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1905 年,，愛因斯坦提出了 狹義相對論,，將時間和空間聯(lián)姻，這使我們對宇宙的理解發(fā)生了革命性的變化,。然而,，狹義相對論的成功，并沒有阻止他進(jìn)一步地探索更深層的問題,，因為他還沒有將引力的影響納入到他的理論中,。 七年后,，當(dāng)時在蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的愛因斯坦，正醞釀著一個可以顛覆牛頓萬有引力定律的理論,。但是,，愛因斯坦在擴展狹義相對論時卻遇到了難題，他必須通過使用一些新的方法和技巧才有可能完成這一壯舉,。幸運的是,，愛因斯坦的好朋友和同事格羅斯曼（Marcel Grossmann）伸出援手，帶來了一個十分令人激動的優(yōu)雅方法：黎曼幾何,。 黎曼在 19 世紀(jì)發(fā)展出了一套特殊的曲率幾何概念時,，他絲毫沒在意過物理學(xué)。那時的他絕對想不到,，在 20 世紀(jì)初,，他的工作會在愛因斯坦的筆下為物理學(xué)的革命性發(fā)展起到推波助瀾的作用。 十九世紀(jì)中葉,，德國數(shù)學(xué)家黎曼（Bernhard Riemann）發(fā)展了黎曼幾何的數(shù)學(xué)框架,。在當(dāng)時，黎曼幾何本身就是一個具有革新性的框架,。不同于之前將數(shù)學(xué)圖形看成是三維空間的子集,，黎曼幾何通過更本質(zhì)的方法直接研究圖形的性質(zhì)。  例如,，一個球可被看作是三維空間內(nèi)所有距離原點剛好為 1 的點的集合,。但它也可以被視為每一個點都有著特殊曲率屬性的二維物體。后面的這種定義對于理解球這樣的幾何圖形來說或許不是那么重要,，但對于更復(fù)雜的流形和更高維的空間,，這種定義的價值就顯而易見了。  在 1912 年的時候,，黎曼幾何依然是一個新穎的理論,，還未完全滲透到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但它正好是愛因斯坦所需要的,。黎曼幾何賦予愛因斯坦一個強大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),，使他得以構(gòu)建出一個全新的引力理論——廣義相對論的準(zhǔn)確等式。1913 年,，愛因斯坦和格羅斯曼發(fā)表了他們突破性的工作,。理論物理學(xué)家 Peter Woit 認(rèn)為“如果沒有數(shù)學(xué)家的幫助，很難想象愛因斯坦怎樣才能完成相對論的工作,?！?/span> 廣義相對論的故事當(dāng)然能讓數(shù)學(xué)家們感到驕傲。在這個故事里,，數(shù)學(xué)仿佛就像是一個引路人,，在恰當(dāng)?shù)臅r機出現(xiàn)在物理學(xué)家的身邊,，為一片灰暗的物理學(xué)世界帶來光明。 但是,，數(shù)學(xué)和物理的相互影響遠(yuǎn)比這個故事里講述的更復(fù)雜,。在大部分有記錄的歷史中，物理和數(shù)學(xué)甚至不是分開的學(xué)科,。古希臘,、埃及和巴比倫的數(shù)學(xué)認(rèn)為我們生活在一個距離、時間和重力都按某種特定方式運行的世界中,。 讓解決一些經(jīng)典的幾何問題變得更加簡單，但其最初的目的是為牛頓提供了一種分析運動的新方法,，以及改變了牛頓觀察物理的視角,。在這個關(guān)于微積分的故事中，數(shù)學(xué)更像是一個讓一切事物變得井然有序的管家,，而不是在危難關(guān)頭力挽狂瀾的救世主,。
即使物理和數(shù)學(xué)成為了兩個學(xué)科之后，他們之間仍然是緊密聯(lián)系的,。“回溯物理和數(shù)學(xué)的早期發(fā)展歷程,，你會發(fā)現(xiàn)確定一個人是物理學(xué)家還是數(shù)學(xué)家是很困難的?！?/span> Woit 說道,。 諾特（Emmy Noether）將自然界中的對稱性和守恒定律聯(lián)系了起來，可以說她是史上最具深刻洞見的數(shù)學(xué)物理學(xué)家之一,。對于一些數(shù)學(xué)家而言,，看到諾特的名字出現(xiàn)在物理學(xué)領(lǐng)域是令人驚訝的,，因為他們多數(shù)是通過抽象代數(shù)才了解她的,。 縱觀歷史，數(shù)學(xué)和物理這兩個領(lǐng)域都給對方提供過重要的概念,。數(shù)學(xué)家外爾（Hermann Weyl）在李群（Lie group）方面的工作就為理解量子力學(xué)中的對稱性提供了非常重要的基礎(chǔ),。理論物理學(xué)家狄拉克在他 1930 年的著名書籍《量子力學(xué)原理》中，就使用了狄拉克道爾塔（δ）函數(shù)來描述粒子物理中點粒子的概念（點粒子描述的是任何小到可以用一個點來模擬的理想化情況）,。 二維的 δ 函數(shù)在 x=0 的位置的值為無窮大,，而在其他任何地方都為 0。狄拉克聲明 δ 函數(shù)的積分,、也就是 δ 函數(shù)所覆蓋的面積為 1,。嚴(yán)格地講,，并不存在具有這種性質(zhì)的函數(shù)。但是狄拉克對 δ 函數(shù)的使用最終啟發(fā)了數(shù)學(xué)家施瓦茨（Laurent Schwartz）,，他用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方式發(fā)展出了分布理論?，F(xiàn)如今，分布理論在常微分方程和偏微分方程領(lǐng)域已經(jīng)變得極為重要,。 盡管現(xiàn)代研究人員對自身領(lǐng)域的關(guān)注越來越多,，研究領(lǐng)域的細(xì)化和專業(yè)化也越來越明顯，但物理和數(shù)學(xué)的界限仍然模糊,。一個物理學(xué)家可以獲得數(shù)學(xué)領(lǐng)域最具權(quán)威的獎項之一——菲爾茲獎,。而一個數(shù)學(xué)家，比如 Maxim Kontsevich,，也可同時獲得科學(xué)突破獎的物理獎和數(shù)學(xué)獎,。 現(xiàn)在，人們可以參加由數(shù)學(xué)系或者物理系舉辦的關(guān)于量子場論,、黑洞或者弦論的研討會,。自 2011 年起，弦數(shù)學(xué)（String Math）的年度討論會議就把數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家匯聚到了一起,，讓他們一同研究弦論和量子場論中的交叉領(lǐng)域,。 弦論可能是關(guān)于數(shù)學(xué)和物理互相影響的最佳示例。在弦論的理論框架中,，狄拉克所描述的點粒子變成了一維的弦,。這個理論模型中的一部分描述了一種被稱為引力子的理論粒子，這是一種傳遞引力的假想粒子,。 大多數(shù)人認(rèn)為我們通過三維的空間和一維的時間來感知宇宙,。但是弦論卻是構(gòu)架在十維中的。在 1984 年,，隨著研究弦論的物理學(xué)家激增,，包括后來被授予菲爾茲勛章的物理學(xué)家威滕（Edward Witten）在內(nèi)的一批研究人員發(fā)現(xiàn)了弦論所需空間中的另外六個維度，被稱為卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）,。
當(dāng)數(shù)學(xué)家們還在為闡明各種流形的結(jié)構(gòu)而爭吵時,，物理學(xué)家只希望能獲得幾個可能有效的數(shù)學(xué)結(jié)果，他們找到了卡拉比-丘流形,。而數(shù)學(xué)家卻還不能確定他們對流形的劃分是正確的,。
加州大學(xué)伯克利分校的理論物理學(xué)家 Mina Aganagic 認(rèn)為,，弦論和相關(guān)的課題將會繼續(xù)提供更多數(shù)學(xué)和物理之間的聯(lián)系,。她說：“在某種意義上，我們只探索了弦論非常小的一部分和它少數(shù)的預(yù)測,?！?/span> 數(shù)學(xué)家和他們對細(xì)節(jié)的嚴(yán)格證明的關(guān)注給這個領(lǐng)域帶來了一種角度的視野，而物理學(xué)家們喜歡把直覺理解放在優(yōu)先位置的傾向則為我們帶來另一種視角,。Mina 評價道：“正因為如此,，才使得數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系如此令人滿意?！?/span> |
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