哪,，我不敢相信有人會這么想，或者怎么會有人投票給這樣那樣的事情,？”我一直認為我絕對可以理解為什么有人會這么想,。如果我做不到，我會很高興坐下來,，努力去理解它,。并不是說其他人不理性。有些人會說,，“哦，好吧,，如果其他人只是不理性,，你怎么能處理它？”我認為這絕對是錯誤的做法,。我們宣稱別人是非理性的,，這是居高臨下，也是錯誤的,，因為他們也會宣稱我們是非理性的,。緊接著我們所做的就是大喊大叫比嗓門。真正重要的是找到他們的邏輯是什么,，從他們的角度分析他們的邏輯,，而不是把我們的邏輯強加給他們。 （28：38）這就是我們在數學方面所做的,。我們不會使用數學另一部分的公理來研究數學的一部分——這沒有任何意義,。但是，正如你所說,，我們所做的是,，使用某種轉換（transformation，亦譯為變換）或映射（map）從一個部分映射到另一個部分,。這是范疇論所做的一件事,。它為我們提供了一種在一個世界中找到抽象結構的方法,，然后將其映射到另一個世界，以使抽象結構仍然相關,。這就是我如何通過一種來自抽象的同理心,，理解我完全不同意的人。這就是我和我的藝術學生談論抽象的方式,。因為他們并不真正關心如何建造飛機或建造橋梁,。他們真正關心社會正義和其他人以及他們不同意的人的問題，以及如何讓世界變得更美好,。因此,，在向他們展示應用于這些問題的抽象時，它不僅幫助他們理解這些問題,，而且還激起他們對抽象的興趣,，并說服他們抽象數學也可以與他們相關。 Strogatz（29：47）：所以冒著過多地研究代數的風險,，你書中有一段話讓我印象深刻,，你談到了一類稱為等價關系的關系。你說的關于它們的有趣事情——我的意思是,，我肯定一生都在數學上聽說過它們——是它們可能表現得太良好了（well behaved）,，無法成為你所說的可廣泛表達性（broadly expressive）。我覺得這對我們來說是一個很好的話題,，因為我們說,，你知道，在我的介紹中我說過,，除了等號之外還有數學嗎,？感覺這讓我們陷入了某種錯誤（如果我能直截了當地說的話） 、某種僵化或過于僵化的一些關于等價概念的東西,。但我想聽聽你對此有何看法,。我的意思是，也許你能提醒我們或教我們什么是等價關系,？然后從這個角度來看,，它們有什么問題？表現良好,，廣泛表達性是什么意思,？ 鄭（30：43）：是的。等價關系是我們抽象地研究關系性質的東西,。因此,，我們思考了諸如“生日相同”之類的關系類型，這是你可以詢問任何兩個人的問題。某人A 的生日和某人B 的生日一樣嗎,？或者我們可以說“年齡相同”,。另一種關系，如“年長于”,。所有這些都是關系的例子,，然后我們可以研究這些關系的性質，不是在個人之間,，而是關系本身的類型,。 （31：15）因此，等價關系是滿足某些性質的關系,。一是每個人都與自己有關。那么,，每個人的生日和自己一樣嗎,？是的,，確實是,。但是每個人都比自己大嗎？不,，他們不是,。事實上，沒有人比自己年長,。這是第一個屬性,，稱為反身性（reflexivity）。 （31：33）下一個性質稱為對稱性（symmetry），即如果A與B有這種關系,，那么B與A有這種關系就一定為真嗎,？即如果A與B的生日相同,，則B與A 的生日必然相同。但如果A 比B 年長,，那么B 不比A年長,；這不是一個對稱關系,，實際上,，它是一個反對稱（anti-symmetric）的關系,，因為反過來是對的,。 （32：00）然后第三個是傳遞性（transitivity），也就是說,，你能通過中間人傳遞嗎,？即如果A與B有這種關系,，而B與C有這種關系,，這是否意味著A與C有這種關系？即如果他有與B相同的生日,，而且B的生日與C相同,，你可以推斷出A和C的生日相同。如果A比B年長,，B比C年長,，那么是的,，你也可以推斷出A比C年長,。但是，例如,，如果A是B的母親,，而B是C的母親,，則不會傳遞：A不是C的母親。但她們之間有一個合理的關系,，那就是A是C的外婆,。因此，有許多有趣的關系根本不滿足這些屬性,。這是因為這些屬性,，正如你所說,，它們的限制性太強，無法表現出很好的表達力,。 （32：51）事實證明,，滿足等價關系就像把人放在鴿籠里一樣。這就像把你的整個世界劃分成完全獨立的盒子,，把人塞進那些盒子里,，不允許任何灰色地帶，不允許任何人跨越邊界或在地點之間移動,。所以這是非常非常嚴格的,。當有很多法律（法則）時，（我的意思是,，這真的有點像在生活中） - 法律是維持一點秩序所必需的,。但是如果你有太多的法律，那么你的限制是如此之大,，以至于沒有人可以表達自己,。在社會上也是如此。但是如果法律太少,，那么最終可能會陷入無政府狀態(tài),。 （33：31）數學也是如此。我們想要在數學中研究的那種關系遠遠超出了等價關系,，也超越了生活中的關系,。我和我的學生討論過這個問題，我們談到了“愛”,，這是反身關系嗎,？每個人都愛自己嗎？或者只談論“是朋友”——每個人都是自己的朋友嗎,？不過可悲的是,，有些人不是自己的朋友,。然后我們談談友誼是否對稱。你知道,，如果A是B的朋友,，那是否意味著B是A的朋友？“愛”絕對不是,，因為有單相思,。但是可能有單向友誼嗎？如果某人對你不好,，你和他真的是朋友關系嗎,？這是一個有趣的問題。 （34：10）然后,，傳遞性也是社交媒體想要強加給我們的,。他們希望我們和朋友的所有朋友成為朋友。但這不一定是對的,。因此,，范疇論使我們能夠研究關系的更廣泛版本，在這些關系中,，關系不必在中間人之間傳遞,。我們可以說一些合理的話，即如果在A和B之間有關系,，在B和C之間有關系,，那么我們可以對A和C說一些東西，比如“祖母”或“叔叔”,，如果你去找你父親的兄弟,，我們稱之為叔叔。因此,，在正常生活中,，在家庭關系中，我們有文字來整理這些關系,。我們也想在范疇論中做到這一點,。 （34：57）這種輕微的轉變使我們能夠表達更多的情況。范疇論的最初創(chuàng)始人所想到的如此多的情況只是它現在使用的一小部分,。 Strogatz（35：16）：有人告訴我,，在數學的另一部分代數幾何中——聽起來它結合了代數和形狀的東西——代數幾何被范疇論和[亞歷山大]格羅滕迪克等人的思想涌入所徹底改變。你能告訴我們一些這方面的事嗎,？我的意思是,，這似乎是該領域作為數學的一部分的偉大成功故事之一。 鄭（35：41）：是的，正如你之前所說,，范疇論往往是關于在不同事物之間建立聯系。這可以是個別的東西,，也可以是數學的整個分支,。我認為我喜歡抽象的一個強大方面是它使我們能夠放大和縮小。它適用于多種尺度,，因為它不依賴于尺度。因此,，你可以使用它來研究單個對象,，但也可以使用它來研究整個范疇的對象。 （36：08）范疇論開始的一大見解是,，對象的總體——對象世界,、數學對象——本身就是數學對象。這只適用于抽象的東西,。因為如果你想到,，比如說，鳥——你可以研究一只鳥,。然后如果你看一群鳥，是另一回事,，那不是一只鳥,。然而，如果你看一個數學對象,，比如一個拓撲空間,，然后你看它的整體——整個拓撲空間,。這本身就是一個數學對象,。所以單個拓撲空間可以表示為一個范疇,，而且,，拓撲空間的整體也可以表示為一個范疇。然后,，群體的總和也可以表示為一個范疇,。即范疇論為我們提供了一種方法，不僅可以在拓撲空間之間遷移,，而且可以在整個拓撲世界和整個群世界之間遷移,。 （37：06）對于代數幾何,，我們思考的不是拓撲空間，而是幾何空間,。幾何和拓撲之間的區(qū)別實際上是我們所說的相同,。因此，我們回到了相等與等價的概念,，因為甜甜圈顯然不等于咖啡杯,。只是有一個觀點，它們是相同的,。這就是拓撲學的觀點,。但這不是幾何學的觀點。幾何學的觀點說事物是相同的,；我們確實需要思考曲率（curvature）,。拓撲只真正思考連通性（connectedness）。（這是一個簡化,。但我認為這是本質,。）幾何學考慮曲率，這意味著我們將不同的東西視為相同,。 （37：52）問題是,，在生活中，我們對在某種意義上視為相同的東西非常靈活,。我出色的博士導師馬丁·海蘭（Martin Hyland）經常說,，有一種感覺——這是一種口號，但它不僅僅是一個口號,，也是一種觀點,，是一種思維方式——我們總是提醒自己，有一種感覺,，一件事是真的,，也有一種感覺另一件事是真的。因此,，從某種意義上說,，我們可以將咖啡杯和甜甜圈視為相同。當然,，還有另一種意義上它們是不一樣的,。但是我們可以在數學中做出這些選擇。我認為主流數學教育肯定沒有足夠強調我們做出選擇的能力,。事實上,，我們可以這樣做，那種沖動，那種勢在必行,，通常不會給數學學生,。而是已經為他們做出了選擇。他們被告知,，“我們要做這些事情,。這樣做，否則你就錯了,，你將無法通過這個考試,。”而在抽象數學中,，我們會說：“讓我們選擇吧,！我們準備把什么看成一樣？” （38：51）這就是等價的意義——這是一個比相等更靈活的概念,，因為它說我們將在這種情況下做出選擇，我們現在想要把哪些事情視為相同,，只是為了給出一個觀點,，將研究如果把這些事情視為相同，世界上會發(fā)生什么事,。我認為這對我們這個世界也有巨大的教訓,，因為我們談論世界上的平等和公平。然后陷入非常分裂的爭論,，因為有些人說,，“嗯，男人和女人不一樣,?！边@是真的。男人和女人不一樣,。因為如果它們是相同的,，我們根本不需要“男人”和“女人”這兩個詞。也許在烏托邦的某個時刻,，我們可以擺脫談論男人和女人,，但目前我們不能。因為存在差異,。問題是,，我們什么時候應該將它們視為相同？ （39：37）我們可以做出這樣的選擇,。如果我們關心這些事情,，做出一個好的選擇是非常重要的。我認為，就像在范疇論中一樣,，重點通常不是關于它們的內在特征,，而是關于它們可以在社會中扮演的角色，以及它們可以在語境中扮演的角色,。在幾乎所有情況下,，它們都可以玩完全相同的規(guī)則，因此我們應該將它們視為相同,。 （40：02）在范疇論中,，當你有等價的對象，或者在基本范疇中,，它們被稱為同構（isomorphisms）,。在更高維度的范疇中，它們被稱為等價,，也就是說,，當我們添加更多的維度時，會得到更多的細微差別,。關鍵是該范疇并不認為這些事情是不同的,。范疇實際上無法區(qū)分這些對象，因為它們可以在該范疇中扮演相同的角色,。 （40：26）我認為也應該這樣對待我們人類,。如果人們可以扮演相同的角色，我們就不需要在他們之間做出任何區(qū)分,。事實上,，到目前為止，我已經想到了這一點,，我想說這就是為什么我不記得人們長什么樣,，因為我只記得他們在我生活中扮演的角色。因此,，一旦我們開始互動,，我就可以通過他們的互動來記住他們是誰，而不是通過他們的外表,。甚至有一種情況,，有人我非常討厭。我認出了那種特別令人討厭的烙印,。這讓我想起了另一個我非常討厭的人,。然后當我遇到第三個以同樣的方式讓我討厭的人時，我坐下來,，我說,，“等一下,。”我翻閱了多年的電子郵件,，意識到他們都是同一個人,。實際上，我記得的只是他們與我互動的形式,，而不是他們的名字,。 Strogatz（41：26）：這是一個有意思的故事。真棒,。好吧,，我很抱歉令人討厭的部分。但我喜歡從中得出洞察力,。 （41：35）但是現在,，你順便提到了高階范疇論，這是我最近聽到的一句話,。我對此感到疑惑,。和你前面提到的范疇論本身就是一個數學對象有關嗎？所以你可以用范疇論來研究范疇論嗎,？它與此有關嗎,？ 鄭（41：54）：是的，答對了,！它與我們一直在談論的許多事情有關,。如果你自己做一個范疇理論,，那么你需要另一個維度,，因為范疇已經有了另一個維度。因此,，有許多沖動將我們推向更高的維度,。這是其中之一——如果你想研究范疇本身，你需要另一個維度來處理它,。這個額外的維度來自對關系的思考,，因為這確實是一個更高維度的東西，僅僅思考對象,。如果你孤立地思考物體,，我們可以把它看作是一個零維的。它沒有維度,，它只是斑點,。然而，如果你思考它們之間的關系,，就像在不同的事物之間開辟路徑一樣,。這是一種一維關系,。 （42：38）因此你可以對自己說，我們難道不應該思考一下這些關系之間的關系嗎,？如果我們對生活的看法是我們應該把一切都放在上下文中,，那么我們不應該把關系本身也放在上下文中嗎？這種沖動是一種將我們推向更高維度的沖動,，在那里我們也想思考關系之間的關系。然后你猜怎么著,？我們說,，“嗯，那些關系之間的關系呢,？”然后我們說,，“哦，這些之間的關系呢,？”然后如果我們從不停止,，那么我們就會到達無限。這就是我們獲得無限維度范疇的方式——我們去哪里,，“我們永遠不應該停止思考事物之間的關系！”這些維度中的每一個都增加了情境的細微差別,，就像——在證明中,，我們也可以這樣做。如果我們比較書,，你可能會說,，“哦，我覺得這本書比那本書好,。然后我說,，“哦，我認為這本書比那本書好,，”然后我們可以，如果我們不是很微妙地體察,，我們會互相大喊大叫，然后說,，“哦,，你太笨了，我不敢相信你喜歡那本書,?！?/p> （43：31）但是,，如果我們稍微一點點——如果我們有一維的微妙差別，可以談論感官,，我們可以說：“嗯,，這本書有一個更有趣的情節(jié),，但那本書有更多的有趣的人物,。”然后我們可以承認,，我們中的一個人對角色發(fā)展更感興趣，而另一個人對情節(jié)更感興趣,。然后我們可以比較這些，我們可以說“好吧,，我們喜歡情節(jié)而不是角色嗎,？”然后我們可以盡可能多地繼續(xù)前進,，讓我們的情況越來越有細微差別（nuance）,。 （43：59）問題在于，它也增加了很多復雜性,。因此,，處理無限維度是非常困難的。所以我們試圖停下來,。因此,，我們嘗試對高維事物進行低維近似，這就是為什么一維范疇仍然有用并且具有啟發(fā)性,。但是,，首先，人們更多地推動了進入更高維度的領域,，因為我們現在正在研究數學其他部分的許多更高維度的東西,。其次，因為一旦整個一維范疇理論發(fā)展起來,，那么做高維就變得更容易了,，因為我們在低維上更好。因此,，二維范疇理論在處理一維范疇方面得到了很好的發(fā)展?，F在我們對兩個范疇更滿意了，我們進入了更高的維度,，因為當你對它感到滿意時,，一切都會變得更容易。 Strogatz（44：49）：非常有趣,。確實,，它確實以這種方式工作。我的意思是,，當你只是在嗤之以鼻時,，當你對某事感到滿意時，即使......就像,，你在書中提到,，即使是數字三的概念,。或者也許你的例子是二,，但我可能可以概括,。我想你會說些什么——兩個香蕉和兩個蘋果，當你還是個小孩子的時候,，你正在數我的兩個手指,，或者這兩種聲音。在某個時候,，你只是開始固有地理解這個概念,，兩個的抽象概念——不是指任何特定的東西，只是兩個,。我們往往會忘記,，二，數字二,，是一個抽象的概念,。 鄭（45：30）：對。那些說他們不喜歡抽象的人,，或者范疇論太抽象的人——也許每個人都有某種限制,，到目前為止，他們已經達到了他們所適應的抽象,，或者他們想做的,。但是我們都可以擴展我們熟悉的抽象。我們也可以擴展我們想要做的抽象,，如果我們意識到它可以在更多方面幫助我們,。就像我的學生一樣——他們不太喜歡數字。我的意思是,，老實說,，我也不是那么熱衷于數字。數字真的很無聊,；這就是數字的全部意義在于它們很無聊,。我們把一些東西歸結為一個非常無聊的本質。我對那些比這更豐富的東西感興趣,。我的學生對這些抽象概念不感興趣,。 （46：14）但是,，當我們談論社會結構,，或者更努力地思考人與人之間的互動時，他們真的很感興趣,。然后這給了他們思考更多抽象的沖動,。我們中的一些人只是因為抽象而喜歡抽象,，因為我喜歡抽象。但有些人需要更多地被它能為我們做的事情所吸引,。 （46：36）既然你在開頭提到過,，我個人不喜歡把范疇論稱為“抽象的廢話”。我認為,，這句話一開始就是一種侮辱,，因為一些數學家認為它什么都沒做。在某種程度上,，它什么也沒做,。但這就是重點——它所做的是發(fā)光，以便其他人可以做更多的事情,。然后我認為有一個舉動是收回抽象廢話這個詞,。通常情況下，當人們感到受到侮辱時,，你可以做的一件事就是為自己收回侮辱性的術語,。所以人們收回了它，但我不喜歡這樣,，因為它不是廢話,。這是抽象的奇妙。這是抽象的美味,。這根本不是廢話,，因為它可以幫助我們做事。 Strogatz（47：16）：哦,，對你有好處,，太棒了。我知道,，我意識到這是一個非常挑釁的短語,。我想激怒你一下。我喜歡你如何應對這個場合,。但你是對的,，“抽象的奇妙”。讓我們一起吧,。 鄭（47：29）：我認為,，如果我們習慣于抽象，那么我們就不需要用有趣的詞來描述我們正在做的事情,。我們做一些抽象的計算,。然后我們得出了這個見解。我認為，理解數字已經是一種抽象,，對于那些對抽象持懷疑態(tài)度或認為自己做不到的人來說,，是非常有幫助的，因為每個人都能做到,。因為我們在生活中一直在這樣做,。我認為這是一種非常人性化的沖動，實際上,，數學似乎是一個非常做作的東西,，而且確實如此。但我認為這是基于一種非常人性化的沖動,。 Strogatz（48：05）：這是一個美麗的結束之處,。謝謝你幫助我們看到，正如你所說的,，抽象的樂趣,。我想我們現在都可以慶祝它。謝謝鄭樂雋博士,。 鄭（48：16）：謝謝你非常有趣和深入的談話,。 參考資料
讓數學更易學易練， 易教易研,，易賞易玩,， 易見易得，易傳易及,。 |
|
|
