前言

量子力學(xué)及其詮釋歷來(lái)是很能引起人們爭(zhēng)論的話題，有些時(shí)候甚至只有后者——在不了解量子力學(xué)的情況下就對(duì)它的詮釋大抒己見(jiàn),，另一些人則對(duì)這樣的爭(zhēng)論不厭其煩，做起了“閉嘴計(jì)算”派,。

幸運(yùn)的是,，世面上已經(jīng)有不少對(duì)于量子力學(xué)詮釋的介紹，在2022年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C給對(duì)量子糾纏的研究后更是掀起了一陣熱潮（就像所有三分鐘熱度一樣,，也逐漸消退）,。但不幸的是，這些介紹要么因?yàn)轭A(yù)備概念太少而無(wú)法實(shí)打?qū)嵉赜懻搯?wèn)題,，在讀者的印象中留下的幾乎只有比喻,，要么因?yàn)轭A(yù)備概念太多又缺乏平緩的引導(dǎo)，在讀者的印象中只留下了“不明覺(jué)厲”的名詞的意義不明的組合,。

在這篇文章中我將努力彌補(bǔ)理解的鴻溝——這也需要讀者,，你，的耐心——這是一篇很長(zhǎng)的文章,，而且涉及到不少你可能沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)的概念,，一次讀不懂是很正常的！讀上兩三遍,，動(dòng)腦思考,，還可以向我提問(wèn)，我不能保證讓你“一次讀懂/XX分鐘看懂”,，但我保證你投入的時(shí)間是值得的,。

不求甚解和閉嘴計(jì)算這兩種態(tài)度都是不可取的,，前者自不必說(shuō)，對(duì)于后者,，為什么在經(jīng)典力學(xué)的學(xué)習(xí)中強(qiáng)調(diào)物理圖像——實(shí)際上就是一種詮釋,，而到量子力學(xué)的學(xué)習(xí)中卻要人閉嘴呢？根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn),，閉嘴是不可能做好計(jì)算的,，不知道各種概念為什么要引入、不清楚自己到底在做什么的狀態(tài)除了積累無(wú)力感之外別無(wú)益處,。誠(chéng)然,，計(jì)算對(duì)于理解是不可或缺的，許多人都是在積累了豐富的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)后才開(kāi)始對(duì)量子力學(xué)產(chǎn)生理解,。但影響是雙向的,，把握詮釋有助于少走彎路，更高效地積累經(jīng)驗(yàn)——學(xué)生不會(huì)因?yàn)橹v一點(diǎn)詮釋就被搞廢,！概念混亂,、思路不清的講述才會(huì)。

為什么要對(duì)量子力學(xué)進(jìn)行詮釋,？

要討論量子力學(xué)詮釋,，我們當(dāng)然要先理解為什么要詮釋，搞清楚量子力學(xué)說(shuō)了什么,，又沒(méi)說(shuō)什么,。

概括起來(lái)，量子力學(xué)是建立在四大基本假設(shè)的基礎(chǔ)上的,。我們說(shuō)滿足這些基本假設(shè)的系統(tǒng)就叫量子系統(tǒng),，具有量子性（quantumness）。

量子力學(xué)基本假設(shè)一：態(tài)疊加原理

第一條基本假設(shè)告訴我們,，可以用態(tài)矢量（state vector）來(lái)描述量子系統(tǒng)的狀態(tài)（簡(jiǎn)稱量子態(tài)）,，態(tài)矢量的集合稱為希爾伯特空間（Hilbert space）。

量子態(tài)的這種疊加是線性的，因而我們可以用一種矢量——態(tài)矢量來(lái)描述量子態(tài),，符號(hào)為

兩個(gè)態(tài)矢量疊加,，得到一個(gè)新的態(tài)矢量：

一個(gè)著名的例子是薛定諤的貓態(tài)（Schr?dinger's cat state）:

其中和這兩個(gè)疊加權(quán)重是復(fù)數(shù),，即

你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò),，這種復(fù)數(shù)系數(shù)的模長(zhǎng)（絕對(duì)值）的平方表示概率，如表示貓活的概率。對(duì)此我們暫且按下不表,，我需要提醒你注意的是模長(zhǎng)并不是一切,，還要注重相位（phase）。

相位的重要性根植于我們為什么要引入一種可以疊加的狀態(tài),。

1905年,，愛(ài)因斯坦通過(guò)引入后來(lái)被稱為光子（photon）的概念成功解釋了光電效應(yīng)的現(xiàn)象，在愛(ài)因斯坦的設(shè)想中,，光存在著與能量與頻率有關(guān)的量份：

人們將這一觀點(diǎn)概括為光具有粒子性,。

有兩點(diǎn)值得注意，一是這并沒(méi)有對(duì)光子的“形狀”提出任何要求,，光子并不是點(diǎn)粒子,。這里粒子性僅僅是指單一頻率的光的能量是一份一份的，就像搭積木一樣,。

二是這并不意味著光的能量就是離散的,。就像積木有不同的種類，光子也有不同的頻率,，頻率是可以連續(xù)變化的,。任何一束有限的光總是在頻率空間上以某個(gè)頻率為中心有一個(gè)寬度

從而光的能量實(shí)際上是這個(gè)區(qū)間上的平均值，包含多種光子,。完美的單一頻率的光按照傅里葉變換將會(huì)充滿整個(gè)空間,！

順帶一提，愛(ài)因斯坦和約當(dāng)（Jordan）等人通過(guò)研究電磁場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)解釋黑體輻射等問(wèn)題的努力實(shí)際上開(kāi)啟了量子場(chǎng)論,，與很多人的印象不同,，量子場(chǎng)論并不是等到量子力學(xué)成熟后才出現(xiàn)，而是和量子力學(xué)差不多同時(shí)誕生——只是量子場(chǎng)論更加晚熟,。

光子的概念后來(lái)啟發(fā)德布羅意在1924年提出實(shí)物粒子的波動(dòng)性的概念，即以電子為代表的粒子滿足德布羅意關(guān)系：

其中,，稱為約化普朗克常量,，之所以用它是因?yàn)槿藗兒髞?lái)發(fā)現(xiàn)幾乎總是和出現(xiàn)。相應(yīng)地是圓頻率（把正弦波用復(fù)數(shù)表示后,，在復(fù)平面上的角速度）,，和頻率的關(guān)系為。為波矢（圓）,，和波長(zhǎng)的關(guān)系為,。

人們將光子的概念和德布羅意關(guān)系一起總結(jié)為波粒二象性（wave-particle duality），在經(jīng)典力學(xué)中波和粒子（質(zhì)點(diǎn)）都有能量-動(dòng)量（有些文章說(shuō)能量-動(dòng)量就代表粒子,，是錯(cuò)誤的）,，而頻率和波長(zhǎng)卻是波獨(dú)有的——德布羅意關(guān)系將其推廣到了粒子上。我們后面會(huì)討論波粒二象性這一概念在今天應(yīng)如何理解。

1926年,，薛定諤提出了德布羅意波的非相對(duì)論性波動(dòng)方程,，薛定諤方程：

從對(duì)薛定諤方程的分析中發(fā)現(xiàn)了一種全新的波動(dòng)形式，它的振動(dòng)大小不隨時(shí)間或空間變化,，但又不能認(rèn)為它是常數(shù)——還是必須考慮其相位,，可以稱為相位波，可以表示為復(fù)平面上的轉(zhuǎn)動(dòng),。

在經(jīng)典力學(xué)中,，人們可以把正（余）弦波表示為復(fù)數(shù)，但只是為了計(jì)算起來(lái)更加方便：

最后還是要轉(zhuǎn)換回正（余）弦波,，畢竟,，經(jīng)典波動(dòng)的振動(dòng)大小是處處不同的——這樣才像波！但到了量子的領(lǐng)域中,，人們卻不得不面對(duì)純粹的復(fù)波動(dòng),，如一個(gè)做一維運(yùn)動(dòng)，具有確定的動(dòng)量的粒子,，波函數(shù)為：

它的絕對(duì)值處處,、永遠(yuǎn)是！如圖所示,，顏色代表相位：

薛定諤方程作為線性的波動(dòng)方程,，自然允許（粒子自己的）波函數(shù)線性疊加，疊加得到的仍然是滿足薛定諤方程的新的波函數(shù),。從數(shù)學(xué)上看,，只要能線性疊加的就可能看成一種矢量——函數(shù)就是分量連續(xù)的矢量。

另一方面,，人們?cè)谧孕@樣更加抽象的量子現(xiàn)象中也意識(shí)到了疊加性的存在,，對(duì)此可以參考我對(duì)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（Stern-Gerlach experiment）的介紹入門(mén)量子力學(xué)1.1：從斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)說(shuō)起，入門(mén)量子力學(xué)1.2：級(jí)聯(lián)SG實(shí)驗(yàn)與量子疊加態(tài),。所以我們才引入了態(tài)疊加原理,。

有鑒于此，對(duì)于復(fù)數(shù)的疊加系數(shù),，比起這種實(shí)部-虛部形式,，我們最好寫(xiě)成模長(zhǎng)-輻角——或者現(xiàn)在該說(shuō)模長(zhǎng)-相位形式：

其中用到歐拉公式,，對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)而言，乘以就意味著在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),，幾何意義如圖所示：

楊振寧在2002年的國(guó)際理論物理大會(huì)上曾指出,，二十世紀(jì)理論物理有三大主旋律：量子化、對(duì)稱性和相位（Thematic Melodies of Twenties Century Theoretical Physics: Quantization, Symmetry and Phase Factor）,。這第一條基本假設(shè)就將量子化和相位聯(lián)系了起來(lái),。

量子力學(xué)基本假設(shè)二：力學(xué)量算符

單純地用矢量表示系統(tǒng)的狀態(tài)并不新奇，在經(jīng)典力學(xué)中我們可以用一對(duì)基本力學(xué)量——位置和動(dòng)量的矢量完整地描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)：

我們只需要建立坐標(biāo)系,，如用為坐標(biāo)基矢的直角坐標(biāo)系,，讀出位置和動(dòng)量矢量的分量即可得知質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)。

但是量子力學(xué)的態(tài)矢量的分量是復(fù)數(shù),，而且往往也不是三維的,，希望把分量直接解釋為力學(xué)量是肯定會(huì)落空的。那我們該怎么從量子態(tài)中提取出力學(xué)量的信息呢,？

量子態(tài)可以線性疊加——可以看成矢量這一點(diǎn)啟發(fā)人們求助于線性代數(shù),，具體地說(shuō)是本征值問(wèn)題。

原來(lái),，我們可以把矢量排成一列或者一行,，表示為列向量或行向量，如：

進(jìn)而可以把對(duì)矢量的線性變換表示為矩陣,，如三維直角坐標(biāo)系中繞軸旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的矩陣：

它的作用是這樣的：

可見(jiàn),，如果矢量只有分量，就不會(huì)被這個(gè)旋轉(zhuǎn)所改變,，或者說(shuō),，被旋轉(zhuǎn)作用后的效果是乘以。

我們稱只有分量的矢量為的本征值為的本征矢量,。一般而言,，如果一個(gè)線性變換作用到矢量上只是讓它放縮了常數(shù)倍，我們就說(shuō)這個(gè)矢量是這個(gè)變換的本征值為的本征矢量：

到了量子力學(xué)中,，我們更喜歡將線性變換稱為算符（線性）,，而將本征矢量稱為本征態(tài):

（用大寫(xiě)字母表示算符，小寫(xiě)字母表示值）我們可以將這種本征值-本征矢量關(guān)系解釋為從矢量中提取信息,，于是可以寄希望于存在一些算符,，能從態(tài)矢量中提取力學(xué)量的信息,，這就是第二條基本假設(shè)：

厄米算符是什么,？為什么要用這樣的算符,？答案是有兩點(diǎn)好處：

1. 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù),。
2. 厄米算符的不同本征值對(duì)應(yīng)的本征態(tài)相互正交。

首先是第一點(diǎn),，在我們把量子理論搞得滿是復(fù)數(shù)的情況下,，一個(gè)能保證總提取出實(shí)數(shù)的算符可以說(shuō)是救星了。

為什么,？實(shí)際上我們計(jì)量力學(xué)量可以概括為比大小,，或者說(shuō)求比值。如人們歷史上曾用人體的部位作為長(zhǎng)度的單位,，如說(shuō)一個(gè)東西有幾頭高,，這個(gè)幾頭就是讓待計(jì)量的東西和作為單位的頭做比，看能裝下幾個(gè)頭,。而比較大小是實(shí)數(shù)才有的性質(zhì),！

第二點(diǎn)同樣重要，矢量相互正交（在歐氏空間中即垂直）意味著可以完全區(qū)分,，既然量子態(tài)用態(tài)矢量來(lái)描述,，兩個(gè)取值不同——具有不同的物理屬性的系統(tǒng)當(dāng)然應(yīng)該能完全區(qū)分，應(yīng)該是正交的,！

薛定諤方程中的就是一種厄米算符,，它表示的是粒子的動(dòng)能。薛定諤用他的方程正確地求出了氫原子的光譜,，從那以后的無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)表明我們對(duì)用算符表示力學(xué)量寄予的希望沒(méi)有落空,，第二條基本假設(shè)是成立的。

但另一方面,，這條力學(xué)量算符假設(shè)也可以說(shuō)是量子力學(xué)詮釋問(wèn)題的萬(wàn)惡之源：一個(gè)算符的本征態(tài)只是所有可能的態(tài)的一部分,，那既然力學(xué)量算符只能在本征態(tài)上得到取值，那當(dāng)系統(tǒng)處于非本征態(tài),，或者說(shuō)疊加態(tài)時(shí)會(huì)怎么樣呢,？

實(shí)際上，任何一個(gè)態(tài)總可以用力學(xué)量的本征態(tài)疊加出來(lái)：

其中為力學(xué)量的取值為的本征態(tài),。疊加系數(shù)唯一,、完全地決定了這個(gè)態(tài)，改變系數(shù)就會(huì)變成別的態(tài),。

還可以用別的力學(xué)量,，如的本征態(tài)去疊加出：

這里我們還應(yīng)當(dāng)指出一個(gè)重要的點(diǎn)，疊加態(tài)是相對(duì)而言的,。線性變換,，算符通常是不可交換的，我們稱為不對(duì)易,，反映到矩陣上就是矩陣乘法沒(méi)有交換律：

不對(duì)易意味著一般沒(méi)有一組共同本征態(tài),。反證法,，如果的任意本征態(tài)也是的本征態(tài)，本征值為,，那么（算符和普通的數(shù)可以交換）

而這和矛盾,！

這說(shuō)明，不對(duì)易的力學(xué)量互不相容,，它們不能同時(shí)確定,，如位置和動(dòng)量滿足著名的海森堡不確定性關(guān)系：

不確定性其實(shí)就是標(biāo)準(zhǔn)差！如對(duì)上面提到的波函數(shù)：

是在位置空間中完全彌散開(kāi)來(lái),，但用傅里葉變換轉(zhuǎn)換到動(dòng)量空間中則是一個(gè)無(wú)限窄的尖峰,！粒子處于這樣的量子態(tài)時(shí)，動(dòng)量完全確定——是動(dòng)量本征態(tài),，而位置完全不確定——是位置疊加態(tài),。

疊加態(tài)是相對(duì)而言的,，問(wèn)一個(gè)量子態(tài)是不是疊加態(tài)必須先說(shuō)明關(guān)心哪個(gè)力學(xué)量，問(wèn)一個(gè)量子態(tài)到底是不是疊加態(tài)是沒(méi)有意義的,。

這里有些海森堡的矩陣力學(xué)的味道,，實(shí)際上,，人們?cè)缫炎C明（最早是薛定諤證明）了波動(dòng)力學(xué)和矩陣力學(xué)是等價(jià)的，可以納入同一個(gè)框架,，不需要再做區(qū)分（量子力學(xué)的早期有人認(rèn)為矩陣力學(xué)對(duì)應(yīng)粒子,，波動(dòng)力學(xué)對(duì)應(yīng)波，這是不正確的）,。

量子力學(xué)基本假設(shè)三：薛定諤方程

有了態(tài)矢量和力學(xué)量算符,，我們可以描述系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的情況了，現(xiàn)在我們想知道系統(tǒng)將來(lái)會(huì)如何,，怎么辦呢,？諾特定理告訴我們時(shí)間平移不變性對(duì)應(yīng)的守恒量是能量（出于某種原因，物理學(xué)家更喜歡說(shuō)哈密頓量）,。反過(guò)來(lái),，我們也可以用能量來(lái)得到系統(tǒng)隨時(shí)間的演化。

上文給出的我們熟悉的那個(gè)版本的薛定諤方程就是把取為了非相對(duì)論的動(dòng)能加勢(shì)能（換成相應(yīng)算符）的形式：

如果我們不局限于這種形式,，那么薛定諤方程就是普適的，無(wú)論是相對(duì)論性粒子的狄拉克方程——取為狄拉克哈密頓量：

還是進(jìn)一步到量子場(chǎng)論中,，系統(tǒng)的時(shí)間演化都可以歸結(jié)為上面給出的態(tài)矢量的薛定諤方程,。

從對(duì)薛定諤方程的分析中人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)大問(wèn)題，薛定諤方程會(huì)讓疊加態(tài)永遠(yuǎn)是疊加態(tài)（相對(duì)于某個(gè)力學(xué)量）,！

這實(shí)際上是態(tài)疊加原理的延續(xù),，兩個(gè)態(tài)先輸入薛定諤方程再疊加，和先疊加再輸入薛定諤方程,，輸出都是一樣的,，就像兩列水波互不干擾地穿過(guò)彼此一樣。

薛定諤方程并不能彌補(bǔ)力學(xué)量用算符表示捅出的窟窿,。

量子力學(xué)基本假設(shè)四：測(cè)量投影

任選一個(gè)力學(xué)量,，有很大一部分態(tài)是疊加態(tài)，在其上根本沒(méi)有取值可言,，但是實(shí)驗(yàn)上測(cè)量力學(xué)量卻總要輸出一個(gè)結(jié)果,，怎么解決這個(gè)矛盾呢？

你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)，位置波函數(shù)的模方就是位置的概率密度：

其實(shí),，波函數(shù)就是用位置本征態(tài)去疊加出態(tài)時(shí)的疊加系數(shù)：

只是連續(xù)化了,，求和變成積分，概率變成概率密度,。

投影可以認(rèn)為是瞬時(shí)發(fā)生的（在實(shí)驗(yàn)的時(shí)間分辨能力還很弱的時(shí)候這一認(rèn)定是合理的）,，它將一般的疊加態(tài)強(qiáng)行送入本征值-本征態(tài)關(guān)系，賦予了可觀測(cè)的值及其概率,，這允許人們計(jì)算力學(xué)量在態(tài)上的期望值：

人們由此得出的預(yù)言經(jīng)受住了無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)的考驗(yàn),，讓量子力學(xué)成為了史上最精確的理論體系之一。

一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題是,，測(cè)量之后會(huì)怎么樣,？答案是第三條基本假設(shè)，薛定諤方程,，量子態(tài)只會(huì)經(jīng)歷兩種過(guò)程：1.按照薛定諤方程演化,；2.投影。由于薛定諤方程是個(gè)微分方程,，態(tài)的演化應(yīng)該是連續(xù)的,，如果演化時(shí)間較短,，末態(tài)看起來(lái)和初態(tài)還是“很像”的。如測(cè)量力學(xué)量,，得到,，則系統(tǒng)的量子態(tài)投影到：

測(cè)量后時(shí)隔較短時(shí)間（什么叫較短？那就要看你的系統(tǒng)的演化有多快——粗略地說(shuō),，能量有多大了）再次測(cè)量同一個(gè)力學(xué)量,，那么系統(tǒng)“還幾乎就是”：

大概率還會(huì)測(cè)到，以短時(shí)間間隔持續(xù)測(cè)量會(huì)讓系統(tǒng)的量子態(tài)幾乎凍結(jié),，這稱為量子芝諾效應(yīng)（quantum Zeno effect）,。

這還提醒我們，不能把不確定性理解為測(cè)量的誤差,，不確定性不是測(cè)不準(zhǔn),！如果系統(tǒng)處于的本征態(tài)上，那么測(cè)量對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有任何干擾,！

但說(shuō)到底什么是測(cè)量,？這條假設(shè)并不是解決了問(wèn)題，而是逃避了問(wèn)題,。它沒(méi)有談及測(cè)量的物理過(guò)程,，而是當(dāng)做一個(gè)黑箱，我們可以用玻恩定則預(yù)言與輸入相應(yīng)的（概率性的）輸出,。

上面都是從理論的角度來(lái)討論,，從實(shí)驗(yàn)的角度看，我們知道以光電倍增管（photomultiplier,，PMT,，其根植于光電效應(yīng)）為代表的各種儀器——從粒子物理早期的威爾遜云室到今天高能加速器中的粒子徑跡探測(cè)器——表現(xiàn)得就像玻恩定則給出的黑箱一樣，于是我們可以在不完全清楚測(cè)量過(guò)程的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn),。是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象倒逼我們提出了測(cè)量投影假設(shè)以對(duì)接理論上的力學(xué)量算符和觀測(cè)值,，在實(shí)驗(yàn)室里可沒(méi)有算符！

在量子力學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展做出了重要工作的Asher Peres（曾提出判斷任意量子態(tài)是否是糾纏態(tài)的Peres-Horodecki判據(jù)）在其所著教材《量子理論：概念與方法》（Quantum Theory: Concepts and Methods）中的一句話值得我們謹(jǐn)記：

量子現(xiàn)象不是發(fā)生在希爾伯特空間中,，而是發(fā)生在實(shí)驗(yàn)室里,。

Quantum phenomena do not occur in a Hilbert space. They occur in a laboratory.

我們倒也并非對(duì)“玻恩黑箱”一無(wú)所知，實(shí)際上我們對(duì)各自探測(cè)器依賴的雪崩二極管（avalanche photodiode,，APD）等有著半經(jīng)典（經(jīng)典力學(xué)-量子力學(xué)縫合）的理解,，知道它們可以把具有量子性的信號(hào)放大為經(jīng)典信號(hào)（注意量子性不等于微觀，如引力波探測(cè)中使用的反射鏡雖然是宏觀的,，但其運(yùn)動(dòng)也表現(xiàn)出量子效應(yīng)）,，問(wèn)題只是在于我們不清楚如何從量子力學(xué)的第一性原理出發(fā)理解這其中的量子-經(jīng)典轉(zhuǎn)變（quantum to classical transition）。

不要誤會(huì)，半經(jīng)典的理解是不可或缺,，即便你是一個(gè)強(qiáng)硬的還原論者,，也必須承認(rèn)既然人類生來(lái)就“沐浴在經(jīng)典的陽(yáng)光中”，那也就不得不先用頂層的模型作為工具來(lái)一點(diǎn)點(diǎn)挖掘底層,。

現(xiàn)在我們抵達(dá)了量子力學(xué)詮釋問(wèn)題的入手點(diǎn),。我們將緊緊圍繞上述四條基本假設(shè)構(gòu)建的體系稱為標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)，它是為了使用量子力學(xué)研究各種問(wèn)題所必需的的最小硬核——一個(gè)毛坯房,，對(duì)量子力學(xué)進(jìn)行詮釋就意味著給這個(gè)毛坯房進(jìn)行裝修。

具體例子：氫原子

化學(xué)上討論的原子殼層等對(duì)應(yīng)著氫原子不同的能量本征值（在僅考慮庫(kù)倫作用時(shí)）,，電子軌道等則是考慮了角動(dòng)量的進(jìn)一步細(xì)分,，波函數(shù)為：

當(dāng)有兩個(gè)電子處于軌道，即電子構(gòu)型為時(shí),，有

即,，空間部分波函數(shù)直接相乘，而自旋部分處于一個(gè)糾纏態(tài)（不是直接相乘）,，稱為單重態(tài)（singlet）,，是一種總自旋為零的狀態(tài)——所謂“電子自旋反平行”的實(shí)際含義。這樣一個(gè)狀態(tài)整體是反對(duì)稱的,，即交換序號(hào)會(huì)多出一個(gè)負(fù)號(hào),，這是兩個(gè)電子的全同性的要求。

注意只有粒子自己的波函數(shù)的不同分波才有相加,，或者說(shuō)干涉,，兩個(gè)不同粒子的波函數(shù)沒(méi)法相加，數(shù)學(xué)上即不同矢量空間的矢量之間的加法沒(méi)有定義,。從我們的視角看,，在一些對(duì)雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的講解中強(qiáng)調(diào)粒子是“自己和自己干涉”反倒是一種畫(huà)蛇添足。兩個(gè)粒子整體看成一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)后整體波函數(shù)的分波也可以有干涉,，如

為一個(gè)電子處于基態(tài)而一個(gè)電子被激發(fā)到的狀態(tài),，全同性使得我們不能談?wù)摗澳囊粋€(gè)電子被激發(fā)了”，帶來(lái)了空間部分波函數(shù)的反對(duì)稱化——一種干涉,，而且是發(fā)生在六維空間中的干涉,，這是經(jīng)典波動(dòng)中前所未有的。

氫原子基態(tài)中電子既沒(méi)有確定的位置,，也沒(méi)有確定的動(dòng)量,，但卻有完全確定的能量。尤其值得注意的是,，基態(tài)的軌道角動(dòng)量為零,，無(wú)論如何不可能看成是在做行星軌道式運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)典力學(xué)中，零角動(dòng)量軌道意味著會(huì)一頭撞向中心：

這一簡(jiǎn)單表達(dá)式忽略了電子之間的相互作用，只考慮原子核分別對(duì)電子的相互作用,，否則空間部分也會(huì)變得很復(fù)雜,。但是在很多時(shí)候這樣就足夠進(jìn)行有用的分析了。更精細(xì)的分析還需要考慮原子核本身的運(yùn)動(dòng),、原子核的尺寸等,，而不是簡(jiǎn)單地把它當(dāng)做一個(gè)固定的參考點(diǎn)，這些因素對(duì)原子光譜精細(xì)修正都隨著技術(shù)進(jìn)步得到了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)——原子能級(jí)還被反過(guò)來(lái)當(dāng)做測(cè)量質(zhì)子直徑的一種方法,。

電子在不同軌道間的躍遷是怎么回事呢,？實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)封閉的原子——對(duì)任何封閉系統(tǒng),，能量本征態(tài)可以認(rèn)為不隨時(shí)間變化,，如果電子處于一個(gè)軌道上，那它永遠(yuǎn)都處于那個(gè)軌道上,。

為了產(chǎn)生躍遷,，必須有外界的干擾?？梢钥紤]電磁場(chǎng)對(duì)原子的小擾動(dòng),，運(yùn)用微擾論計(jì)算會(huì)知道，在出現(xiàn)擾動(dòng)后,，電子會(huì)處于不同軌道的疊加態(tài),，使得其有概率出現(xiàn)在不同于初始軌道的軌道上。

躍遷作為一種電子-電磁場(chǎng)耦合的物理過(guò)程,，需要經(jīng)歷時(shí)間,，實(shí)際上，人們的確實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了躍遷過(guò)程,，甚至能進(jìn)行一定限度的調(diào)控：Minev, Z., Mundhada, S., Shankar, S. et al. To catch and reverse a quantum jump mid-flight. Nature 570, 200–204 (2019),。

只不過(guò)這作為一種開(kāi)放系統(tǒng)的過(guò)程，已經(jīng)超出了只能處理封閉系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)的范圍——但我們總可以找到一個(gè)更大的封閉系統(tǒng),，使得原來(lái)考慮的開(kāi)放系統(tǒng)是其一部分,，再應(yīng)用對(duì)封閉系統(tǒng)已經(jīng)成熟的方法進(jìn)行研究，實(shí)際上人們也確實(shí)是這樣做的,。

波粒二象性,，粒子與場(chǎng)

標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)

現(xiàn)在讓我履行承諾，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)對(duì)波粒二象性的看法,。

首先讓我們討論像電子這樣的有質(zhì)量粒子,。它們可以被賦予位置波函數(shù)，波動(dòng)方程為薛定諤方程，模方則代表在處測(cè)到粒子的概率,。

在量子力學(xué)的早期,，一些人（如薛定諤本人）曾認(rèn)為模方是一種物質(zhì)波（matter wave），它代表電子像某種流體一樣分布在空間中,，隨時(shí)間推進(jìn)而流動(dòng),，可以說(shuō)這是一種純波動(dòng)觀點(diǎn)。但這一觀點(diǎn)存在一些嚴(yán)重的問(wèn)題,。

第一,，電子在實(shí)驗(yàn)上表現(xiàn)得具有局域性，如對(duì)一個(gè)自由電子,，其波函數(shù)應(yīng)該由很多具有確定動(dòng)量的平面波（上面給出的那種波函數(shù),，改變其中的）疊加而成的波包：

其中為初始時(shí)刻粒子的動(dòng)量波函數(shù)，根據(jù)玻恩定則,，它的模方表示粒子初始時(shí)刻的動(dòng)量概率密度,。

這種波包的問(wèn)題在于,，其中各個(gè)平面波成分的相對(duì)相位需要精準(zhǔn)地調(diào)節(jié)才能疊加出一個(gè)空間上局域的波包,，但各個(gè)成分的能量-動(dòng)量不一樣，進(jìn)而在時(shí)間-空間上的演化趨勢(shì)不一樣,，初始時(shí)精挑細(xì)選的相對(duì)相位很快就會(huì)亂掉,，表現(xiàn)為波包擴(kuò)散：

但在實(shí)驗(yàn)上人們總是會(huì)測(cè)到一整個(gè)的電子而不是“電子流體”的一部分，這意味著這種波包在被測(cè)量時(shí)必須迅速收縮,。

薛定諤為了克服波包擴(kuò)散做出了諸多努力,，最終（其實(shí)也在1926年）他在諧振子型勢(shì)能中發(fā)現(xiàn)了一種永不擴(kuò)散的波包，稱為相干態(tài)（coherent state）：

相干態(tài)波函數(shù)如圖所示：

另外,，當(dāng)考慮多體時(shí),，波函數(shù)的空間變量就會(huì)超過(guò)三個(gè)，如對(duì)雙粒子系統(tǒng)：

是一個(gè)六維空間中的波動(dòng),，對(duì)個(gè)粒子則為維,，我們不再能將其直接想象為空間中的流體。

第二,，電子的電荷分散在空間中會(huì)伴隨著一種不可忽略的相互作用——各部分同性相斥,，這種相互作用會(huì)顯著地影響我們觀測(cè)到的電子的狀態(tài)，如影響氫原子光譜,，但這種影響從未被觀測(cè)到過(guò),。

第三，在散射實(shí)驗(yàn)中這種物質(zhì)波電子可以被打散,，分裂為多個(gè)電子,，這同樣沒(méi)被觀測(cè)到過(guò)。

實(shí)際上，玻恩正是通過(guò)對(duì)散射實(shí)驗(yàn)的研究中得出了它的概率規(guī)則,，將波函數(shù)的模方理解為一種概率波,，而不是實(shí)體性的物質(zhì)波。波函數(shù)模方對(duì)立體角的積分就代表在一個(gè)立體角范圍內(nèi)探測(cè)到出射粒子的概率——在量子力學(xué)的早期發(fā)展中,，人們并不直接測(cè)量粒子的位置,，而是測(cè)量角分布！

當(dāng)然,，斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)等實(shí)驗(yàn)揭示的量子干涉效應(yīng)（簡(jiǎn)稱相干性,，coherence）告訴我們復(fù)數(shù)的疊加系數(shù)是有物理意義的，不能直接使用波函數(shù)的模方,、簡(jiǎn)單地把量子力學(xué)當(dāng)做某種概率力學(xué),，至少也是概率-相位力學(xué)。如只保留就會(huì)丟失系統(tǒng)動(dòng)量的信息,，可以說(shuō),，相位編碼著不能同時(shí)確定的力學(xué)量。

人們?cè)诮榻B量子干涉/相干性的時(shí)候通常都會(huì)以電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)為例,，但實(shí)際上這種實(shí)驗(yàn)直到20世紀(jì)60年代才真正出現(xiàn),，在此之前人們都說(shuō)通過(guò)仍粒子射入晶格等手段來(lái)展開(kāi)實(shí)驗(yàn)——只在理論分析的時(shí)候用較為簡(jiǎn)單的雙縫模型。

而標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)對(duì)波動(dòng)性,、粒子性的看法是：

波函數(shù)不是在實(shí)際空間中的波動(dòng)，而是在構(gòu)型空間（configuration space,，所謂構(gòu)型就是系統(tǒng)的“模樣”）中的波動(dòng),，只有最簡(jiǎn)單的單粒子的波函數(shù)（只有三個(gè)空間變量）的情況，才能將構(gòu)型空間和實(shí)際的空間等同起來(lái),，對(duì)于個(gè)粒子,，構(gòu)型空間為維。

而位置波函數(shù)只是波函數(shù)的一種——科普中往往只提及這一種,，我們已經(jīng)說(shuō)過(guò),，位置波函數(shù)無(wú)非就是態(tài)和位置本征態(tài)相應(yīng)的疊加系數(shù)，換別的力學(xué)量的本征態(tài)去疊加,，則還有動(dòng)量波函數(shù),、能量波函數(shù)、角動(dòng)量波函數(shù)等（模方對(duì)應(yīng)動(dòng)量,、能量,、角動(dòng)量等的概率），這些波動(dòng)就更加抽象了,。

而粒子性則是與測(cè)量相對(duì)接的：

實(shí)際上,，今天人們說(shuō)波動(dòng)強(qiáng)或粒子性強(qiáng)常常是指波長(zhǎng)的大小,，或波函數(shù)是局域的波包還是非局域的多波包疊加等，可以說(shuō),，這都是在波函數(shù)框架下的討論,。

量子場(chǎng)，波-粒子數(shù)二象性

盡管波粒二象性的提出就是受光子概念的啟發(fā),，但從現(xiàn)代的眼光看,，光子這種無(wú)質(zhì)量的極端相對(duì)論性的粒子與我們從電子這樣的有質(zhì)量粒子那里獲得的印象有著巨大的不同。

對(duì)于光子的嚴(yán)格描述必須使用量子場(chǎng)論——量子場(chǎng)論繼承了我們提到的四條基本假設(shè),，因而并不改變我們要面對(duì)的問(wèn)題,。

你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)，量子場(chǎng)論認(rèn)為粒子都是量子場(chǎng)的激發(fā),，電子,、夸克……通通不例外，不同的粒子對(duì)應(yīng)不同的量子場(chǎng),，激發(fā)出粒子就是量子場(chǎng)在“能級(jí)階梯”上爬高,，這解釋了為什么粒子具有全同性——因?yàn)樗鼈兙褪橇孔訄?chǎng)的一份份激發(fā)！

對(duì)于電子,，在低能時(shí)我們可以把它當(dāng)做基本的對(duì)象來(lái)處理,，對(duì)它應(yīng)用量子力學(xué)——具體說(shuō)來(lái),，當(dāng)考慮的尺度遠(yuǎn)大于電子的康普頓波長(zhǎng)時(shí)（如果說(shuō)德布羅意波長(zhǎng)衡量了“在什么樣的尺度上能暴露出量子力學(xué)”,，那康普頓波長(zhǎng)就衡量了“在什么樣的尺度上能暴露出量子場(chǎng)論”）——?dú)v史上稱之為“一次量子化”，而量子場(chǎng)論的處理稱為“二次量子化”,。

但對(duì)于光子,，不存在“一次量子化”描述！我們要么采用量子場(chǎng)論處理量子性的電磁場(chǎng),，要么使用麥克斯韋方程組處理經(jīng)典性的電磁場(chǎng),，沒(méi)有中間選項(xiàng)！

讓我們說(shuō)得具體一些,，量子化電磁場(chǎng)意味著不再使用經(jīng)典的場(chǎng)量

而是使用場(chǎng)算符——用量子態(tài)來(lái)描述電磁場(chǎng)的狀態(tài),，用場(chǎng)算符提取場(chǎng)值。

人們發(fā)現(xiàn),，就像量子力學(xué)中粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)確定一樣,，量子場(chǎng)的場(chǎng)值（廣義位置）和場(chǎng)值的變化率（廣義動(dòng)量）也不能同時(shí)確定。

這意味著,，當(dāng)你完全確定某一時(shí)刻的量子場(chǎng)在空間上的取值,，你就完全不能確定它接下來(lái)會(huì)變成什么樣了,！我們可以求場(chǎng)的量子態(tài)與某種場(chǎng)本征態(tài)（位置本征態(tài)的推廣）相應(yīng)的疊加系數(shù)，這就是量子場(chǎng)的波函數(shù)：

這是

的推廣,。就代表測(cè)到場(chǎng)的取值為的概率密度,，鑒于的自變量不是一個(gè)數(shù)而是一個(gè)函數(shù)，應(yīng)該稱其為場(chǎng)的波泛函（wave functional）,，場(chǎng)的波泛函是粒子的波函數(shù)的推廣——當(dāng)然也就可以有廣義動(dòng)量/場(chǎng)變化率的波泛函等,。

還應(yīng)當(dāng)注意，盡管都是線性疊加,，但這里是場(chǎng)的量子態(tài)的疊加,，而不像經(jīng)典場(chǎng)論中那樣是場(chǎng)的取值的矢量疊加。

（【注】這只是一個(gè)示意,，實(shí)際上人們并不直接使用電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行量子化,，而是使用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)——考慮到相對(duì)論，最好說(shuō)四維矢勢(shì),。）

盡管波泛函在概念上接近波函數(shù)——還遵循推廣了的薛定諤方程,，但這種波動(dòng)更加抽象而無(wú)法想象——最大的問(wèn)題是難以計(jì)算，而且不是能量-動(dòng)量本征態(tài),，不利于在量子場(chǎng)論的主要應(yīng)用場(chǎng)景——粒子物理中使用,，因而其在歷史上發(fā)展較為緩慢，直到很晚近的時(shí)期才重新得到關(guān)注,。

人們更喜歡用另一種角度看待量子場(chǎng)論,，也正是這個(gè)角度和粒子密切相關(guān)，即考慮場(chǎng)的能量——粒子數(shù)本征態(tài),?？梢詫?chǎng)的量子態(tài)用粒子數(shù)本征態(tài)疊加出來(lái)：

其中最低的零粒子態(tài)稱為真空態(tài)。由于場(chǎng)算符和粒子數(shù)算符不對(duì)易,，真空態(tài)是很多場(chǎng)本征態(tài)的疊加,！系統(tǒng)處于真空態(tài)時(shí)仍有紛繁不確定的場(chǎng)，真空不空,。

對(duì)于電磁場(chǎng)而言,，還要考慮波矢和偏振，每種波矢和偏振都對(duì)應(yīng)一套能級(jí)——一套光子數(shù),！

光子和電磁場(chǎng)是什么關(guān)系？如果這里的電磁場(chǎng)是指量子電磁場(chǎng)（場(chǎng)算符）,，那光子就是電磁場(chǎng)的激發(fā)態(tài)；如果這里的電磁場(chǎng)像通常所指的那樣指場(chǎng)值,，那么答案是光子對(duì)應(yīng)不確定的電磁場(chǎng),。

我們之前提到的薛定諤的相干態(tài)雖然并不能解決物質(zhì)波面臨的責(zé)難,，但卻是個(gè)意外之喜，經(jīng)典的電磁場(chǎng)就可以視為是光子的相干態(tài)——將諧振子能級(jí)改為光子數(shù),。所以你問(wèn)“電磁場(chǎng)中有多少光子？”,，答案是不確定,！電磁場(chǎng)處于多種光子數(shù)本征態(tài)的疊加中,，有概率測(cè)到各種數(shù)量的光子,。

由于電磁場(chǎng)是一種規(guī)范場(chǎng)（gauge field）——一種對(duì)應(yīng)多種可能的（規(guī)范選擇）以及其它的理由,，討論量子力學(xué)意義上的光子的波函數(shù)意義不大（依賴于人為的規(guī)范選擇,、光子化學(xué)勢(shì)為零——光子數(shù)太容易變化等）,，所以我們無(wú)法像電子那樣直接討論波粒二象性,。

但研究表明,，量子場(chǎng)的相位也有一個(gè)對(duì)應(yīng)的算符,，它和粒子數(shù)算符不對(duì)易，可以說(shuō)這是一種波-粒（子數(shù)）二象性：

綜上所述,，波粒二象性是一個(gè)內(nèi)涵不夠明確的概念,，在今天至多是量子力學(xué)框架的衍生物,，而不應(yīng)將其作為某種基本要素。

量子力學(xué)詮釋問(wèn)題

現(xiàn)在我們終于可以開(kāi)始討論量子力學(xué)的詮釋問(wèn)題了,，什么叫詮釋,？詮釋就是把方程對(duì)應(yīng)為物理過(guò)程,，在經(jīng)典力學(xué)中由于方程本身直接涉及力學(xué)量，人們并不覺(jué)得有什么需要詮釋的（其實(shí)也有,，如對(duì)問(wèn)題中為了方便而選取的廣義位置和廣義動(dòng)量到底對(duì)應(yīng)什么的詮釋）,，但在量子力學(xué)中,，力學(xué)量變成了算符，系統(tǒng)可以處于前所未見(jiàn)的疊加態(tài),，那就不得不進(jìn)行詮釋了,。

從我們引入的標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)的體系來(lái)看,，玻恩定則就是一種最小的詮釋，可以稱之為系綜詮釋（ensemble interpretation）：制備很多同樣初態(tài)的系統(tǒng)——組成一個(gè)系綜（ensemble）——對(duì)它們進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)（畢竟,，因?yàn)闇y(cè)量投影你沒(méi)法對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)重復(fù)實(shí)驗(yàn)?。孔恿W(xué)給出的可觀測(cè)量實(shí)際上是系綜平均值,。于是保守地說(shuō),，我們可以只滿足于把量子力學(xué)看做一個(gè)關(guān)于系綜的理論，而不是關(guān)于單個(gè)系統(tǒng)的理論,。

但當(dāng)你追問(wèn)測(cè)量力學(xué)量時(shí),，系統(tǒng)是怎么從一個(gè)一般而言的疊加態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)本征態(tài)的,，測(cè)量投影這個(gè)抽象的假設(shè)背后到底是什么樣的物理過(guò)程？那你就超出了最小詮釋,，進(jìn)入了量子測(cè)量問(wèn)題,。

也可能,，投影從未發(fā)生,？不同的“可能性”都平等地存在著,？

還可以進(jìn)一步質(zhì)疑：力學(xué)量是否必須要用算符表示,？態(tài)矢量是否是對(duì)系統(tǒng)的完備描述,？是否存在著底層的，具有確定的取值的量——隱變量（hidden variable）,？

甚至我們可以超越量子力學(xué)的框架，引入外援來(lái)解決問(wèn)題,，如彭羅斯（Penrose）的引力坍縮理論,。

實(shí)際上，在上面的討論中有一塊丟失的拼圖,，那就是我們考慮的任何量子系統(tǒng)總是沉浸在環(huán)境中,，必須被考慮為一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)。

諸多發(fā)問(wèn)的入手點(diǎn)帶來(lái)了多種多樣的量子力學(xué)詮釋,，我無(wú)意也沒(méi)有能力將所有主要詮釋都一一加以說(shuō)明,，而是要鋪設(shè)一個(gè)討論環(huán)境，使我們能言之有物地而不是不求甚解或故弄玄虛地討論問(wèn)題,，沉迷于“恐怖的實(shí)驗(yàn)”等噱頭,。

在下半部分中，我們將從馮諾依曼的測(cè)量模型出發(fā),，引入退相干（decoherence）這一重要概念,，清除圍繞著量子力學(xué)詮釋問(wèn)題的迷霧，向你展示問(wèn)題的關(guān)鍵所在,。