【原】小樂數(shù)學(xué)科普：實數(shù)值代數(shù)幾何的邀請——譯自AMS Notices美國數(shù)學(xué)會通告2025-2

zzllrr小樂 2025-01-24 發(fā)布于江蘇

展開全文

本文作者正在主持一個由AMS贊助的關(guān)于實數(shù)值代數(shù)幾何（Real Numerical Algebraic Geometry）的數(shù)學(xué)研究社區(qū)（MRC，Mathematics Research Community）,。作者制定的研究計劃將側(cè)重于實數(shù)值代數(shù)幾何的理論和算法設(shè)計,，以及解決運動學(xué)（kinematics）和化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（chemical reaction networks）等應(yīng)用中出現(xiàn)的問題。本文提供了一些背景知識,，并介紹了本MRC的主題,。鼓勵對數(shù)學(xué)和相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域感興趣的純理論和應(yīng)用研究人員加入。

作者：

Jonathan D. Hauenstein

Dhagash Mehta

Margaret H. Regan

Samantha N. Sherman

Charles W. Wampler

美國數(shù)學(xué)會通告AMS Notices 2025-2

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-1-24

1. 實數(shù)值代數(shù)幾何

數(shù)值代數(shù)幾何（65H14,，MSC2020數(shù)學(xué)學(xué)科分類代碼）是一個數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域，專注于數(shù)值計算和操縱多項式方程組的解集,。數(shù)值代數(shù)幾何（numerical algebraic geometry）這個名字是由Sommese和Wampler【21】于1996年的一篇論文中創(chuàng)造的,。

通過對代數(shù)運算封閉的復(fù)數(shù)進行計算，可以證明有關(guān)多項式方程組求解的許多結(jié)果,，從而得出可以使用浮點算術(shù)實現(xiàn)的計算上可行的算法,。例如，可以計算給定多項式方程組解集的不可約分量,，并通過所謂帶有見證集的數(shù)值不可約分解在計算機上表示它,。書籍【3】【22】提供了數(shù)值代數(shù)幾何的一般概述。

對于多項式方程組在科學(xué)和工程中的大多數(shù)應(yīng)用,，只有實數(shù)解才有意義,。一些示例包括計算動力系統(tǒng)的平衡點（equilibria）、合成一個力學(xué)裝置（也稱為機構(gòu),，機械結(jié)構(gòu),，mechanism）執(zhí)行給定任務(wù)以及在計算機視覺中從二維圖像重建三維模型。

當(dāng)然,，如果一個多項式方程組在復(fù)數(shù)域上只有有限多個解,，那么一種方法是計算所有復(fù)解并僅保留解的實子集。盡管這種方法已經(jīng)有效地用于中等規(guī)模的問題,，但實解的數(shù)量通常只占復(fù)解數(shù)量的一小部分,，因此浪費了大量的計算,。

例如,，四桿機構(gòu)合成（four-bar synthesis）中的一個問題的8652個復(fù)解中只有384個實解【24】，而一個計算動力系統(tǒng)平衡點的問題的大約101?個復(fù)解中只有2個實解【9】,。因此,，一個關(guān)鍵的研究領(lǐng)域是開發(fā)數(shù)值方法，用于計算和操縱產(chǎn)生實數(shù)值代數(shù)幾何的多項式方程組的實解集合,。

由于實數(shù)不是代數(shù)運算封閉的,，因此在僅考慮實數(shù)解時，支撐數(shù)值代數(shù)幾何技術(shù)的許多理論不再成立,。但是,，有越來越多的算法用于數(shù)值計算和操作多項式方程組的實數(shù)解集。這包括用于對實數(shù)點進行采樣的臨界點方法,、用于確定連通性的路由函數(shù)和路線圖,，以及用于提供完整描述的單元分解。

圖1

由Griffis-Duffy平臺繪制的曲線,，這是一個罕見的Stewart-Gough平臺

2. 探索實參空間

科學(xué)和工程中出現(xiàn)的多項式方程組通常取決于反應(yīng)速率,、長度和溫度等參數(shù),。由于實解集的行為會隨著參數(shù)的變化而變化，因此可以探索參數(shù)空間來確定不同的行為,。一種探索工具是對如下形式方程的參數(shù)同倫（parameter homotopy）

H(x,t)=F(x;t?p?+(1?t)?p?)=0

從t=1到t=0使參數(shù)變形p從起始參數(shù)p?到目標(biāo)參數(shù)p*,。參數(shù)同倫允許有效地計算適用于許多不同參數(shù)p*的方程F(x;p*)=0解。此類信息可用于提供對參數(shù)空間的地理位置的見解,。

圖2顯示了當(dāng)一個3RPR機構(gòu)的兩條腿的長度發(fā)生變化時,，基于實數(shù)解數(shù)的參數(shù)空間分解【16】。顏色表示實解數(shù),，因此顏色越深,，實解就越多。邊界與判別式軌跡（discriminant locus）相對應(yīng),。

圖2

基于實數(shù)解的3RPR機構(gòu)的參數(shù)空間分解

如果在判別式軌跡的補中執(zhí)行連通分量內(nèi)部的實數(shù)參數(shù)同倫,，那么起始參數(shù)和目標(biāo)參數(shù)的實數(shù)解之間必定存在雙射。參數(shù)空間探索與學(xué)習(xí)邊界相結(jié)合表明,，相應(yīng)的實參數(shù)同倫顯著降低了計算實數(shù)解的計算成本【4】,，特別是當(dāng)實數(shù)解的數(shù)量與復(fù)數(shù)解的總數(shù)相比較少時。

例如,，在圖3所示的三焦點擺位（pose,，姿勢）幾何問題中，共有312個非奇異的孤立解,，但其中只有大約35個是實數(shù)解【13】,。計算機視覺展示了極小值問題，其中實解的數(shù)量大大小于總度數(shù),。因此,，繼續(xù)擴展當(dāng)前方法以專注于實解，可能會對應(yīng)用中的多參數(shù)實例的高效和快速求解產(chǎn)生重大影響,。

圖3

三焦點擺位的幾何圖形：三個針孔相機查看一個點加切線（point-plus-tangent）【13】

當(dāng)使用一系列參數(shù)同倫時,，很自然地會考慮當(dāng)在參數(shù)空間中執(zhí)行循環(huán)并返回到原始參數(shù)集時，解會發(fā)生什么,。傳統(tǒng)上,，單值群（monodromy group）封裝了孤立解的所有可能置換排列。使用F(x,t)=x2-t=0的復(fù)平方根演示了非平凡單值環(huán)路的一個簡單示例,。

如圖4所示,，從(x,t)=(1,1)開始并跟蹤解x(t)，t=e^{iθ},，當(dāng)θ從0到2π將返回到(x,t)=(-1,1),。因此，單值群是兩個元素上的對稱群，因為在t=1處的兩個解x=±1可以互換,。

盡管單值群刻畫了復(fù)數(shù)解中的一些結(jié)構(gòu),，但它可能無法刻畫有關(guān)實解的有趣行為。例如,，回到圖2中提供了參數(shù)空間分解的3RPR機構(gòu),，非平凡的單值動作對應(yīng)于非奇異的組裝模式變化。對于工程師來說,，在控制并聯(lián)操縱器時,，了解這一點非常重要，因為“初始”位置的擺位可能會發(fā)生變化,。

盡管復(fù)單值群是完全對稱的群,，但紅色區(qū)域中的6個實數(shù)解實際上分成了兩個3個實數(shù)的子集，這些子集只能在它們之間置換排列【16】,。特別是,，從“初始”位置擺位開始，可以返回到其他兩個擺位,。由于這種行為不是用經(jīng)典單值群在復(fù)數(shù)上刻畫的,，這舉例說明了使用專注于實數(shù)的方法來理解實數(shù)解行為的影響。

圖4

單值環(huán)路：當(dāng)t在0附近的復(fù)數(shù)空間?上環(huán)繞時,，x在1和-1之間切換

對于正維實數(shù)解集,，采樣技術(shù)與拓撲數(shù)據(jù)分析相結(jié)合可用于構(gòu)建近似拓撲結(jié)構(gòu)的圖形。例如,，圖5顯示了并行五桿操縱器的配置空間【12】,，可用于路徑規(guī)劃，以有效地連接不同的配置,，同時避免從機械角度來看存在問題的配置,。

圖5

在配置空間中為并行5桿操縱器規(guī)劃路徑

除了采樣之外，其他數(shù)值計算正維實數(shù)解集的方法包括單元分解【5】和使用路由函數(shù)【10】【18】的分解,，這將作為本MRC的一部分進行探討,。

3. 實解個數(shù)

對于任何一般具有有限多個復(fù)解的參數(shù)方程組,，一個自然而然的問題是實解的最小和最大數(shù)量。例如,，組裝Stewart-Gough平臺對應(yīng)于求解參數(shù)多項式方程組，該方程組通常具有40個復(fù)數(shù)解,。1998年,，人們發(fā)現(xiàn)了一組參數(shù)，使得所有40個解都是實解，這意味著相應(yīng)的Stewart-Gough平臺機器人可以以40種不同的方式組裝【11】,。類似的問題出現(xiàn)在許多應(yīng)用領(lǐng)域,，包括具有多重實平衡點的化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

另一個示例是確定Kuramoto模型的最大平衡點數(shù)量,，該模型是用于描述同步的數(shù)學(xué)模型,。對于三個振蕩器，實平衡點的最大數(shù)量對應(yīng)于普通形式復(fù)數(shù)根數(shù),，即6,。對于四個振蕩器，使用參數(shù)空間探索推測最大實平衡點數(shù)為10,，嚴(yán)格小于普通形式復(fù)數(shù)根數(shù)14,。4-振蕩器的這個上界10在【15】中得到證明，圖6說明了在每個分量中計算至少一個采樣點的方法,。具有5個或更多振蕩器的情況仍然開放。

圖6

從n=4的Kuramoto模型的參數(shù)空間分解,，在每個分量中有采樣點【15】

關(guān)于參數(shù)化族的一個自然問題是，是否總是存在一個實數(shù)解,，即，實解的最小數(shù)量是否為正數(shù),。當(dāng)然,，如果具有實系數(shù)的多項式方程組有奇數(shù)個非奇異復(fù)解，那么總會有一個實解,，因為非實解出現(xiàn)在復(fù)共軛對中,。對于偶數(shù)問題的情況，答案可能非常具有挑戰(zhàn)性,。

例如,，這在計算機視覺中是相關(guān)的，在計算機視覺中,，人們可能想要確定給定圖像特征的任何位置是否總是存在真實的重建。實枚舉幾何（real enumerative geometry）中的一個開放問題是確定是否始終存在一個穿過原點并與六條給定實線中的每一條相交的實平面圓錐,。在復(fù)數(shù)域中,，一般有18個這樣的平面圓錐,，迄今為止的所有實驗證據(jù)表明，其中至少兩個總是實數(shù),，例如文獻【14】【17】,，而證明仍然難以捉摸。此問題的一個實例如圖7所示,。

圖7

實平面圓錐與六條給定的實線相交并穿過原點（綠色）

4. 軟件

實現(xiàn)各種數(shù)值代數(shù)幾何算法的軟件包有Bertini【2】,、Hom4PS2【19】,、HomotopyContinuation.jl【8】,、NAG4M2【20】和PHCpack【23】,。Paramotopy【1】為使用Bertini【2】的參數(shù)多項式方程組提供了有效的方法,。實數(shù)值代數(shù)幾何中的一些軟件示例是Bertini_real【5】用于計算曲線和曲面的單元分解,，polyTop【6】用于計算實曲面的拓撲信息,，以及HypersurfaceRegions.jl【7】用于計算【10】【18】中的實超曲面排列的補數(shù),。

5. 您被邀請了,！

作者邀請早期職業(yè)申請者在2025年夏季加入我們的AMS MRC討論這些主題,。該合作研討會的目標(biāo)是將數(shù)學(xué)家和運動學(xué),、計算機視覺和化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域?qū)＜揖奂谝黄穑蚤_發(fā)新方法并使用實數(shù)值代數(shù)幾何解決問題,。研討會要承擔(dān)的問題通常分為以下一類或多類：

開發(fā)和改進描述實集的算法,，例如計算連接分量、連接分量上的采樣點和刻畫單值結(jié)構(gòu)
快速計算實數(shù)解的方法
探索實數(shù)解在參數(shù)空間的行為的方法
探索應(yīng)用,，例如機器人運動學(xué),、計算機視覺或化學(xué)平衡。其中,，機器人和機械工作區(qū),、奇點和連通性的表征是特別豐富的有趣問題來源。

除了研究合作外,，還將有專業(yè)發(fā)展機會來了解工業(yè)研究并擴大專業(yè)網(wǎng)絡(luò),。我們邀請您申請并加入我們，探索實數(shù)值代數(shù)幾何,！

參考資料

https://www./journals/notices/202502/noti3129/noti3129.html

[1]

D. J. Bates, D. Brake, and M. Niemerg, Paramotopy: Parameter homotopies in parallel, LNCS 10931 (2018), 28–35

[2]

D. J. Bates, J. D. Hauenstein, A. J. Sommese, and C. W. Wampler, Bertini: Software for numerical algebraic geometry, available at bertini.nd.edu

[3]

D. J. Bates, J. D. Hauenstein, A. J. Sommese, and C. W. Wampler, Numerically solving polynomial systems with Bertini, Software, Environments, and Tools, vol. 25, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2013. MR3155500

[4]

E. A. Bernal, J. D. Hauenstein, D. Mehta, M. H. Regan, and T. Tang, Machine learning the real discriminant locus, J. Symbolic Comput. 115 (2023), 409–426, DOI 10.1016/j.jsc.2022.08.001. MR4476021

[5]

D. A. Brake, D. J. Bates, W. Hao, J. D. Hauenstein, A. J. Sommese, and C. W. Wampler, Algorithm 976: Bertini_real: numerical decomposition of real algebraic curves and surfaces, ACM Trans. Math. Software 44 (2017), no. 1, Art. 10, 30, DOI 10.1145/3056528. MR3685393

[6]

D. A. Brake, J. D. Hauenstein, and M. H. Regan, polyTop: Software for computing topology of smooth real surfaces, LNCS 10931 (2018), 397–404

[7]

P. Breiding, B. Sturmfels, and K. Wang, Computing arrangements of hypersurfaces, arXiv:2409.09622, 2024

[8]

P. Breiding and S. Timme, HomotopyContinuation.jl: A package for homotopy continuation in Julia, LNCS 10931 (2018), 458–465

[9]

O. Coss, J. D. Hauenstein, H. Hong, and D. K. Molzahn, Locating and counting equilibria of the Kuramoto model with rank-one coupling, SIAM J. Appl. Algebra Geom. 2 (2018), no. 1, 45–71, DOI 10.1137/17M1128198. MR3755653

[10]

J. Cummings, J. D. Hauenstein, H. Hong, and C. D. Smyth, Smooth connectivity in real algebraic varieties, Numerical Algorithms, to appear

[11]

P. Dietmaier, The Stewart-Gough platform of general geometry can have 40 real postures, Advances in robot kinematics: analysis and control (Salzburg, 1998), Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, pp. 7–16, DOI 10.1007/978-94-015-9064-8_1. MR1643130

[12]

P. B. Edwards, A. Baskar, C. Hills, M. Plecnik, and J. D. Hauenstein, Output mode switching for parallel five-bar manipulators using a graph-based path planner, 2023 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), London, UK, 9735–9741, 2023

[13]

R. Fabbri, T. Duff, H. Fan, M. H. Regan, D. da Costa de Pinho, E. Tsigaridas, C. W. Wampler, J. D. Hauenstein, P. J. Giblin, B. B. Kimia, A. Leykin, and T. Pajdla, Trifocal Relative Pose From Lines at Points, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 45 (2023), no. 6, 7870–7884

[14]

Z. A. Griffin and J. D. Hauenstein, Real solutions to systems of polynomial equations and parameter continuation, Adv. Geom. 15 (2015), no. 2, 173–187, DOI 10.1515/advgeom-2015-0004. MR3334023

[15]

K. Harris, J. D. Hauenstein, and A. Szanto, Smooth points on semi-algebraic sets, J. Symbolic Comput. 116 (2023), 183–212, DOI 10.1016/j.jsc.2022.09.003. MR4493195

[16]

J. D. Hauenstein and M. H. Regan, Real monodromy action, Appl. Math. Comput. 373 (2020), 124983, 13, DOI 10.1016/j.amc.2019.124983. MR4051883

[17]

J. D. Hauenstein and F. Sottile, Algorithm 921: alphaCertified: certifying solutions to polynomial systems, ACM Trans. Math. Software 38 (2012), no. 4, Art. 28, 20, DOI 10.1145/2331130.2331136. MR2972672

[18]

H. Hong, J. Rohal, M. Safey El Din, and E. Schost, Connectivity in semi-algebraic sets I, arXiv:2011.02162, 2020

[19]

T. L. Lee, T. Y. Li, and C. H. Tsai, HOM4PS-2.0: a software package for solving polynomial systems by the polyhedral homotopy continuation method, Computing 83 (2008), no. 2-3, 109–133, DOI 10.1007/s00607-008-0015-6. MR2457354

[20]

A. Leykin, Numerical algebraic geometry, J. Softw. Algebra Geom. 3 (2011), 5–10, DOI 10.2140/jsag.2011.3.5. MR2881262

[21]

A. J. Sommese and C. W. Wampler, Numerical algebraic geometry, The mathematics of numerical analysis (Park City, UT, 1995), Lectures in Appl. Math., vol. 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, pp. 749–763. MR1421365

[22]

A. J. Sommese and C. W. Wampler II, The numerical solution of systems of polynomials arising in engineering and science, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005, DOI 10.1142/9789812567727. MR2160078

[23]

J. Verschelde, Algorithm 795: PHCpack: A general-purpose solver for polynomial systems by homotopy continuation, ACM Transactions on Mathematical Software 25 (1999), no. 2, 251–276

[24]

C. W. Wampler, A. Morgan, and A. J. Sommese, Complete solution of the nine-point path synthesis problem for four-bar linkages, Journal of Mechanical Design 114 (1992), no. 1, 153–159