提到量子力學(xué)，很多人的第一反應(yīng)是微觀、不連續(xù)、不確定,，然后就是玄乎,、奇怪、詭異,，乃至恐怖,。

有這樣的想法并不奇怪，畢竟,，它跟經(jīng)典物理的確不太一樣,，大家也樂于相信玻爾說的：“如果誰不為量子力學(xué)感到困惑，他就還沒理解它,?！?/span>

許多文章、視頻也喜歡把量子力學(xué)往這個方向上引,，大肆宣揚(yáng)“看一眼”決定貓的生死,，告訴你雙縫實(shí)驗(yàn)有多“恐怖”，把意識和量子力學(xué)扯在一起等等,。于是,，量子力學(xué)在大眾眼里就越來越玄乎，越來越詭異,，越來越恐怖了,。

其實(shí)，量子力學(xué)并不奇怪,，你覺得它奇怪,，主要是因?yàn)?/span>你老是從經(jīng)典力學(xué)的視角看量子力學(xué)，就像古人眼里閃電也很奇怪一樣,。

我們從小就浸泡在經(jīng)典世界里,，很多經(jīng)典觀念已經(jīng)成了潛意識的一部分，你這樣去看量子世界,，自然會覺得它很奇怪,。但是，如果你轉(zhuǎn)換一下視角,，嘗試從量子的視角去看量子世界,，就會發(fā)現(xiàn)一切都很自然。

那么,，如何從量子視角看待量子世界呢,？

想了解量子力學(xué)看待世界的方式,，我們就得先搞清楚經(jīng)典力學(xué)看待世界的方式。只有清楚經(jīng)典力學(xué)是如何看待世界的,，我們才能知道哪些觀念是經(jīng)典力學(xué)特有的,，哪些觀念進(jìn)入量子力學(xué)之后需要修改，才能知道如何建立全新的量子世界觀,。

那么,，經(jīng)典力學(xué)的世界又是什么樣的呢？

01經(jīng)典的世界

大家在中學(xué)都學(xué)過牛頓力學(xué),，我在《什么是高中物理,？》里也介紹過。

在牛頓力學(xué)里,，想知道一個物體會如何運(yùn)動,，就要看它受到了什么力F，然后利用牛頓第二定律F=ma計(jì)算它的加速度a,。算出了加速度,，我們就能知道物體的運(yùn)動狀態(tài)會如何變化，就能根據(jù)物體此刻的狀態(tài)（比如物體在哪,，速度是多少）算出它下一刻的狀態(tài),。

也就是說，在牛頓力學(xué)里,，只要我們掌握了物體的受力情況,，就能根據(jù)物體的初始狀態(tài)知道它任意時刻的狀態(tài)。比如,，我們知道蘋果下落是因?yàn)槭艿搅说厍虻囊?，知道引力就能知道蘋果下落的加速度，然后知道蘋果在任意時刻的速度和位置,。

這是一個非常典型的例子,，大家也習(xí)慣于這樣去處理物體的運(yùn)動。但是,，在這種非常自然的處理方式里,，卻暗含了一個極為重要的假設(shè)：我們知道蘋果在某個時刻肯定在空間中的某個地方，也肯定有一個確定的速度,，不管我們有沒有去測量,。

什么意思？

你去測量蘋果的位置和速度,，肯定會得到一個數(shù)值,。而且，你知道無論誰去測,，測量多少次都不會改變這個結(jié)果,。不可能說張三測量蘋果在樹上,，李四去測，蘋果就跑到了地上,，頂多就是測量儀器會帶來一點(diǎn)誤差,。

也就是說，經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為：蘋果的力學(xué)量在任何時刻都有確定的取值,，它的位置和速度都是確定的，跟你測不測量,，如何測量沒有關(guān)系,。不管誰去測，也不管怎么測,，測多少次,，測量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)應(yīng)該都一樣。因?yàn)?，我們都確信蘋果肯定有一個確定的位置和速度,，測量只不過是想知道這個確定的值是多少而已，這是我們常識中的常識,。

如果有個人跑來跟你說：不對,，蘋果沒有確定的位置和速度，想知道蘋果在哪就得去測量,，測量結(jié)果是哪就在哪,。而且，不同人測量的結(jié)果完全可以不一樣,，張三測得蘋果在樹上,，李四可以測得蘋果在地面，你肯定認(rèn)為這個人瘋了,。

是的,，任何力學(xué)量在任何時刻都有確定的取值，而且跟測量無關(guān),，這是經(jīng)典力學(xué)刻在我們靈魂深處的信念,。

但是，這種信念真的絕對可靠么,？有沒有可能它并沒有想象中的那么天經(jīng)地義,？

帶著這樣的疑問，我們來看一看大名鼎鼎的斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),。

02斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)

既然你覺得力學(xué)量在任何時刻都有確定取值,，而且跟測量無關(guān)。那我們就來做個實(shí)驗(yàn)測一下,，測什么呢,？測量銀原子的自旋,。

我們先甭管自旋是什么，只要知道這是粒子的一個固有屬性,，像質(zhì)量和電荷一樣就行了,。

然后，大家要知道銀原子的自旋在任意方向上都只能取兩個值,，我們記為向上和向下,。也就是說，你在任何方向測量銀原子的自旋,，結(jié)果都只可能是兩個：要么向上,，要么向下，沒有其它值了,。

知道了自旋以及它的取值,，我們就可以開始測量了，用什么測呢,？用磁場,，準(zhǔn)確的說是不均勻磁場。

我們讓銀原子通過不均勻磁場,，銀原子就會發(fā)生偏轉(zhuǎn),，不同自旋會有不同的偏轉(zhuǎn)方向。我們約定,，如果銀原子向上偏轉(zhuǎn),，就說它自旋向上；如果銀原子向下偏轉(zhuǎn),，就說它自旋向下,。當(dāng)然，這個對應(yīng)關(guān)系并不重要,，我們只要知道不同的自旋會有不同的偏轉(zhuǎn)就行了,。

之所以選擇自旋，并不是因?yàn)樽孕卸嗵厥?，而是因?yàn)樗銐蚝唵?，把自旋換成位置、動量也是一樣的,。

然后,，我們就可以開始實(shí)驗(yàn)了。

首先,，我們在z方向加一個磁場（以后沒有特別聲明,，文中的磁場均指不均勻磁場），然后讓一束銀原子通過這個磁場,。

由于銀原子有很多,，有的自旋向上,，有的自旋向下，不同自旋的銀原子在磁場中的受力不一樣,，所以偏轉(zhuǎn)方向也不一樣,。于是，這束銀原子在z方向上就分裂成了兩束,，這沒什么好說的（實(shí)驗(yàn)圖片來自莊鵬飛老師的《現(xiàn)代量子力學(xué)》）,。

接下來，就是精彩的級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)了,。

03級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)

所謂級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),，顧名思義，就是在原實(shí)驗(yàn)的后面再加上磁場,，繼續(xù)做實(shí)驗(yàn)。而后面加的磁場,，可能與原磁場方向相同,，也可能不同。

這些級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)一共有三組,，我們來分別看一下,。

第一組實(shí)驗(yàn)：我們先讓銀原子通過z方向磁場，銀原子分裂成了兩束（原實(shí)驗(yàn)）,。然后,，我們把下面那束銀原子擋住，讓上面那束再次通過z方向磁場（如圖一）,。

大家猜結(jié)果會怎樣,？

這個結(jié)果很好猜，因?yàn)殂y原子通過了一次z方向磁場,，并分裂成了兩束,。那么，上面那束銀原子在z方向的自旋就應(yīng)該都一樣（都自旋向上）,，你讓它們再次通過z方向磁場,，它們應(yīng)該都向上偏轉(zhuǎn)，因而不會分裂,。

沒錯,，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也的確是這樣：讓z方向分裂的銀原子的其中一束再次通過z方向的磁場后，它們沒有再次分裂,。

接下來,，我們再看第二組實(shí)驗(yàn)。

第二組實(shí)驗(yàn)：還是讓銀原子先通過z方向磁場,，分裂成兩束后,，繼續(xù)讓上面那束銀原子再次通過一個磁場,。不同的是，這次通過的不是z方向磁場,，而是x方向磁場,。

結(jié)果，我們看到銀原子又分裂成了兩束（如圖二）,。

也就是說,，被z方向磁場“篩選”過一次的銀原子，雖然在z方向的自旋一樣,，但在x方向的自旋好像并不一樣,。

這個結(jié)果雖然有點(diǎn)意外，但多多少少也可以接受,。因?yàn)?，?/span>可能會認(rèn)為所有的銀原子在z方向和x方向上都有一定的取值。第一個磁場把所有z方向自旋向上的銀原子篩選了出來,，第二個磁場則把所有x方向自旋向上的銀原子篩選了出來,。

這就好比選秀節(jié)目，每次從不同的維度篩選一批人,。第一輪只有品行好的能通過,，第二輪只有學(xué)習(xí)好的能通過，那么,，通過兩輪篩選的就都是品學(xué)兼優(yōu)的精英了,。

同理，你現(xiàn)在可能會認(rèn)為：通過了z方向和x方向兩輪篩選的銀原子,，肯定都是在z方向自旋向上,，在x方向也自旋向上的銀原子,。這些銀原子都是歷經(jīng)兩輪篩選的精英,，它們都很純了,，以后不管是經(jīng)過z方向磁場還是x方向磁場，它們都自旋向上,，肯定不會再分裂了,。

帶著這樣的想法，我們進(jìn)入了第三組實(shí)驗(yàn),。

第三組實(shí)驗(yàn)就是在第二組實(shí)驗(yàn)的后面再加了一個z方向磁場,。也就是說，銀原子經(jīng)過z方向磁場后分裂成了兩束,，我們讓其中一束經(jīng)過x方向磁場（第二組實(shí)驗(yàn)）,。再次分裂后，我們又讓其中的一束銀原子再次經(jīng)過z方向磁場。

原本,，我們以為銀原子經(jīng)過兩輪篩選之后,，在z方向和x方向上都自旋向上，再次通過z方向磁場時肯定不會再分裂,。

但是,，實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻讓所有人震驚了：它-居-然-再-次-分-裂-了（如圖三）！

這是一次讓人震驚的分裂,，這是一次讓人百思不得其解的分裂,，這是一次徹底與經(jīng)典力學(xué)劃清界限的分裂，這是宣告量子力學(xué)來臨的分裂,。

你盡可以去思考它再次分裂的原因,，但是，只要你還在用經(jīng)典力學(xué)的思維思考問題,，你是找不到出路的,。或者說,，只要你能意識到這個分裂的核心原因,，你就已經(jīng)站在了量子力學(xué)的大門口,。

為什么,？

04實(shí)驗(yàn)初分析

你仔細(xì)想想第三組實(shí)驗(yàn)，還是用選秀節(jié)目做類比,。我們第一輪挑選出了品行好的（z方向自旋向上）,，第二輪挑選出了學(xué)習(xí)好的（x方向自旋向上），那么,，通過兩輪篩選的就應(yīng)該都是品學(xué)兼優(yōu)的人,。

這時候，你再對這群品學(xué)兼優(yōu)的人進(jìn)行測試,，按理說,，不管是測品行（z方向）還是測學(xué)習(xí)（x方向）,，他們都應(yīng)該是優(yōu)秀（自旋向上）。但測試結(jié)果卻顯示：當(dāng)我們對這群品學(xué)兼優(yōu)的人再次測品行（z方向）時,，他們竟然又分成了品行優(yōu)秀和品行卑劣的兩撥人（在z方向上分裂成兩束），這如何不讓人震驚,？

但震驚歸震驚,，實(shí)驗(yàn)的的確確發(fā)生了，不管你愿不愿意相信,，現(xiàn)實(shí)就擺在眼前,。

那么，問題到底出在哪,？到底是哪一個環(huán)節(jié)出了問題,？一群已經(jīng)通過兩輪測試而品學(xué)兼優(yōu)的人，再次測品行時,，為什么又會分成品行優(yōu)秀和品行卑劣的兩撥人,？

有人說，是不是第一輪測試和第二輪測試的標(biāo)準(zhǔn)不一樣,？比如,，第一輪測試品行時標(biāo)準(zhǔn)低一些，第二輪測試品行時標(biāo)準(zhǔn)高一些,，于是,，那些通過了第一輪測試的人的確有可能無法通過第二輪測試，進(jìn)而導(dǎo)致第二輪測試時再次發(fā)生分裂（z方向上的再次分裂）,。

聽起來很有道理,，但在實(shí)驗(yàn)里是不可能的。原因很簡單,，我們在實(shí)驗(yàn)里是用磁場測量銀原子的自旋,，而磁場都是一樣的。你可以懷疑選秀節(jié)目的裁判不公正，但你總不能說磁場不公正吧,？

所以,，如果你打算在測試環(huán)節(jié)找問題，那對不起,，此路不通,！測試環(huán)節(jié)沒問題，那就只能在被測人身上找原因了,。

如果兩輪測試環(huán)境完全一樣,，而一個人在第一輪測試時品行優(yōu)秀，在第二輪測試時卻品行卑劣,，那就只能說明：這個人在第一輪測試時確實(shí)品行優(yōu)秀,，但到第二輪測試時就變成品行卑劣的了。測試標(biāo)準(zhǔn)沒有變,，那變的就只可能是這個人了,，是他自己從品行優(yōu)秀變成了品行卑劣的人。

我知道很多人難以接受這樣的結(jié)論,，同樣的人,，只不過先后經(jīng)歷了兩輪測試，怎么就變了呢,？當(dāng)然,，我們可以說人心隔肚皮，他在兩輪測試中的確變了也未可知,。但是,，人心可以變，銀原子的自旋狀態(tài)是由物理定律支配的,，它怎么能說變就變呢,？

同樣是測量銀原子在z方向的自旋,，第一次測量時還是自旋向上,，為什么第二次測量時就自旋向下了？

如果我們把自旋換成位置,，那這個事情就變成了：第一次測量銀原子的位置時,，它在北京；第二次測量銀原子的位置時,，它變成了武漢,，這太荒謬了！

在我們的潛意識里,，一個物體在哪就在哪,，它的位置是確定的，無論誰去測量，測量幾次的結(jié)果應(yīng)該都一樣,。在誤差范圍內(nèi),，不可能一個人測得它在A位置，另一個人卻測得它在B位置,。

但是,，喜歡看偵探小說的朋友肯定聽過福爾摩斯的一句話：當(dāng)你排除了一切不可能的情況，剩下的,，不管多難以置信,，那都是事實(shí)！

因?yàn)橥獠繙y試環(huán)境一模一樣,，z方向的磁場也一模一樣,，所以，造成前后兩次測量結(jié)果不一樣的原因,，就不可能是來自外部環(huán)境,，而必須是來自內(nèi)部。必須認(rèn)為是被測人的狀態(tài)發(fā)生了改變（從品行優(yōu)秀變成了品行卑劣）,，必須認(rèn)為是銀原子的狀態(tài)發(fā)生了改變（從z方向自旋向上變成了自旋向下）,，我們才能解釋上面的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

也就是說,，不管你愿不愿意相信,，你都必須接受“銀原子在z方向上的自旋狀態(tài)確實(shí)發(fā)生了改變”這一事實(shí)，這樣兩次測量結(jié)果才會不一樣,。而這,，是經(jīng)典力學(xué)打死也不相信的，所以,，經(jīng)典力學(xué)無法解釋斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),。

05新的力學(xué)

那么，銀原子在z方向的自旋狀態(tài)為什么會改變呢,？狀態(tài)改變了,，當(dāng)然是受到了其它因素的影響，受什么影響呢,？

我們再看看第一組級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)：如果銀原子通過z方向磁場后發(fā)生了分裂,，我們讓其中一束再次通過z方向磁場，它是不會分裂的,。

但是,，到了第三組實(shí)驗(yàn)，我們只不過在第一組實(shí)驗(yàn)的兩個z方向磁場之間再加了一個x方向磁場,，然后,，第二次通過z方向磁場的銀原子就分裂了,。第一組沒分裂，中間加了一個x方向磁場（第三組）以后就分裂了,，這樣一對比就會發(fā)現(xiàn)：能夠影響銀原子z方向自旋狀態(tài)的,，就只可能是中間測量銀原子在x方向自旋這個操作了。

也就是說,，測量銀原子在x方向的自旋竟然影響了銀原子在z方向的自旋狀態(tài),。測量會影響系統(tǒng)狀態(tài)，這可新鮮了,。

在經(jīng)典力學(xué)里,，系統(tǒng)狀態(tài)一旦確定，所有力學(xué)量的取值就都確定了,，測量只不過是把這些值讀取出來,，并不會影響它們。一個蘋果在那里,，它的位置和動量都是確定的,，不論誰去測量，測量幾次,，都不會改變蘋果的位置和動量,。你去測量蘋果的位置，當(dāng)然也不會影響蘋果的動量,。

但是,，第三組級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)卻告訴我們：通過第一個z方向磁場后，上面那束銀原子都自旋向上,。通過第二個z方向磁場后,，原來自旋向上的銀原子竟然有一部分變成自旋向下（所以才會分裂）。中間測量x方向自旋的操作的的確確改變了銀原子在z方向上的自旋狀態(tài),，這在經(jīng)典力學(xué)里是不敢想象的,。

到了這里，相信大家也看出來了：如果我們想描述斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),，就必須發(fā)展一套全新的力學(xué)體系,，因?yàn)檫@個實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)出來的特性已經(jīng)跟經(jīng)典力學(xué)的根本觀念發(fā)生了沖突。在這種全新的力學(xué)體系里,，“測量”將具有完全不同于它在經(jīng)典力學(xué)里的含義,，它不再是簡簡單單地把某個確定的值讀出來,，而是會改變系統(tǒng)的狀態(tài),，會參與到系統(tǒng)的演化中去。

這種全新的力學(xué),，自然就是大名鼎鼎的量子力學(xué),。

06測量與狀態(tài)

意識到“測量會改變系統(tǒng)狀態(tài)”是一個關(guān)鍵點(diǎn),，但僅僅知道這些還不夠。你知道測量可以改變系統(tǒng)狀態(tài),，那測量是如何改變系統(tǒng)狀態(tài)的呢,？系統(tǒng)原來處于這個狀態(tài)，測量之后又會變成什么狀態(tài)呢,？你得把這些都搞清楚了才行,。

怎么搞清楚呢？當(dāng)然還是回到斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),。

我們再走一遍第三組實(shí)驗(yàn),。一開始，銀原子雜亂無序,，什么狀態(tài)都有,，它們經(jīng)過第一個z方向磁場后分裂成了兩束。這時候,，我們可以保守地下一個結(jié)論：向上偏轉(zhuǎn)的那束銀原子都自旋向上,，向下偏轉(zhuǎn)的那束都自旋向下。

這個結(jié)論看起來很有道理,，但對不對呢,？我們剛剛踏進(jìn)量子力學(xué)大門，下任何結(jié)論都要萬分謹(jǐn)慎,，因?yàn)橐郧暗闹庇X到現(xiàn)在還不一定有效,。我們想判斷向上偏轉(zhuǎn)的銀原子是否都自旋向上，不能憑感覺,，得去測量,。

怎么測量呢？你想知道銀原子在z方向的自旋狀態(tài),，讓它通過z方向的磁場就好了,。如果向上偏轉(zhuǎn)的那束銀原子在z方向的確都自旋向上，那它們再次通過z方向磁場時就不會分裂,。

這個實(shí)驗(yàn)其實(shí)我們已經(jīng)做過了,，它就是第一組級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（讓通過z方向磁場的銀原子再次通過z方向磁場）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也很清楚：它的確沒有分裂,！

這樣,，我們才能下結(jié)論：在第三組實(shí)驗(yàn)里，銀原子通過第一個z方向磁場之后,，向上偏轉(zhuǎn)的那一束的確都自旋向上,。

但是，這束銀原子通過x方向磁場后,，再次通過z方向磁場時,，竟然又分裂了（最后那個驚天大分裂）,。也就是說，經(jīng)過第一個z方向磁場后,，銀原子們都自旋向上,。但是，在經(jīng)過第二個z方向磁場前,，它們又變成了自旋向上和自旋向下都有的狀態(tài),，為什么會這樣？

很明顯,，夾在這兩個z方向磁場之間的只有一個x方向磁場,，那這種變化就只可能是這個x方向磁場導(dǎo)致的。

所以,，第三組級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)逼得我們不得不承認(rèn)這樣一個事實(shí)：銀原子通過x方向的磁場后,，它們就從z方向自旋向上的狀態(tài)，變成了z方向自旋向上和自旋向下都有的狀態(tài),。

07死結(jié)

這個結(jié)論雖然有點(diǎn)奇怪,，但接受起來似乎也沒那么困難。因?yàn)槲覀円呀?jīng)接受了“測量會改變系統(tǒng)狀態(tài)”,，那么,，測量x方向自旋會稍微影響一部分銀原子在z方向的自旋狀態(tài)也不足為怪。

但是,，事情有這么簡單么,？我們繼續(xù)往下挖。

你覺得測量x方向的自旋會影響一部分銀原子在z方向的自旋,，讓原來都是自旋向上的銀原子變成一部分自旋向上,，一部分自旋向下，然后就有了后面的分裂,。但問題是：它會讓哪一部分銀原子的狀態(tài)發(fā)生變化呢,？

大家都是平等的銀原子，現(xiàn)在有人說你們挑一部分出來變成自旋向下,，那我挑哪一部分,？你挑哪一部分大家都會不服氣，憑什么,？大家都一樣,，憑什么選中它而不是我？

為了把這個矛盾更加尖銳地暴露出來,，我們再做一個假設(shè)：假設(shè)通過x方向磁場的銀原子不是一束,，而是一個，你猜結(jié)果會怎么樣,？通過x方向的磁場后,，它在z方向的自旋會是向上還是向下,？

你敢肯定一定是自旋向上么,？不,，你不敢！

因?yàn)槲沂请S機(jī)取的一個銀原子,，如果你敢肯定這個銀原子在通過x方向磁場后在z方向的自旋一定是向上,，那其它銀原子是不是也都可以同理可得？如果所有的銀原子通過x方向磁場后,，在z方向的自旋都變成了向上,，那第二次通過z方向磁場后就不會有那個驚天大分裂了。

同理,，你也不敢肯定這個銀原子在通過x方向磁場后,，它在z方向的自旋一定向下。

但是,，這束銀原子在通過x方向磁場后,，的的確確變成了在z方向自旋向上和自旋向下都有的狀態(tài)，否則,，它們第二次通過z方向磁場時就不會再分裂,。

也就是說，面對完全相同的一束銀原子,，通過同樣的磁場之后,，你既不能肯定某個銀原子一定自旋向上，也不能肯定它一定自旋向下,。但是,，這束銀原子又必須包含了自旋向上和自旋向下兩種狀態(tài)，這樣才會有后面的分裂,。

這看上去是一個死結(jié),，是一個無解的題目。因?yàn)檫@些銀原子的狀態(tài)都一樣,，但是,，對其中的每一個銀原子來說，它既不能是自旋向上,，也不能是自旋向下,。而實(shí)驗(yàn)結(jié)果又要求這束銀原子里必須包含了自旋向上和自旋向下兩種狀態(tài)，否則,，第二次通過z方向磁場后就不會有那個驚天大分裂,，這怎么看都自相矛盾！

怎么辦,？

看起來確實(shí)是身處絕境,，但絕縫中還有一絲可能性,，雖然這種可能性看起來太過石破天驚，太過不可能,，但除此之外似乎也別無他法,。這種可能性就是：我們只能假設(shè)每個銀原子本身就具有自旋向上和自旋向下的狀態(tài)，它本身就處在自旋向上和自旋向下的疊加態(tài),。

什么意思,？

08疊加態(tài)

意思就是，我們不能再非黑即白地看待銀原子的自旋,。你不能認(rèn)為一個銀原子要么自旋向上,，要么自旋向下，它也可以同時具備這兩種狀態(tài),，處于它們的疊加態(tài),。你去測量銀原子的自旋，結(jié)果就既可能自旋向上,，也可能自旋向下,，一人分飾二角。

只有這樣,，我們才能既滿足“所有銀原子的狀態(tài)都一樣”（都是自旋向上和自旋向下的疊加態(tài)）,，又滿足“包含自旋向上和自旋向下兩種狀態(tài)”，從而解開上面的死結(jié),。

以前,，你以為一個人要么是步兵，要么是炮兵?，F(xiàn)在,，你發(fā)現(xiàn)他還可以是特種兵，可以既是步兵又是炮兵,。一群完全一樣的特種兵,，一樣可以根據(jù)戰(zhàn)場需求立馬“分裂”成步兵隊(duì)和炮兵隊(duì)，就像銀原子第二次通過z方向磁場后分裂一樣,。

如果銀原子既可以處于自旋向上的狀態(tài),，也可以處于自旋向下的狀態(tài)，還可以處于自旋向上和自旋向下的疊加態(tài),，那我們就可以認(rèn)為通過x方向磁場后的每個銀原子都是處于z方向自旋向上和自旋向下的疊加態(tài),。于是，第二次通過z方向磁場時,，每個銀原子都既可能向上偏轉(zhuǎn),，也可能向下偏轉(zhuǎn)，這樣就分裂成了兩束。

這里的核心要點(diǎn)是：第二次通過z方向磁場前,，并不是說有一半的銀原子自旋向上,，一半的銀原子自旋向下，通過磁場后自旋向上的那一半向上偏,，自旋向下的那一半向下偏,。而是，每一個銀原子都處于自旋向上和自旋向下的疊加態(tài)（狀態(tài)都一樣）,，每一個銀原子在通過z方向磁場前都不知道自己將會向上偏還是向下偏,，只有通過磁場以后才知道,。

雖然這兩種情況都會讓銀原子分裂成兩束,，但本質(zhì)卻完全不同：前者并非每個銀原子的狀態(tài)都一樣，而且每個銀原子的自旋都是確定的,，這在經(jīng)典力學(xué)里也能出現(xiàn),；后者是每個銀原子的狀態(tài)都一樣，都處于疊加態(tài),，是量子力學(xué)才有的情況,。

這樣，我們就通過引入疊加態(tài)解開了那個死結(jié),，用一種比較合理的方式解釋了第三組級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),。

跟疊加態(tài)相對，我們把銀原子處于確定的自旋向上或自旋向下的狀態(tài)稱為本征態(tài),。也就是說,，現(xiàn)在的銀原子可以處于自旋向上本征態(tài)、自旋向下本征態(tài)以及自旋向上和自旋向下的疊加態(tài),。

09重走實(shí)驗(yàn)

引入了疊加態(tài)和本征態(tài),，我們再來走一遍第三組級聯(lián)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。

銀原子第一次經(jīng)過z方向磁場后分裂成了兩束,，上面那束銀原子自旋向上（因?yàn)?/span>第一組實(shí)驗(yàn)告訴我們,，這束銀原子再次通過z方向磁場后不會分裂），也就是都處于z方向自旋向上的本征態(tài),。

我一再強(qiáng)調(diào),，“測量”在量子力學(xué)里具有完全不同于它在經(jīng)典力學(xué)里的意義，它不再是一個單純的顯示器,，而是要參與到系統(tǒng)演化中來,。

我們讓銀原子通過z方向磁場,，這就是一次測量，測量什么呢？測量銀原子在z方向的自旋,。通過第一個z方向磁場前,，銀原子處于什么狀態(tài)我們不知道，但經(jīng)過磁場的測量后，向上偏轉(zhuǎn)的那束銀原子就處于z方向自旋向上的本征態(tài),，向下偏轉(zhuǎn)的那束銀原子處于z方向自旋向下的本征態(tài)。

于是,，我們發(fā)現(xiàn)：測量銀原子z方向的自旋,，會讓銀原子從原來的狀態(tài)變成z方向的自旋本征態(tài)，測量會這樣改變系統(tǒng)的狀態(tài),。

通過了第一個z方向磁場,，上面那束銀原子接下來要通過x方向磁場。同樣,，我們有理由相信,，讓銀原子通過x方向磁場也會讓它從原來的狀態(tài)變成x方向的自旋本征態(tài)。

通過x方向磁場后,，銀原子又分裂成了兩束,，很顯然，向上偏轉(zhuǎn)的處于x方向自旋向上本征態(tài),，向下偏轉(zhuǎn)的處于x方向自旋向下本征態(tài),。而這束銀原子能分裂，就說明它們在通過x方向磁場前必然是處于x方向自旋向上和向下的疊加態(tài),。

于是,，我們就把銀原子通過x方向磁場前后的狀態(tài)都搞清楚了：通過x方向磁場前，銀原子處于x方向的自旋疊加態(tài),，同時還處于z方向自旋向上的本征態(tài)（因?yàn)閯偼ㄟ^第一個z方向磁場）,；通過x方向磁場后，銀原子處于x方向自旋本征態(tài),。

也就是說,，通過x方向的磁場后，銀原子在x方向的自旋確實(shí)從疊加態(tài)變成了本征態(tài),，那z方向的自旋呢,？通過x方向磁場前，銀原子在z方向處于自旋本征態(tài),，那么,，通過x方向磁場后，它在z方向的自旋會不會發(fā)生改變呢,？

10不對易

咋一看,，這個問題有些奇怪：我們讓銀原子通過x方向磁場，測量的是銀原子在x方向的自旋,，影響x方向的自旋就罷了,，你z方向上的自旋來湊什么熱鬧？z方向的自旋還是哪涼快哪呆著去，你通過x方向磁場前在z方向是自旋本征態(tài),，那通過后就繼續(xù)保持本征態(tài)好了,，別瞎湊熱鬧。

但是,，仔細(xì)一想我們就發(fā)現(xiàn)不對勁了：在第三組實(shí)驗(yàn)里,，通過x方向磁場的銀原子接下來會第二次通過z方向磁場，并且發(fā)生分裂（就是最后的那個驚天大分裂）,。銀原子通過第二個z方向磁場后分裂了,，就說明銀原子在通過第二個z方向磁場前必然是處于z方向的自旋疊加態(tài)。

而通過第二個z方向磁場前跟通過x方向磁場后是同一時刻,，于是,，在通過x方向磁場前后，銀原子在z方向的自旋狀態(tài)也都清楚了：通過x方向磁場前,，銀原子處于z方向自旋向上本征態(tài),；通過x方向磁場后（第二個z方向磁場前）,，銀原子處于z方向的自旋疊加態(tài),。

也就是說，測量銀原子x方向的自旋（通過x方向磁場）,，不僅讓銀原子在x方向上從疊加態(tài)變成了本征態(tài),，也讓銀原子在z方向上從自旋向上本征態(tài)變成了疊加態(tài)。

這是一個在經(jīng)典力學(xué)看起來完全不可理喻的結(jié)論,，你測量銀原子x方向上的自旋,，影響x方向的自旋就罷了，為什么還要影響z方向的自旋呢,？這不是狗拿耗子多管閑事么,？

而且，如果測量x方向的自旋會影響z方向的自旋,，那它還會影響其它力學(xué)量么,？y方向的自旋會不會被影響？動量,、位置,、能量會不會被影響？如果測量一個力學(xué)量,，所有的力學(xué)量都要被影響,，那豈不天下大亂了？

還好,，事情并沒有亂到如此不可收拾的地步,，測量x方向的自旋雖然會影響z方向的自旋，但它并不是誰都招惹，它只招惹跟它不對易的力學(xué)量,。

如果兩個力學(xué)量是對易的,，它們就互相獨(dú)立，先測量誰后測量誰不影響結(jié)果,，它們可以有共同的本征態(tài),，可以同時測準(zhǔn)；如果兩個力學(xué)量不對易,，它們就不獨(dú)立,，一般來說先測量誰后測量誰結(jié)果就不一樣，它們沒有共同的本征態(tài),，無法同時測準(zhǔn),。

很顯然，x方向自旋和z方向自旋就不對易,，所以測量x方向自旋會影響z方向自旋,。測量x方向自旋后，銀原子就處于x方向自旋本征態(tài),，同時也處于z方向的自旋疊加態(tài),。這時候，測量x方向自旋有確定值,，測量z方向自旋就沒有確定值了,。

因此，如果兩個力學(xué)量不對易（比如x方向和z方向自旋,，位置和動量）,，它們就沒法同時處于本征態(tài)。系統(tǒng)處于一個力學(xué)量的本征態(tài),，測量這個力學(xué)量時能測準(zhǔn),，另一個力學(xué)量就會因?yàn)樘幱诏B加態(tài)而測不準(zhǔn)。于是,，你就沒法同時測準(zhǔn)它們,，這就是所謂的不確定性原理。

當(dāng)然,，關(guān)于不確定性原理,，這里只順便提一嘴。現(xiàn)在我們只要知道測量x方向的自旋不僅會讓銀原子處于x方向本征態(tài),，也會影響z方向自旋,，讓銀原子在z方向上從自旋向上本征態(tài)變成疊加態(tài)就行了。

這樣,，第三組斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)就可以完全走通了：銀原子通過第一個z方向磁場后變成了z方向自旋本征態(tài),，向上偏轉(zhuǎn)的銀原子通過x方向磁場后變成了x方向自旋本征態(tài),。與此同時，由于z方向和x方向的自旋不對易,，它們無法同時處于本征態(tài),。所以，當(dāng)銀原子處于x方向自旋本征態(tài)的同時,，在z方向就會從自旋向上本征態(tài)變成疊加態(tài),。

于是，處于z方向自旋疊加態(tài)的銀原子通過第二個z方向磁場后自然就分裂了,，這就是最后的那個驚天大分裂,，就是那個讓經(jīng)典力學(xué)百思不得其解的分裂。

至此,，斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)就全部走通了,。

11量子力學(xué)

可以看到，為了解釋斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),，我們引入了許多全新的假設(shè),。我們假設(shè)銀原子可以處于自旋向上和自旋向下的疊加態(tài)，假設(shè)測量會影響系統(tǒng)的狀態(tài),，假設(shè)如果兩個力學(xué)量不對易,，測量一個力學(xué)量會影響另一個的情況……

這些假設(shè)已經(jīng)完全超出了經(jīng)典力學(xué)的范疇，但順著斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn),，你又會發(fā)現(xiàn)非如此不可,。物理學(xué)家其實(shí)是很保守的，但凡經(jīng)典物理修修補(bǔ)補(bǔ)還能用,，大家也不至于掀桌子，量子力學(xué)是被逼出來的,。

有了這些全新的假設(shè),，我們就能定性地分析斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)了。但是,，光有定性的分析還不夠,，我們還要用數(shù)學(xué)語言定量地描述它們。

比如,，你說銀原子可以處于自旋向上和自旋向下的疊加態(tài),，那如何描述這種狀態(tài)？系統(tǒng)處于疊加態(tài)還是本征態(tài),，測量自旋的結(jié)果會完全不同,，那自旋這種力學(xué)量要如何描述？系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生了變化,，又要如何描述,？等等,。

我們知道，系統(tǒng)處于不同的狀態(tài),，測量力學(xué)量會有不同的結(jié)果：處于本征態(tài),，測量結(jié)果是確定的；處于疊加態(tài),，測量結(jié)果不確定,。如果系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生了變化，各個力學(xué)量的測量結(jié)果也會隨之發(fā)生變化,。

在這樣的語境下,，系統(tǒng)狀態(tài)就處在了一個非常核心的位置。所以,，我們要先描述系統(tǒng)狀態(tài),，那么，如何描述系統(tǒng)的狀態(tài)呢,？老辦法,，想知道量子力學(xué)里的情況，我們就先去經(jīng)典力學(xué)看看,。在經(jīng)典力學(xué)里,，我們是如何描述系統(tǒng)狀態(tài)的呢？

假設(shè)有兩個蘋果,，一個在北京,，一個在武漢，我們會覺得它們的狀態(tài)不一樣,，因?yàn)槲恢貌煌?。?dāng)然，就算它們的位置一樣,，但如果一個靜止,，另一個卻在運(yùn)動，我們還是會覺得它們的狀態(tài)不一樣,，除非它們的位置和速度都相同,。

也就是說，在經(jīng)典力學(xué)里,，我們可以用物體的位置和速度（或動量）這樣的力學(xué)量來描述系統(tǒng)的狀態(tài),。

如果兩個質(zhì)點(diǎn)的位置和動量（速度）都一樣，它們在時空中的狀態(tài)就被唯一確定了,。在和牛頓力學(xué)等價的哈密頓力學(xué)里,，我們會以位置和動量為橫、縱軸構(gòu)建一個叫相空間的東西,，相空間里的一個點(diǎn)（有個確定的位置和動量）就代表了一個運(yùn)動狀態(tài),。

與此同時,，由于位置和動量都可以直接觀測，我們又用這些可觀測量來描述系統(tǒng)狀態(tài),，那系統(tǒng)狀態(tài)和可觀測量之間就沒啥區(qū)別了,。另外，在經(jīng)典力學(xué)里,，無論系統(tǒng)處于什么狀態(tài),，測量結(jié)果都是確定的，所以,，測量結(jié)果和可觀測量之間也沒啥區(qū)別了,。

于是，在經(jīng)典力學(xué)里,，系統(tǒng)狀態(tài),、可觀測量和觀測結(jié)果就都沒啥區(qū)別了，都可以用位置和動量來描述,。你想確定一個粒子的狀態(tài),，確定它的位置和動量就好了；粒子的可觀測量也是位置,、動量,；最后的觀測結(jié)果，無非就是把位置和動量的值讀出來,。

但是,，量子力學(xué)里的觀測結(jié)果卻是跟系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的，系統(tǒng)處于本征態(tài)還是疊加態(tài),，觀測結(jié)果會很不一樣,。自旋、位置這樣的可觀測量跟系統(tǒng)狀態(tài)也不是一回事,。這樣的話,，你再想用位置和動量打發(fā)它們?nèi)齻€就不可能了。

那么,，到了量子力學(xué)，我們要如何描述系統(tǒng)的狀態(tài)呢,？

12系統(tǒng)狀態(tài)

能否還像經(jīng)典力學(xué)那樣,，直接用可觀測量來描述系統(tǒng)狀態(tài)？比如,，銀原子的自旋可以取向上和向下,，那我們就用S=0表示自旋向上的狀態(tài)，用S=1表示自旋向下的狀態(tài),，用這樣的變量S來描述系統(tǒng)狀態(tài)行不行,？

不行,！

如果銀原子只處于本征態(tài)，我們確實(shí)可以用S=0描述自旋向上本征態(tài),，用S=1描述自旋向下本征態(tài),。但是，如果銀原子處于疊加態(tài)呢,？

有人說,，那我用S=0.5描述銀原子處于自旋向上和向下的疊加態(tài)，用S=0.7表示測量時有更大概率自旋向下,，用S=0.3表示有更大概率自旋向上,，行不行呢？

在這個特例里是可行的,，但它無法推廣,。我們這里是碰巧自旋只能取S=0、S=1這樣的分立值,，如果現(xiàn)在討論的不是自旋,，而是位置呢？銀原子的位置x本身就可以連續(xù)取值,，x=0.3也只能表示某個位置本征態(tài),，那你要如何表示位置的疊加態(tài)？

所以,，想用一個變量S描述銀原子的自旋狀態(tài)是不行的,，變量不夠用。不夠用怎么辦,？簡單,，一個不夠用那就再加一個唄，反正又不費(fèi)電,。

比如,，我們可以用S0表示自旋向上本征態(tài)，用S1表示自旋向下本征態(tài),，如果銀原子處于疊加態(tài),，我們就把它們加起來，用S=S0+S1描述疊加態(tài)不就行了么,？

如果想改變疊加的權(quán)重,，調(diào)節(jié)S0、S1前面的系數(shù)就行了,。比如,，我們可以用S=0.6S0+0.8S1表示測量時有（0.6）2=0.36的概率自旋向上，有（0.8）2=0.64的概率自旋向下（為什么是平方大家后面會明白）,。

這樣,，不管力學(xué)量是取分立值（自旋）還是連續(xù)值（位置）,，我們都能描述疊加態(tài)了。你取幾個值,，我就弄幾個變量,，你處于什么樣的疊加態(tài)，我就相應(yīng)調(diào)節(jié)變量前的系數(shù),，再把它們加起來就完了,。

而且，當(dāng)你把銀原子的疊加態(tài)寫成S=S0+S1這樣時,，如果S0前面的系數(shù)為0,，那就是S=0×S0+S1=S1，這不就是自旋向下的本征態(tài)么,？同理,，讓S1的系數(shù)為0也可以表示自旋向上的本征態(tài)。這樣,，疊加態(tài)和本征態(tài)就都可以用S=S0+S1的形式來描述,，調(diào)節(jié)S0、S1的系數(shù)就可以表示不同權(quán)重的疊加態(tài),，本征態(tài)就可以看成一種特殊的（除它以外系數(shù)都為0）疊加態(tài),。

所以，用S=S0+S1描述銀原子的自旋狀態(tài)是一個不錯的選擇,。

那么,，當(dāng)我們把系統(tǒng)狀態(tài)寫成S=S0+S1的時候，我們這是整了一個啥玩意出來了呢,？有沒有覺得有點(diǎn)眼熟,？如果不夠眼熟，那我把S0換成x,，把S1換成y,，這樣S就可以寫成S=x+y，這樣總眼熟了吧,？

沒錯,，這就是一個矢量啊,！

你看,，如果我們把S0和S1看成橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),，那它們就構(gòu)成了一個平面，S=S0+S1就代表這個二維平面里的一個矢量,。因?yàn)镾0,、S1的系數(shù)都是1,，所以S=S0+S1就代表了從坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)到(1,1)的一個矢量，記作S=(1,1),。

也就是說,，如果我們想在量子力學(xué)里描述系統(tǒng)的狀態(tài)，用一個數(shù)是不行的,，得用一個矢量,。這個用來描述系統(tǒng)狀態(tài)的矢量，就被稱為態(tài)矢量,。

態(tài)矢量確定了,，每個基矢的系數(shù)（坐標(biāo)）就確定了，我們就能知道銀原子是處于本征態(tài)還是疊加態(tài),，知道測量時有多大概率自旋向上,，多大概率自旋向下。雖然不知道結(jié)果到底是自旋向上還是向下,，但概率知道了,，我們還能算出它的平均值。

也就是說,，態(tài)矢量確定了,，雖然自旋的具體取值不確定，但它的平均值卻是確定的,。我們正是在這個意義上說態(tài)矢量完全描述了系統(tǒng)的狀態(tài),，這跟經(jīng)典力學(xué)完全不一樣。

但大家也清楚,，自旋是粒子的內(nèi)稟性質(zhì),，就像質(zhì)量、電荷一樣,，跟粒子在時空中的位置,、速度無關(guān)。所以,，當(dāng)我們只考慮自旋時,，粒子的自旋態(tài)空間其實(shí)是一種內(nèi)部空間。如果我們不考慮自旋,，而是考慮粒子在外部時空中的運(yùn)動情況,，那就要看它的位置和動量了。

銀原子的自旋可以取兩個值,，我們用S=S0+S1表示它的狀態(tài),，這是一個二維的態(tài)矢量，對應(yīng)的自旋態(tài)空間是一個二維空間。而位置可以取無窮多個值,，我們就要用S=S0+S1+S2+……表示它的狀態(tài),，這是一個無窮維的態(tài)矢量，對應(yīng)的態(tài)空間一個無窮維空間,。

如果你既想描述粒子的自旋,，又想描述它在外部時空的情況，那就得把這兩個態(tài)空間“加”起來,，在數(shù)學(xué)上就是對它們做一個張量積,。

由此可見，大家常見的矢量都在二維,、三維歐式空間里,，而態(tài)矢量卻可以在無窮維空間。另外,，量子力學(xué)里的態(tài)矢量不再局限于實(shí)數(shù),，而把范圍擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)。這部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容我不打算多講,，大家只要知道態(tài)矢量所在的空間并不是歐式空間,，而是一個范圍更大的空間就行了。這個空間,，我們稱之為希爾伯特空間,，態(tài)矢量是希爾伯特空間中的矢量。

也就是說,，在量子力學(xué)里,，我們用希爾伯特空間中的矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)，這是我們第一個非常重要的結(jié)論,。

13力學(xué)量

知道如何描述系統(tǒng)狀是一個巨大的進(jìn)步,，但這里有個問題：描述系統(tǒng)狀態(tài)的是希爾伯特空間中的矢量，而它是無法直接觀測的,。你想想,，態(tài)矢量是二維、三維,、N維,，甚至無窮維空間中的一個矢量，你能直接觀測么,？

不能,！

在經(jīng)典力學(xué)里，我們用位置和動量描述系統(tǒng)的狀態(tài),，而位置和動量本身就可以直接觀測,。到了量子力學(xué),，描述系統(tǒng)狀態(tài)的是希爾伯特空間中的態(tài)矢量，而它無法直接觀測,，可以直接觀測的是自旋,、位置、動量這些力學(xué)量,。

所以，如果你的理論不想跟實(shí)際脫節(jié),，那就得想辦法描述這些力學(xué)量,。我們用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)，那自旋,、位置,、動量這些力學(xué)量要如何描述呢？

我們知道,，測量自旋的結(jié)果跟系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)：銀原子處于本征態(tài),，測量結(jié)果是對應(yīng)的本征值；銀原子處于疊加態(tài),，測量結(jié)果就有可能是自旋向上,，也有可能自旋向下。如果態(tài)矢量確定了,，每個基矢前面的系數(shù)（坐標(biāo)）就確定了,。系數(shù)確定了，測量時是各個結(jié)果的概率也就確定了,。

如果概率分布確定了,，力學(xué)量的平均值也就確定了。而平均值,，是可以直接觀測的,，這一點(diǎn)很重要。

也就是說,，雖然態(tài)矢量無法直接觀測,，力學(xué)量在一般情況下也沒有確定值。但是,，如果態(tài)矢量確定了,，力學(xué)量的平均值就確定了,。態(tài)矢量無法直接觀測,，但力學(xué)量的平均值可以直接觀測啊，我們可以從這里入手,。

由于自旋沒有經(jīng)典對應(yīng),，不方便理解,，我們來看看大家更熟悉的位置,。

假設(shè)電子只能處于x=1和x=2兩個位置，跟自旋類似,，如果電子處于位置疊加態(tài),，測量位置時就有一定概率發(fā)現(xiàn)電子處于x=1處，有一定概率發(fā)現(xiàn)電子處于x=2處,。如果兩種概率都是50%,，那位置的平均值就是x=1×0.5+2×0.5=1.5；如果處于x=1的概率是70%,，處于x=2的概率是30%,，那位置的平均值就是x=1×0.7+2×0.3=1.3。

可見,，態(tài)矢量確定后,，概率分布也就確定了，雖然每個電子的位置依然不確定（可能在x=1,，也可能在x=2）,，但位置的平均值卻確定了（兩個態(tài)矢量分別對應(yīng)x=1.5和x=1.3）。

這里要說明一下,，經(jīng)典力學(xué)里測量平均值的方法,，通常是測一次記下一個數(shù)，再測一次,，再記下一個數(shù),，最后求平均。但在量子力學(xué)里卻不能這么干,，因?yàn)?/span>量子力學(xué)里的測量會改變系統(tǒng)的狀態(tài),。

電子處于某個疊加態(tài)，你測一下位置,，它就會變成某個位置本征態(tài),，你再去測量這個處于位置本征態(tài)的電子，測量結(jié)果就會一直是這個本征值,，這顯然就不對了,。

所以，如果你想測量處于疊加態(tài)電子的位置平均值,，就得提前準(zhǔn)備許多和它狀態(tài)完全相同的電子,，然后分別測量每一個電子的位置。測量一個就記一個位置（注意,，每個電子只測一次）,，然后測下一個電子，最后對所有的位置求平均,，這樣才能測出這個狀態(tài)下的位置平均值,。

于是,，我們就清楚了：如果系統(tǒng)狀態(tài)確定了，雖然力學(xué)量不一定有確定值,，但力學(xué)量的平均值卻一定是確定的,。而平均值又可以直接觀測，這樣,，我們就在系統(tǒng)狀態(tài)和可觀測量之間架起了一座橋梁,。

在量子力學(xué)里，系統(tǒng)狀態(tài)是用希爾伯特空間中的矢量來描述的?，F(xiàn)在我們想求這個狀態(tài)下的力學(xué)量平均值,，就必然要對這個矢量進(jìn)行一些操作，讓它產(chǎn)生一個實(shí)數(shù)（平均值）,。那么，能對矢量進(jìn)行操作,、變換的東西是什么呢,？

是算符！

算符可以作用在一個矢量上,，把它變成另一個矢量,。比如，我們把一個矢量平移到另一個地方,，完成這個操作的就叫平移算符,；把一個矢量旋轉(zhuǎn)一下變成另一個矢量，就叫旋轉(zhuǎn)算符,；把一個矢量投影到某個坐標(biāo)軸,，就叫投影算符。

也就是說,，如果我們測出了電子在某個狀態(tài)的位置平均值,，現(xiàn)在你要用算符對描述這個狀態(tài)的態(tài)矢量進(jìn)行一番操作，讓態(tài)矢量“吐”一個實(shí)數(shù)出來（當(dāng)然,，算符直接作用在矢量上只能得到另一個矢量,，想得到一個數(shù)還得借助它的對偶矢量，這里我們不細(xì)說）,，并且讓這個實(shí)數(shù)就等于我們測量得到的位置平均值,。

這樣的話，看起來就是有一個算符作用在態(tài)矢量上,，經(jīng)過一番操作后得到了位置的平均值,。在這個意義上，我們說這個算符描述了位置這個力學(xué)量,，叫它一聲位置算符不為過吧,？

在數(shù)學(xué)上,，算符可以用矩陣來表示，一個矢量跟一個矩陣相乘,，其結(jié)果還可以是一個矢量,，這就相當(dāng)于對矢量進(jìn)行了一個變換。在各種變換里,，有一種變換很特殊：它對某個矢量進(jìn)行變換的結(jié)果,，就好像是把原矢量拉長或縮短了一定倍數(shù)。

當(dāng)然,，矩陣的這種變換只對一些特殊的矢量成立，我們把這些特殊矢量叫做這個矩陣的本征矢量（特征矢量）,，這個拉長或縮短的倍數(shù)就叫本征值（特征值）,。

名字都取成這樣了，相信大家不難看出它跟量子力學(xué)的關(guān)系,。在量子力學(xué)里,，我們用矢量描述系統(tǒng)狀態(tài),，用算符描述力學(xué)量,。而算符又可以用矩陣來描述,，于是，對算符A來說,，也可以出現(xiàn)當(dāng)它作用在某個態(tài)矢量|Ψ>上時,，就好像把這個態(tài)矢量|Ψ>拉長了a倍。

寫成方程就是：A|Ψ>=a|Ψ>,，這就叫算符A的本征方程,，|Ψ>是本征態(tài)，a就是對應(yīng)的本征值,。

需要注意的是,，這個方程左邊的A是一個算符，用矩陣來描述,，右邊的a是一個數(shù),。所以，你可千萬別把方程左右兩邊的|Ψ>給約去了,，然后得到A=a（很多初學(xué)者容易鬧這樣的笑話）,。

于是,，數(shù)學(xué)和物理就對上了：我們用矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)，用算符描述力學(xué)量,。算符可以寫成矩陣的形式,，而矩陣有對應(yīng)的本征矢量和本征值，它們就對應(yīng)了本征態(tài)以及測量力學(xué)量時可能出現(xiàn)的結(jié)果,。

這樣的話,，你想知道力學(xué)量可以取哪些值，解對應(yīng)算符A的本征方程A|Ψ>=a|Ψ>就行了,。你想知道力學(xué)量在某個狀態(tài)下的平均值是多少,，用算符A作用在對應(yīng)的態(tài)矢量上，經(jīng)過一些操作也能算出來,。

而且,，不同算符之間一般不能交換次序，也就是我們前面說的不對易,，這是量子力學(xué)非常重要的一個特點(diǎn),。

這樣，只要知道了算符的情況,，就能知道對應(yīng)力學(xué)量的情況。于是,，我們就得到了第二個極為重要的結(jié)論：在量子力學(xué)里,，我們用算符描述力學(xué)量，而且不同算符之間一般不能交換次序,。

由于力學(xué)量和測量密切相關(guān),，因此，第三個極為重要的結(jié)論是關(guān)于測量的：我們測量一個力學(xué)量,，測量結(jié)果只可能是對應(yīng)力學(xué)量算符的本征值之一,。

這個結(jié)論幾乎不用作過多說明，因?yàn)槲覀円恢本褪沁@么干的,。我們早就知道測量銀原子的自旋會讓系統(tǒng)從疊加態(tài)變成某個本征態(tài),，測量結(jié)果就是對應(yīng)的本征值。現(xiàn)在,，我們只不過是知道了,，原來這些本征態(tài)和本征值是跟一個算符對應(yīng)起來的。

在斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)里,，自旋對應(yīng)的算符是泡利矩陣,，解泡利矩陣的本征方程就能得到兩個本征矢量和兩個本征值，分別對應(yīng)自旋向上和自旋向下,。去測量銀原子的自旋,，結(jié)果也只能是泡利矩陣的兩個本征值之一,。

當(dāng)然，由于測量結(jié)果必須是實(shí)數(shù),，這對算符會有一定的要求（必須是厄米算符）,，具體概率也都可以算，這些就不細(xì)說了,。

這樣,，力學(xué)量問題就圓滿解決了。

14靜態(tài)的圖像

此時,，如果這里有個電子,，我們就能知道如何描述電子的狀態(tài)，知道如何描述它的力學(xué)量,，也知道力學(xué)量可以取哪些值,，對應(yīng)的概率是多少，平均值又是多少,，我們知道了電子此刻的一切,。

如果你是一位畫師，你可以把電子此刻的物理圖像畫下來,，但是,，也僅僅是畫下此刻的一幀圖像。因?yàn)槟悴⒉恢离娮釉谙乱豢痰臓顟B(tài),，于是就不知道下一刻的概率分布,，不知道下一刻的力學(xué)量平均值，也就沒法畫出下一刻的物理圖像,。

所以,，我們現(xiàn)在描繪的是一幅靜態(tài)的量子圖像，它不能動,。如果我們想讓靜態(tài)的量子圖像動起來,，想描繪運(yùn)動變化的量子世界，就得知道系統(tǒng)下一刻會處于什么狀態(tài),。

也就是說,，我們必須知道系統(tǒng)狀態(tài)是如何隨時間變化的,，知道如何根據(jù)系統(tǒng)此刻的狀態(tài)求出它下一刻的狀態(tài)，這就是量子動力學(xué)的問題,。

那么,，如何找出系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律呢？能從上面的結(jié)論推出來么？不能,，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在只知道要用矢量描述系統(tǒng)狀態(tài),，并不知道它如何隨時間變化。

還是老規(guī)矩,，想知道量子力學(xué)里的情況,，我們先去經(jīng)典力學(xué)里看看,。

在牛頓力學(xué)里,，知道了物體的位置和速度,，就知道了物體的狀態(tài)。如果你還想知道物體下一刻的狀態(tài),，也就是想知道物體下一刻的位置和速度，要怎么做呢,？

很簡單,，學(xué)過中學(xué)物理的朋友都清楚（不清楚的可以先看看《什么是高中物理？》）：想知道物體在下一刻的位置和速度,，就得先找到物體受到的合外力F,，然后利用牛頓第二定律F=ma算出物體的加速度a。有了加速度,，我們就能根據(jù)物體此刻的速度算出它下一刻的速度，進(jìn)而求出下一刻的位置,。于是,，我們就知道了物體在下一刻的狀態(tài)。

也就是說,，我們之所以能求出物體下一刻的狀態(tài),，關(guān)鍵就在于牛頓第二定律F=ma。正是因?yàn)橛辛薋=ma,，我們才能根據(jù)物體此刻的位置和速度求出它下一刻的位置和速度,，才能知道系統(tǒng)的狀態(tài)會如何隨時間變化，才能描繪出物體的運(yùn)動圖像,。

同理,，如果我們想讓量子圖像也動起來，想知道量子力學(xué)里的系統(tǒng)狀態(tài)如何隨時間變化,，我們也要找一個類似牛頓第二定律F=ma這樣的方程,。

那牛頓第二定律是怎么來的,？它是從牛頓力學(xué)的其它結(jié)論推出來的么？

當(dāng)然不是,！每個理論都有一些最基本的假設(shè),，它們是這個體系里最底層的東西，是推不出來的（當(dāng)然,，如果以后發(fā)現(xiàn)了更深刻的理論,，有了更基本的假設(shè)，能從那里把這些假設(shè)推出來,，那就是另外一回事了）,，它們的正確性只能由實(shí)驗(yàn)來保證。很顯然,，牛頓第二定律F=ma就是牛頓力學(xué)的一個基本假設(shè),。

同樣的，量子力學(xué)里描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的方程也應(yīng)該是一個基本假設(shè),，它也沒法從量子力學(xué)的其它結(jié)論里推出來,，它的正確性也只能由實(shí)驗(yàn)來保證。

1925年,，在白雪皚皚的阿爾卑斯山,，在各種新思想的刺激下，在一位神秘女子的陪伴下,，有個人得到了這個描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的方程,，得到了這個相當(dāng)于牛頓力學(xué)里F=ma的方程，這就是大名鼎鼎的薛定諤方程,。寫出這個方程的大佬,，自然就是薛定諤。

15薛定諤的工作

相信大家都聽過薛定諤方程,，各種科普書也會提到它,。但是，大部分人都只知道薛定諤方程很重要,，卻不知道它為什么重要,，也不知道它到底在講什么。

現(xiàn)在大家心里有數(shù)了：薛定諤方程是描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的,，它能讓靜態(tài)的量子圖像動起來,，就像牛頓力學(xué)里的F=ma一樣，重要性不言而喻,。

那么,，薛定諤方程是如何描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化的呢？

我們知道系統(tǒng)狀態(tài)用態(tài)矢量來描述的（第一個結(jié)論），我們采用狄拉克的記號,，把態(tài)矢量記作|Ψ>,。這樣，你想知道系統(tǒng)狀態(tài)如何隨時間變化,，就是想知道態(tài)矢量|Ψ>在不同時間t會取什么樣的值,，這就是一個關(guān)于時間t的函數(shù)，我們記作|Ψ(t)>,。

t取不同的時間,，|Ψ(t)>就會有不同的取值，這不就是態(tài)矢量|Ψ>隨時間變化的規(guī)律么,？所以,，薛定諤方程想描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化，就是要說明|Ψ(t)>應(yīng)該遵守什么樣的規(guī)律,。那么,，它會遵守什么樣的規(guī)律呢？

由于薛定諤方程是量子力學(xué)的基本假設(shè),，無法從其它結(jié)論里推出來,，那就只能靠“猜”了。當(dāng)然,，這不是亂猜,，而是要基于事實(shí)分析,，利用縝密的邏輯和合理的想象提出一些假設(shè),，然后用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。

薛定諤當(dāng)年主要是看到了“光學(xué)和力學(xué)之間的相似性”,，進(jìn)而把光學(xué)的一些結(jié)論推廣到了力學(xué),，最終得到了薛定諤方程。

他是怎么做的呢,？

首先，薛定諤注意到幾何光學(xué)是波動光學(xué)的短波長極限,。這個好理解,，當(dāng)光的波長越來越短時，光波看起來就越來越像光線,，波動光學(xué)自然就慢慢趨近于幾何光學(xué),。

然后，薛定諤注意到,，作為幾何光學(xué)基本方程的程函方程跟分析力學(xué)里的哈密頓-雅克比方程非常相似,。于是，薛定諤就想：如果幾何光學(xué)是波動光學(xué)的短波長極限,，那么,，跟幾何光學(xué)相似的分析力學(xué)會不會也是某種波動力學(xué)的極限？

也就是說,，有沒有可能說我們現(xiàn)在的力學(xué)只是“幾何力學(xué)”,，它只是某種波動力學(xué)的極限（就像幾何光學(xué)只是波動光學(xué)的極限那樣）？并且,，這種波動力學(xué)里某個方程的短波長極限,，剛好就是“幾何力學(xué)”里的哈密頓-雅克比方程？

答案我們都知道,，這種波動力學(xué)就是量子力學(xué),，薛定諤方程的短波長極限就是哈密頓-雅克比方程。

當(dāng)然,，這不是什么巧合,，并不是說薛定諤無意中發(fā)現(xiàn)了一個方程，然后這個方程的極限剛好就是哈密頓-雅克比方程,。而是反過來：薛定諤就是要找一個極限是哈密頓-雅克比方程的東西,，然后才找到了薛定諤方程，而這種波動的力學(xué)就是量子力學(xué),。

按理說,，這種想法是非常自然的。物理學(xué)家只要注意到了程函方程與哈密頓-雅克比方程的相似性,，知道幾何光學(xué)和波動光學(xué)的關(guān)系,，考慮是否存在一種波動力學(xué)就是很自然的一件事。那么,，為什么直到薛定諤才開始認(rèn)真考慮這個事呢,？

其實(shí)，哈密頓本人就注意到了光學(xué)和力學(xué)之間的這種相似性,，因此也有人說哈密頓距離發(fā)現(xiàn)薛定諤方程只差臨門一腳,。

但是吧，物理畢竟不是數(shù)學(xué),，它是要對現(xiàn)實(shí)負(fù)責(zé)的,，并不是說邏輯上成立東西現(xiàn)實(shí)中就一定存在,。在當(dāng)時，光的波動性已經(jīng)取得了廣泛的共識,，但誰會認(rèn)為力學(xué),，認(rèn)為石頭、蘋果也具有波動性,？而且,，當(dāng)時經(jīng)典力學(xué)也運(yùn)行得非常好，人們對它信心十足,，誰會跑去倒騰什么波動的力學(xué),？

然而，到了薛定諤這會兒,，情況就完全不一樣了,。經(jīng)典力學(xué)已經(jīng)受到了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，量子革命正在如火如荼的進(jìn)行著,，德布羅意也提出了革命性的物質(zhì)波思想,。這時候，考慮一般物體的波動性,，考慮是否存在一種波動力學(xué),，使得現(xiàn)有的力學(xué)只是波動力學(xué)的極限就有了非常現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ),。

于是,，薛定諤就開始思考，如果現(xiàn)在的力學(xué)只是某種波動力學(xué)的極限,，那現(xiàn)在的哈密頓-雅克比方程會是哪個波動方程的極限呢,？

答案大家都知道，它就是大名鼎鼎的薛定諤方程,。也就是說,，如果我們讓薛定諤方程取短波長極限，也就是讓普朗克常數(shù)h趨近于0,，它就會回到分析力學(xué)里的哈密頓-雅克比方程,。

所以，如果你想了解薛定諤方程,，最好先了解一下分析力學(xué),。

16薛定諤方程

當(dāng)然，這篇文章是科普量子力學(xué)的,，這里也只能非常簡單地講一點(diǎn)分析力學(xué),，讓大家知道為什么薛定諤方程會寫成這樣就行了。至于分析力學(xué)的具體內(nèi)容,，以后再說,，怕錯過的盯著我的公眾號就行。

簡單來說,，分析力學(xué)是一套跟牛頓力學(xué)完全等價的力學(xué)體系,，它并沒有什么新東西，只是描述方式跟牛頓力學(xué)不太一樣,。

牛頓力學(xué)的核心是力,，我們分析物體的運(yùn)動時要先受力分析，然后利用牛頓第二定律F=ma計(jì)算物體的運(yùn)動情況,；分析力學(xué)的核心是能量,，我們不需要對物體進(jìn)行復(fù)雜的受力分析，只要選擇合適的廣義坐標(biāo),，找到系統(tǒng)的拉格朗日量L或哈密頓量H（這倆知道一個就能求出另一個）,，代入拉格朗日方程或哈密頓方程就能求出物體的運(yùn)動情況。

因?yàn)榱κ?/span>矢量,，分析時要考慮大小和方向,，而能量是標(biāo)量，只考慮大小就行了,。所以,，在環(huán)境比較復(fù)雜，約束條件比較多的時候,，從能量入手的分析力學(xué)往往會簡單很多。

當(dāng)然，如果分析力學(xué)僅僅是一個更好用的牛頓力學(xué),，一個處理復(fù)雜問題更加簡單的牛頓力學(xué),，我們似乎也沒必要花很大精力去研究它。分析力學(xué)最大的優(yōu)點(diǎn),，是它處理問題的這套方法可以很方便地推廣到經(jīng)典力學(xué)以外,，不管是電磁場還是量子力學(xué)都可以這么處理，而牛頓力學(xué)卻不行,。這是拉格朗日,、哈密頓等分析力學(xué)創(chuàng)始人們始料未及的。

也就是說,，牛頓力學(xué)處理問題的那一套方法沒法直接搬到量子力學(xué),，我們在量子力學(xué)里也不會對物體進(jìn)行受力分析，而是要用分析力學(xué)的那一套,。在分析力學(xué)里,，只要知道了系統(tǒng)的哈密頓量H，把它代入哈密頓方程就能求出系統(tǒng)的運(yùn)動情況,，量子力學(xué)也是這樣,。

也就是說,，在量子力學(xué)里，如果我們知道了系統(tǒng)的哈密頓量,，把它代入一個方程,，就能知道系統(tǒng)的狀態(tài)會如何變化。

在一般情況下,，系統(tǒng)的哈密頓量H在數(shù)值上等于動能加勢能,，也就是系統(tǒng)的總能量。因?yàn)槟芰恳彩且粋€力學(xué)量,，量子力學(xué)用算符描述力學(xué)量,，所以，哈密頓量H進(jìn)入量子力學(xué)之后也要入鄉(xiāng)隨俗地變成哈密頓算符H,。

而我們又知道,，在量子力學(xué)里描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化|Ψ(t)>的正是薛定諤方程。因此,，如果把哈密頓算符H代入某個方程就能知道系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化情況,，那這個方程自然就是薛定諤方程。

所以,，薛定諤方程就是這么一個東西：你給出系統(tǒng)的哈密頓算符H(t),，把它代入薛定諤方程，求解方程就能得到系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化|Ψ(t)>,。

具體形式如下：

可以看到,，薛定諤方程的主體就是哈密頓算符H(t)和系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化|Ψ(t)>的一個關(guān)系，i是虛數(shù)單位,，?是約化普朗克常數(shù)（?=h/2π）,，讀作h bar。這是一個微分方程,，因?yàn)樗粌H包含了|Ψ(t)>,，還包含了|Ψ(t)>對時間t的求導(dǎo)（d/dt）。

知道了系統(tǒng)的哈密頓算符H(t),，我們就能通過求解薛定諤方程把描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的|Ψ(t)>求出來,。知道了系統(tǒng)的狀態(tài)，就知道了概率分布,，知道了各種力學(xué)量的平均值,，也知道了測量時會發(fā)生的情況，然后啥都知道了,，這是分析許多量子力學(xué)問題的一個大致思路,。

于是，我們就有了第四個極為重要的結(jié)論：系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化|Ψ(t)>遵守薛定諤方程,。有了它,，靜態(tài)的量子圖像就能動起來了,。

17基本框架

至此，我們前前后后總結(jié)了四條非常重要的結(jié)論：

第一,，用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài),；

第二，用算符描述力學(xué)量,，而且不同算符之間一般不能交換次序；

第三,，測量一個力學(xué)量,，其結(jié)果是該力學(xué)量算符的本征值之一；

第四,，系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化遵守薛定諤方程,。

有了這些結(jié)論，量子力學(xué)的大致框架就搭建起來了,。

我們知道如何描述系統(tǒng)狀態(tài),，也知道系統(tǒng)狀態(tài)如何隨時間變化，就等于知道了系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài),。于是,，我們就能知道系統(tǒng)在任意時刻的概率分布、力學(xué)量平均值以及測量結(jié)果,，也就知道了系統(tǒng)的一切,。

很顯然，這四個結(jié)論并不是我隨便亂找的,，它們是量子力學(xué)五大基本假設(shè)中的前四個,，其重要性不言而喻。最后一個基本假設(shè)是所謂的全同性原理,，這里先不管,，以后涉及多粒子時再說。

這樣,，我們就從斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)出發(fā),，一步步把量子力學(xué)的基本框架搭起來了。

看到這里,，估計(jì)很多人心里在犯嘀咕：這怎么好像跟我預(yù)想中的量子力學(xué)不太一樣,？在我的印象里，量子力學(xué)不應(yīng)該是談不連續(xù),、不確定,，談黑體輻射、雙縫實(shí)驗(yàn),、薛定諤的貓的么,？你一直在這里談系統(tǒng)狀態(tài),，談態(tài)矢量和算符，這還是我印象中的量子力學(xué)么,？

當(dāng)然是,！

量子力學(xué)就是量子力學(xué)，我不可能編個其它東西來騙你,。我們現(xiàn)在做的,，就是把量子力學(xué)的基本框架搭了起來，至于你熟悉的那些東西,，都能從這里推出來,。學(xué)習(xí)量子力學(xué)不能只圖看個熱鬧，我們不僅要知道這些現(xiàn)象是怎么回事,，還要知道它們是怎么來的,。

接下來，我們就來看看它們是怎么從量子力學(xué)的基本框架里冒出來的,。

18一個電子

先來看個最簡單的例子：一個電子,。

在經(jīng)典力學(xué)里，一個電子就像一個小球,，你可以說它在哪,，速度是多少，它在任何時候都有確定的位置和動量,。你推它一下,，它的運(yùn)動狀態(tài)就會改變，如何變的,，接下來的位置和速度是多少都能計(jì)算出來。如果讓一堆電子通過雙縫,，經(jīng)典力學(xué)會覺得這就像是一堆子彈射過雙縫,，是斷然不會出現(xiàn)干涉條紋的。

到了量子力學(xué),，情況就不一樣了,。你不能再說這個電子在哪，因?yàn)?，?dāng)你說“電子在哪”的時候,，就暗含了此時的電子具有確定的位置。畢竟,，只有位置是確定的,，你才能說它在哪嘛。

而我們又知道，電子是否有確定的位置取決于它的狀態(tài)：處于位置本征態(tài)時,，電子的位置是確定的,，測量時有確定值，你可以說電子在哪,；處于位置疊加態(tài)時,，電子的位置不確定，測量時有一定概率處于各個位置的本征值,，這時候你說“電子在哪”就沒什么意義了,。

所以，我們不能把一些觀念想當(dāng)然地搬進(jìn)量子力學(xué),，有些觀念在經(jīng)典力學(xué)里沒問題,，但到量子力學(xué)就不對了。我們要慢慢養(yǎng)成從量子框架思考問題的習(xí)慣,，建立系統(tǒng)的量子觀念，逐步形成量子力學(xué)的思維方式,。

在量子力學(xué)的基本假設(shè)里,，我們用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)，用算符描述力學(xué)量,。電子的位置是否確定取決于它的狀態(tài),，那怎么看它的狀態(tài)呢？

在斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)里,，銀原子的自旋可以取兩個值,，對應(yīng)的狀態(tài)就有自旋向上本征態(tài)、自旋向下本征態(tài)以及它們的疊加態(tài),。而電子的位置可以取無窮多個值,，那對應(yīng)就有無窮多個位置本征態(tài)以及它們的疊加態(tài)，我們就要用無窮維空間中的態(tài)矢量來描述它,。

態(tài)矢量確定了,，電子處于位置本征態(tài)還是位置疊加態(tài)就確定了，測量位置時有沒有確定值也就知道了,。我們只能這樣談?wù)撾娮拥奈恢?，而不能像?jīng)典力學(xué)那樣直接說電子在哪。

位置談完了,，如果你還關(guān)心動量,，想知道電子的動量有沒有確定值，怎么辦,？一樣的,，想知道動量是否有確定值，我們就看系統(tǒng)是處于動量本征態(tài)還是動量疊加態(tài)，還是看態(tài)矢量,。

但這樣就有了一個問題：我們想看電子的位置是否確定，需要看態(tài)矢量是不是位置本征態(tài),；想看電子的動量是否確定,，要看態(tài)矢量是不是動量本征態(tài)。這里出現(xiàn)了兩個態(tài)矢量,，它們是什么關(guān)系？是同一個態(tài)矢量,，還是兩個不同的態(tài)矢量？

稍微想一下就知道：它們必須是同一個,！

態(tài)矢量是描述系統(tǒng)狀態(tài)的,，如果系統(tǒng)已經(jīng)處于某個狀態(tài)了,，態(tài)矢量就應(yīng)該確定了,。這時候，分析位置還是動量是你的自由,，并沒有影響系統(tǒng),，那描述系統(tǒng)狀態(tài)的態(tài)矢量自然就不會改變。

而且你看,，薛定諤方程里用|Ψ(t)>描述系統(tǒng)狀態(tài),，時間t確定了，|Ψ(t)>就確定了,。也就是說,，態(tài)矢量只跟時間t有關(guān)，跟你分析位置還是動量無關(guān),。

再說了,，電子的力學(xué)量可不止動量和位置，難道多一個力學(xué)量就要多一個態(tài)矢量出來,？沒這道理,。

因此，它們必須是同一個態(tài)矢量,！也就是說,，你想看電子的位置是否確定，要看這個態(tài)矢量是否處于位置本征態(tài)；你想看電子的動量是否確定,，還是要看這同一個態(tài)矢量是否處于動量本征態(tài),。

那問題就來了：如果它們是同一個態(tài)矢量，那分析位置和動量時的這種差別又是怎么來的呢,？

19表象

如果電子處于某個狀態(tài),，位置說態(tài)矢量處于本征態(tài)，測量位置時有確定值,；動量說不對,，態(tài)矢量明明處于疊加態(tài)，測量動量時沒有確定值,。位置說態(tài)矢量處于本征態(tài),，動量說態(tài)矢量處于疊加態(tài)，它們誰也不服誰,，都認(rèn)為自己是對的,，對方是錯的。

這讓我想起了盲人摸象的故事：一群盲人在摸一頭大象,，有人摸到了大象的身體,，說大象像一堵墻；有人摸到了大象的鼻子,，說大象像一條蟒蛇；有人摸到了大象的尾巴,，說大象像一根繩子,。盲人們爭吵了起來，誰也不服誰,，都覺得自己是對的,，其他人是錯的。

類似的,，這里只有一個態(tài)矢量,，從位置角度看，態(tài)矢量處于位置本征態(tài),；從動量角度看,，態(tài)矢量處于動量疊加態(tài)。他們都對,，只是看待態(tài)矢量的角度不同罷了,。

什么意思？

提到矢量,，很多人的第一反應(yīng)是一個箭頭,，這是一個很抽象的形象。

如果想把這個抽象的矢量具體化，想用一組具體的數(shù)字描述它,，就得先做一件事：建立一個坐標(biāo)系,。

坐標(biāo)系建好了，比如建了一個笛卡爾坐標(biāo)系,，我們就可以把抽象的矢量投影到坐標(biāo)系,，投影到各個坐標(biāo)軸的系數(shù)就是對應(yīng)的坐標(biāo)。然后,，我們就可以用諸如(1,2)這樣的具體數(shù)字表示原來的矢量,，抽象的矢量就被具體化了。

當(dāng)然,，你可以建立笛卡爾坐標(biāo)系,，自然也可以建立球坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系。坐標(biāo)系不同,，同一個矢量在坐標(biāo)軸的投影就不同,，對應(yīng)的坐標(biāo)也就不一樣。

態(tài)矢量也是矢量,，它當(dāng)然也可以被分解到不同的坐標(biāo)系里,。

在斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)里，我們用S0表示自旋向上本征態(tài),，用S1表示自旋向下本征態(tài),，然后用S=S0+S1表示它們的疊加態(tài)，調(diào)節(jié)S0和S1的系數(shù)就代表不同權(quán)重的疊加態(tài),。然后,，我們發(fā)現(xiàn)如果把S0當(dāng)作橫坐標(biāo)，把S1當(dāng)縱坐標(biāo),，銀原子的狀態(tài)就可以用二維空間中的一個態(tài)矢量來表示,。

同理，如果不考慮自旋,，而是考慮粒子在時空中的位置,，我們一樣可以用一個態(tài)矢量來描述它的狀態(tài)。

跟自旋不同,，粒子的位置一般可以取無窮多個值,，這樣它就有無窮多個位置本征態(tài)，我們就要用無窮多個本征矢量|a1>,，|a2>,，… ，|an>,，…來描述（本征態(tài)也是一種狀態(tài),，自然也要用矢量來描述）,。

在自旋那里，我們用代表自旋本征態(tài)的S0,、S1為坐標(biāo)軸構(gòu)建了一個二維坐標(biāo)系,；到了位置這，我們就要用代表位置本征態(tài)的無窮多個本征矢量|a1>,，|a2>,，… ，|an>,，…構(gòu)建一個無窮維坐標(biāo)系,，粒子的狀態(tài)就用這無窮維空間中的態(tài)矢量來描述。

也就是說,，雖然粒子只在三維空間中運(yùn)動,，但描述粒子狀態(tài)的態(tài)矢量卻不在三維空間，而是在無窮維空間,，這是很多初學(xué)者容易混淆的,。

那么，我們?nèi)绾尾拍艿玫轿恢玫?/span>本征矢量呢,？

前面講過了,，在量子力學(xué)里，我們用算符描述力學(xué)量（假設(shè)二）,，所以要用位置算符描述位置,。知道了位置算符A，求解它的本征方程A|Ψ>=a|Ψ>就能得到描述位置本征態(tài)的本征矢量|Ψ>,。我們再以這些本征矢量為基矢,，就能構(gòu)建一個位置相關(guān)的坐標(biāo)系。

把態(tài)矢量分解到這個坐標(biāo)系里,，如果態(tài)矢量跟坐標(biāo)軸重合,，也就是跟位置的某個本征矢量重合,，那就代表了位置本征態(tài),；如果態(tài)矢量不跟坐標(biāo)軸重合，那就代表了位置疊加態(tài),，相信這個不難理解,。

同理，我們也可以以動量算符的本征矢量為基矢構(gòu)建一個坐標(biāo)系,，然后把態(tài)矢量分解到這個動量相關(guān)的坐標(biāo)系里,。如果態(tài)矢量跟坐標(biāo)軸重合，也就是跟某個動量的本征矢量重合,，那就代表了動量本征態(tài),；如果態(tài)矢量跟坐標(biāo)軸不重合,，那就代表了動量疊加態(tài)。

很顯然,，我們用位置算符和動量算符構(gòu)建的是兩個不同的坐標(biāo)系,。當(dāng)態(tài)矢量在一個坐標(biāo)系里跟某個坐標(biāo)軸重合時，它在另一個坐標(biāo)系里完全可以跟坐標(biāo)軸不重合,。這樣,，一個態(tài)矢量就完全可以在位置那里是本征態(tài)，在動量這里是疊加態(tài),，并不矛盾,。

當(dāng)然，這里還有個小問題：在N維空間里,，一個力學(xué)量算符的本征矢量能否組成基矢,，從而構(gòu)建一個坐標(biāo)系？

一組矢量在Ｎ維空間里能否構(gòu)成基矢,，關(guān)鍵就要看它們是否有Ｎ個獨(dú)立的矢量,。比如，在三維空間里,，我們就要看是否存在三個獨(dú)立的矢量,，直觀地看就是這三個矢量是否共面。如果共面,，那不在這個面上的矢量就沒法由它們表示出來,，它們就不能被稱為基矢了。

對于這個問題,，雖然數(shù)學(xué)上有點(diǎn)麻煩,，但結(jié)果卻很簡單：那些有不同本征值的本征矢量都是相互正交的，就算有多個本征矢量對應(yīng)了同一個本征值（簡并）,，我們也總能找到一組基矢,。總之一句話：力學(xué)量算符對應(yīng)的本征矢量總能構(gòu)成空間中的一組基矢,，你可以放心地用它們?nèi)?gòu)建坐標(biāo)系,。

在量子力學(xué)里，選取這樣一組基矢就叫選取了一個表象,。因?yàn)槲覀冞x取的基矢是位置算符的本征矢量,，建立起來的表象就叫位置表象，或者叫坐標(biāo)表象,。如果選取的基矢是動量算符的本征矢量,，那建立起來的就是動量表象。

這樣的話,，之前的問題變成了：面對同一個態(tài)矢量,，我們既可以在位置表象里分解,，從位置角度看,，系統(tǒng)處于位置本征態(tài),；也可以在動量表象里分解,，從動量角度看,，系統(tǒng)處于動量疊加態(tài),，兩者并不矛盾,。

20玻恩規(guī)則

表象選好了,，我們就可以把抽象的態(tài)矢量投影到具體坐標(biāo)系里了,，然后用具體的坐標(biāo)來表示態(tài)矢量。而我們又知道,，態(tài)矢量是描述系統(tǒng)狀態(tài)的（假設(shè)一），那進(jìn)入具體表象后，態(tài)矢量的各個坐標(biāo)又有什么物理意義呢,？

在斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)里，為了描述銀原子的疊加態(tài),，我們用S0表示自旋向上本征態(tài),，用S1表示自旋向下本征態(tài)，然后用S=S0+S1表示疊加態(tài),。如果把S0看成橫軸，把S1看成縱軸，那矢量S的坐標(biāo)就是（1,1）。這時候,，如果我們?nèi)y量銀原子的自旋,，就會有50%的概率自旋向上,，50%的概率自旋向下,，概率一樣大。

如果我們修改一下系數(shù),，把疊加態(tài)寫成S=0.6S0+0.8S1,，對應(yīng)的坐標(biāo)就變成了（0.6,0.8）。這時候,，測量得到自旋向上的概率是（0.6）2=0.36,，得到自旋向下的概率是（0.8）2=0.64，兩個概率就不一樣了,。

也就是說,，當(dāng)我們以一個力學(xué)量算符的本征矢量為基矢構(gòu)建了一個坐標(biāo)系時，每個坐標(biāo)軸就對應(yīng)了一個本征態(tài),，態(tài)矢量投影到各個坐標(biāo)軸的系數(shù)（坐標(biāo)）的平方就代表了測量結(jié)果是這個本征態(tài)對應(yīng)本征值的概率,。

說起來有點(diǎn)繞,，其實(shí)想想也很簡單,。我們的坐標(biāo)系就是以力學(xué)量的本征矢量為基矢構(gòu)建的，態(tài)矢量在某個坐標(biāo)軸的投影越長（坐標(biāo)越大）,，自然就代表了它“含有”這個本征態(tài)的比例越高,，測量結(jié)果是這個本征態(tài)對應(yīng)本征值的概率自然就越大。如果態(tài)矢量全都投影在某個坐標(biāo)軸上,，在其它坐標(biāo)軸的投影為0,，那測量結(jié)果是這個本征態(tài)對應(yīng)本征值的概率自然就是100%。

態(tài)矢量的這種概率性解釋是玻恩最先提出來的,，因而也叫玻恩規(guī)則,，玻恩也因此獲得了1954年的諾貝爾獎。

通過玻恩規(guī)則,，我們就把態(tài)矢量的坐標(biāo)跟測量時得到對應(yīng)本征值的概率聯(lián)系起來了,。

21波函數(shù)

有了這些認(rèn)識，我們就能在具體表象下討論問題了,。

還是那個電子,，當(dāng)我們在位置表象下考慮問題時，我們其實(shí)是以電子的位置算符的本征矢量為基矢構(gòu)建了一個坐標(biāo)系,，再把描述電子狀態(tài)的態(tài)矢量投影到這個坐標(biāo)系里了,。

現(xiàn)在只考慮一維情況，也就是假設(shè)電子只在x方向運(yùn)動,。如果電子處于x=1的位置本征態(tài),，測量時就會在x=1這個位置發(fā)現(xiàn)它,。因?yàn)檫@是一個本征態(tài)，我們要用一個本征矢量來描述它,，而本征矢量又是坐標(biāo)系的基矢,，會對應(yīng)一根坐標(biāo)軸。所以,，x=1這個位置本征態(tài)就會對應(yīng)坐標(biāo)系里的一根坐標(biāo)軸,。

當(dāng)然，除了x=1,，電子的位置還可以在x=2,，x=2.5等無窮多個地方，同樣,，每個位置本征態(tài)都會對應(yīng)坐標(biāo)系里的一根坐標(biāo)軸,。這樣一來，這個坐標(biāo)系里就會有無窮多個坐標(biāo)軸,。

現(xiàn)在,，我們把態(tài)矢量投影到這個擁有無窮多個坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系里去，它在每一個坐標(biāo)軸上就會有一個投影系數(shù),，也就是態(tài)矢量在這個坐標(biāo)軸上的坐標(biāo),。

比如，x=1是一根坐標(biāo)軸,，代表了x=1的位置本征態(tài),。態(tài)矢量在這個坐標(biāo)軸上有一個投影系數(shù)，也就是它在這個軸上的坐標(biāo),，我們記作Ψ(1),。同理，態(tài)矢量在x=2,、x=2.5上也會有一個投影系數(shù)（坐標(biāo)）,，我們分別記作Ψ(2)、Ψ(2.5),，以此類推,。

而玻恩規(guī)則又告訴我們：態(tài)矢量在x=1這個坐標(biāo)軸上的投影系數(shù)的模的平方|Ψ(1)|2，就代表了測量時在x=1處發(fā)現(xiàn)電子的概率,。同理,，|Ψ(2)|2就代表了測量時在x=2處發(fā)現(xiàn)電子的概率。電子的位置x還可以取3,、3.5,、4.1等無窮多個地方，每個地方都有一個對應(yīng)的投影系數(shù)Ψ(x),，它的模的平方|Ψ(x)|2就代表了在這里發(fā)現(xiàn)電子的概率,。

也就是說,，給定一個電子可以取的位置x，我們都能找到一個與之對應(yīng)的投影系數(shù)Ψ(x),，使得|Ψ(x)|2就代表了在x處發(fā)現(xiàn)電子的概率,。

給定一個位置x，就有一個數(shù)Ψ(x)與之對應(yīng),，這種從數(shù)到數(shù)的映射是什么,？

是函數(shù)啊,！是我們初中就學(xué)了的函數(shù),。

所以，進(jìn)入位置表象以后,，態(tài)矢量在各個坐標(biāo)軸的投影系數(shù)（坐標(biāo)）就是一個關(guān)于位置x的函數(shù),，我們把它記作Ψ(x)。而這個函數(shù)的名字,，就是大名鼎鼎的波函數(shù),。

很多朋友對態(tài)矢量和波函數(shù)感到很迷糊，因?yàn)橛械牡胤秸f“用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)”,，有的地方又說“用波函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)”,，這樣他就暈了。明明一個是矢量,，一個是函數(shù),，看起來八竿子打不著,，為什么系統(tǒng)狀態(tài)好像既可以用態(tài)矢量來描述,，又可以用波函數(shù)來描述呢？

原因就在這了,，因?yàn)?/span>波函數(shù)是跟具體表象綁定在一起的,。我們只有選定了具體的表象，建立了具體的坐標(biāo)系,，把態(tài)矢量投影到具體坐標(biāo)系的系數(shù)才是波函數(shù),。

所以，我們說“用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)”沒錯,，說“用波函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)”也沒錯,。就好像我們既可以說矢量a，也可以把它分解到一個坐標(biāo)系,，說這是矢量（1,2）一樣,。

建立了位置表象，態(tài)矢量在這個具體坐標(biāo)系里的投影系數(shù)就是波函數(shù)Ψ(x),，波函數(shù)的模的平方|Ψ(x)|2就代表了在位置x發(fā)現(xiàn)這個電子的概率,。比如,，Ψ(1)=0.1就代表在x=1這個地方發(fā)現(xiàn)電子的概率是0.12=0.01，Ψ(2)=0.2就代表在x=2這個地方發(fā)現(xiàn)電子的概率是0.22=0.04等等,，這樣問題就具體化了,。

當(dāng)然，你能建立位置表象,，自然也能建立動量表象,。我們一樣可以以動量算符的本征矢量為基矢構(gòu)建一個坐標(biāo)系，然后把態(tài)矢量分解到這個坐標(biāo)系里,。這樣,，態(tài)矢量的投影系數(shù)就是動量表象下的波函數(shù)，它的模的平方就代表了測量時發(fā)現(xiàn)電子具有這個動量的概率,。

很顯然,，不同表象之間是等價的。你既可以在位置表象下討論問題,，也可以在動量表象下討論問題,，就像你既可以選擇笛卡爾坐標(biāo)系，也可以選擇球坐標(biāo)系一樣,。同一個態(tài)矢量,，它既可以對應(yīng)位置表象下的波函數(shù)，也可以對應(yīng)動量表象下的波函數(shù),，它們就差了一個傅里葉變換,。

因?yàn)榇蠹移匠ξ恢帽硐蠼佑|得比較多，所以有些人就誤以為量子力學(xué)就是位置表象下的量子力學(xué),。他不太清楚位置表象和動量表象的關(guān)系,，也不太清楚波函數(shù)和態(tài)矢量的區(qū)別，這樣就始終云里霧里的,。

好,，現(xiàn)在我們進(jìn)入位置表象。

22位置表象

進(jìn)入位置表象以后,，我們就可以用波函數(shù)代替原來的態(tài)矢量了,。而我們又知道，系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化是遵守薛定諤方程的（假設(shè)四）,，而原來的薛定諤方程是用態(tài)矢量|Ψ(t)>來描述系統(tǒng)狀態(tài)的：

所以,，現(xiàn)在我們可以用波函數(shù)代替原方程里的態(tài)矢量。

因?yàn)檠Χㄖ@方程描述的是系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化,，我們用波函數(shù)Ψ(x)描述系統(tǒng)狀態(tài),，那波函數(shù)隨時間t的變化自然就是Ψ(x,t)。因此,，在位置表象下,，我們就可以用波函數(shù)Ψ(x,t)代替原來的態(tài)矢量|Ψ(t)>,。

但這樣還不夠，為了讓薛定諤方程更加具體,，我們把哈密頓算符H(t)也一并展開。

關(guān)于哈密頓算符，我們前面講過一點(diǎn),。在這里,，大家只要知道：一般情況下，如果我們知道了系統(tǒng)的哈密頓算符，就知道了系統(tǒng)本身的情況（比如粒子的數(shù)量,、質(zhì)量以及它們之間的相互作用）以及系統(tǒng)所處的外部情況（比如粒子所在的外部電磁場）,?；旧?，知道了系統(tǒng)的哈密頓算符，我們就知道了系統(tǒng)的一切,。

在經(jīng)典力學(xué)里，如果系統(tǒng)與外界不存在能量交換,，系統(tǒng)的哈密頓量H一般可以寫成動能（P2/2m）加上勢能V,，在數(shù)值上就等于系統(tǒng)的總能量：

到了量子力學(xué),，力學(xué)量要用算符來描述,。那么,，跟能量緊密相連的哈密頓量自然也要算符化,，算符化的結(jié)果就是薛定諤方程里的哈密頓算符H。

很顯然,，如果系統(tǒng)的哈密頓量H可以寫成動能（P2/2m）加勢能V,，我們想把它算符化，就要把里面的力學(xué)量,，也就是動量P算符化,。在位置表象下，動量P算符化的結(jié)果是-i??/?x,。為什么長這樣我們先不管,，但大家要記住，這只是動量算符在位置表象下的形式,，它在其它表象下就不長這樣了,。

于是，我們就集齊了在位置表象下寫出薛定諤方程的全部條件：用波函數(shù)Ψ(x,t)代替態(tài)矢量|Ψ(t)>,，把哈密頓算符H展開成最常見的一種形式（P2/2m+V），并找到了位置表象下的動量算符（-i??/?x）,。

然后,，我們就可以在位置表象下重新寫出薛定諤方程了（只考慮一維情況）：

這個方程比原來的長一些，看起來也復(fù)雜了一些,。但是,，它只是用Ψ(x,t)代替了|Ψ(t)>,，并把哈密頓算符H(t)展開了而已。它們的核心區(qū)別是：原來的方程是一般的薛定諤方程,，沒有指定表象,，現(xiàn)在這個是位置表象下的薛定諤方程,。

大家看看這個方程,，i、?是常數(shù),，m是質(zhì)量,，如果勢能函數(shù)（一般簡稱為勢函數(shù)）V(x,t)確定了,，那未知量不就只剩下波函數(shù)Ψ(x,t)了么？一個方程一個未知量，求解方程就能得到波函數(shù)Ψ(x,t)了,。

也就是說，對位置表象下的薛定諤方程來說,，只要給定了勢函數(shù)V(x,t),，我們就能解出一個與之對應(yīng)的波函數(shù)Ψ(x,t)（能否求出精確解就是另外一回事了）。

知道了粒子的波函數(shù)Ψ(x,t),，我們就能知道在任何時間t,，任何位置x發(fā)現(xiàn)粒子的概率|Ψ(x,t)|2（玻恩規(guī)則）。概率分布確定了,，力學(xué)量平均值也就確定了,，我們正是在這個意義上說波函數(shù)完全描述了系統(tǒng)狀態(tài)。

在牛頓力學(xué)里,，給物體一個外力,，物體就會有一個加速度，它的狀態(tài)也會隨之變化,。到了量子力學(xué),，我們不再用“力”來描述外界的影響，而用勢（能）函數(shù),。比如,，牛頓力學(xué)談重力，我們這里就談重力勢能,；牛頓力學(xué)談彈力,，我們就談彈性勢能。

分析力學(xué)是一套以能量為核心的體系,，它跟以力為核心的牛頓力學(xué)不一樣,。量子力學(xué)沿用了分析力學(xué)的邏輯，所以,，在薛定諤方程里出現(xiàn)的是勢（能）函數(shù),，而不再是力,。

因此，只要我們確定了勢函數(shù),，就能通過求解薛定諤方程得到描述粒子狀態(tài)的波函數(shù),，進(jìn)而知道粒子的各種情況。事實(shí)上,，大家一開始學(xué)習(xí)量子力學(xué)時,，很大一部分工作就是求解各種勢函數(shù)下的薛定諤方程。

比如,，對于自由落體的粒子,，它的勢能就是重力勢能-mgx，所以勢函數(shù)V(x,t)就是-mgx（不含時間t）,。我們把-mgx代入薛定諤方程,，求解方程就能得到描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ(x,t)。然后,，我們就能知道1秒,、2秒、n秒在某個地方發(fā)現(xiàn)這個粒子的概率以及各種力學(xué)量的平均值,。

類似的,，對于一個簡諧振子，它的勢函數(shù)是V(x)=mω2x2/2(也不含時間t),。我們把它代入薛定諤方程,，解出波函數(shù)Ψ(x,t)以后，一樣可以得到它的各種信息,。

也就是說,，如果我們想了解一個量子系統(tǒng)，通常要先做兩件事情：第一,，找出系統(tǒng)的勢函數(shù)V(x,t),；第二，把勢函數(shù)代入薛定諤方程,，解方程求出描述系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)Ψ(x,t),。

一般來說，找勢函數(shù)是比較容易的,，但是,，薛定諤方程是一個偏微分方程，求解起來就沒那么容易了,。事實(shí)上,，我們只在極少數(shù)情況下能精確求解薛定諤方程，在更多時候,，我們只能采取一些近似方法,。

這樣,，相信大家對量子力學(xué)的基本框架，以及量子力學(xué)處理問題的一般方法就有了個大致了解,。然后,，我們就可以這樣去分析具體問題了,，得到的結(jié)論是什么樣就是什么樣,，大家平常熟悉的那些反常識、不可思議的量子力學(xué)特性都是這么來的,。不信的話,，我們來看一看。

23不連續(xù)的問題

首先,，我們來看一個大家都喜聞樂見的話題：不連續(xù)性。

很多量子力學(xué)科普都是從黑體輻射開始的,，并告訴你正是普朗克創(chuàng)造性地把能量的傳播看成一份一份,，而不是連續(xù)的，這才解決了黑體輻射難題,，從而開創(chuàng)了量子力學(xué),。

當(dāng)然，普朗克當(dāng)時只是把這當(dāng)作一個數(shù)學(xué)技巧,，并不真的認(rèn)為能量的傳播就是不連續(xù)的,，后面到了愛因斯坦才把這當(dāng)作物理現(xiàn)實(shí)。再往后,，玻爾通過假設(shè)電子的軌道是分立的,，無法連續(xù)吸收、釋放能量,，初步解決了氫原子問題,。

總之，如果單獨(dú)看量子力學(xué)的初期發(fā)展史,，會讓很多人會誤以為量子力學(xué)就是讓一切都分立化,，讓一切都不連續(xù)。似乎只要我們讓一些東西離散化,，那些經(jīng)典力學(xué)無法解釋的問題就會迎刃而解,，似乎不連續(xù)性就是量子力學(xué)的核心。

有的同學(xué)還會覺得,，想要建立量子力學(xué),，是不是只要讓經(jīng)典力學(xué)的東西都離散化，讓經(jīng)典力學(xué)全都變成不連續(xù)的就行了,？

但是,，你看看我們這里講的量子力學(xué),，通篇都在講什么用矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)，用算符描述力學(xué)量,，用薛定諤方程描述態(tài)矢量隨時間的變化等等,，壓根都沒提什么連續(xù)不連續(xù)。

有的同學(xué)走得更遠(yuǎn),，他覺得量子力學(xué)里到處都是不連續(xù),，那么，量子力學(xué)里的時間和空間肯定也是不連續(xù)的,。剛好,，他又知道普朗克時間和普朗克長度的概念，于是,，他就在腦海里把時間和空間切成了一塊一塊,，并認(rèn)為這就是量子力學(xué),，然后說自己輕而易舉地解決了芝諾悖論,。

不得不說，如果只是看了一點(diǎn)量子力學(xué)科普書,，然后基于它們做了一些自以為合理的延伸,，再加上點(diǎn)腦洞,，得出這樣的結(jié)論是非常正常的,。但是,，如果稍微系統(tǒng)地學(xué)了一點(diǎn)量子力學(xué)知識，就會知道這樣的推論是錯得離譜的,。

最簡單的證據(jù),，你看看薛定諤方程,，里面出現(xiàn)的是對時間t和空間x的求偏導(dǎo)?/?t,、?/?x。求導(dǎo)意味著什么,？求導(dǎo)意味著一定連續(xù)啊,，相信大家多多少少還記得“可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)”。

薛定諤方程里有對時間和空間的求偏導(dǎo)操作,，這明擺著就是在告訴我們：在量子力學(xué)里,，我們假設(shè)時間和空間是連續(xù)的，否則,，薛定諤方程就沒有意義了,。

確實(shí)，在有些量子引力理論,，比如圈量子引力里就認(rèn)為時間和空間是不連續(xù)的,，但這并不是我們常說的量子力學(xué)。它屬于量子引力的前沿探索領(lǐng)域,，理論本身都還存在許多問題,，也還沒得到人們的共識。

而大家常說的量子力學(xué),，它在理論上是非常成熟了的,，也經(jīng)歷了無數(shù)實(shí)驗(yàn)的考驗(yàn)，它假定時間和空間是連續(xù)的,。

也就是說,，雖然量子力學(xué)里可以有不連續(xù)的東西（比如能量），但時間,、空間這個背景舞臺卻依然是連續(xù)的。而且,，我們說能量可以不連續(xù),，而不是一定不連續(xù)，它在有的情況下依然可以連續(xù),。所以,，像“量子力學(xué)里一切都是不連續(xù)的”這種簡單粗暴的念頭，趁早打消了吧~

那么,，既然量子力學(xué)里的時間和空間都是連續(xù)的,，而能量卻可以不連續(xù)，那這種不連續(xù)是怎么產(chǎn)生的呢,？

24直覺和反直覺

到了這里,，我要跟大家強(qiáng)調(diào)一件非常重要的事：學(xué)習(xí)量子力學(xué)時，我們要以量子的眼光看待世界,，而不是以經(jīng)典的眼光看世界,。我們不要老覺得量子世界很奇怪，于是非要用自己更加熟悉的經(jīng)典圖像去類比,。量子力學(xué)是更加底層的東西,，需要被解釋的不是量子力學(xué),，而是經(jīng)典力學(xué),。

我們真正應(yīng)該問的,，不是量子力學(xué)為什么奇怪,，而是經(jīng)典力學(xué)的種種現(xiàn)象是如何從量子力學(xué)涌現(xiàn)出來的,？我們真正該奇怪的，不是量子世界為什么是這樣,，而是經(jīng)典世界為什么可以這樣,？

量子力學(xué)已經(jīng)誕生百年了,，面對這個極其成功并且已經(jīng)深刻改變了我們的思想和生活的理論,，按理說,，我們應(yīng)該覺得它已經(jīng)很自然了,。但事實(shí)卻與此截然相反：很多人一提到量子力學(xué),，第一反應(yīng)依然是反直覺,、反常識，覺得這個理論稀奇古怪,，難以琢磨,，不可理喻,！

但是，你想過沒有,，當(dāng)你在說量子力學(xué)反直覺的時候,，你到底在說什么？你能夠反直覺,，說明你之前已經(jīng)有了一個直覺,。你有了一套看待世界的直覺以后，又發(fā)現(xiàn)了某些不符合這些直覺的現(xiàn)象,，然后才會反直覺,。

對大部分人來說，這個直覺就是中學(xué)階段學(xué)習(xí)牛頓力學(xué)所形成的直覺,。

所以,，當(dāng)他們試圖把量子世界的種種現(xiàn)象納入原先的版圖，試圖用牛頓力學(xué)的思維和習(xí)慣理解量子現(xiàn)象時,，發(fā)現(xiàn)理解不了,，于是就覺得反直覺了。

這種事說來也正常,，如果一個人已經(jīng)積累了很多經(jīng)驗(yàn),，在遇到新事物以后，他自然會希望原來的經(jīng)驗(yàn)還能派上用場,。所以,，在量子力學(xué)初期，那些物理大師一樣希望能在經(jīng)典框架內(nèi)解決問題,，他們有意無意地保留了許多經(jīng)典物理的思維和概念,，經(jīng)歷了大約四分之一個世紀(jì)艱苦卓絕的探索后，才形成了比較系統(tǒng)的量子力學(xué),。

大概是量子力學(xué)前25年的歷史太過精彩,，各種人物輪番登場，各種思想對經(jīng)典物理發(fā)起了一輪又一輪的沖擊,。量子力學(xué)內(nèi)部又有矩陣力學(xué)和波動力學(xué)兩股力量,，后面還有玻爾和愛因斯坦的論戰(zhàn)，拿來說書再合適不過了,。

這就引發(fā)了一個比較嚴(yán)重的問題：現(xiàn)在市面上關(guān)于量子力學(xué)的科普書，絕大部分都是在講量子力學(xué)這前25年的歷史,。

他們從普朗克與黑體輻射開始,，講愛因斯坦和光電效應(yīng)，講玻爾和氫原子,，講海森堡和神秘的矩陣,，講德布羅意和物質(zhì)波,，講薛定諤的神秘女郎和薛定諤方程，再配合矩陣力學(xué)和波動力學(xué)的小論戰(zhàn),，以及玻爾和愛因斯坦的大論戰(zhàn),，一本精彩紛呈的量子力學(xué)科普書就完成了。

這樣寫的書,，當(dāng)成量子力學(xué)史來看是不錯的,。但是，如果你把它當(dāng)成量子力學(xué)科普書,，希望從這里學(xué)習(xí)量子力學(xué)的思維,，了解量子力學(xué)的基本框架和處理問題的一般方法，那就非常容易出問題了,。

原因也說了,，量子力學(xué)前25年的歷史本身就充斥著各種混亂，那些大師們在思考問題時也摻雜了各種經(jīng)典的東西,。從經(jīng)典視角看待量子力學(xué),，自然會各種反直覺，奇怪,，乃至詭異,。如果你想學(xué)習(xí)量子力學(xué)，沒有學(xué)到如何從量子視角看待世界,，反而學(xué)來了一堆反直覺和詭異,，這可不是什么好事。

比如這里的不連續(xù)性,，很多人看完量子力學(xué)前25年的歷史后,，對這個不連續(xù)性的印象極其深刻。于是,，他很容易認(rèn)為量子力學(xué)就是在說一切都不連續(xù),，時間不連續(xù)，空間也不連續(xù),，認(rèn)為把經(jīng)典力學(xué)全部離散化之后就能得到量子力學(xué),，然后開始各種胡思亂想。

25波粒二象性

類似的還有波粒二象性,，這也是一個很典型的試圖用經(jīng)典思維來解釋量子現(xiàn)象的東西,。我們在經(jīng)典力學(xué)里談到波，就會想到類似水波這樣的東西,；談到粒子,，就會想到類似豌豆那樣的東西。

但是,，在量子力學(xué)里,，如果你還說粒子性,，那也只是說它具有一定的質(zhì)量、電荷這種屬性,，一個電子的行為一點(diǎn)也不像一粒豌豆,，它根本沒有確定的軌道；你在量子力學(xué)里說波動性,，那也只是說它具有相干疊加性,，并不是說空間中真的有一個類似水波這樣的東西。

這樣導(dǎo)致的結(jié)果就是,，你看啊,，我們先是千方百計(jì)地讓讀者接受任何粒子都具有波粒二象性：一個電子既是波又是粒子，它有時候像波,，有時候像粒子,。當(dāng)我們用波動的方式去測量時，它表現(xiàn)得像波,；當(dāng)我們用粒子的方式去測量時,，它表現(xiàn)得像粒子。

等大家被這個攪得一團(tuán)亂,，卻只記住了“電子既是波又是粒子”之后,，你又跑來告訴讀者：不好意思，我們量子力學(xué)里說的這個波啊,，它不是經(jīng)典的波,；量子力學(xué)里說的粒子，它也不是經(jīng)典的粒子,。

讀者：……

你完全可以想象,，經(jīng)過這樣一輪科普之后，讀者能不迷糊么,？他能不覺得量子力學(xué)玄之又玄,，既反直覺又詭異么？如果腦洞再大一點(diǎn),，借著波粒二象性繼續(xù)發(fā)揮一下：電子既是波也是粒子,，既有陰也有陽，陰陽五行相生相克……這就很容易形成拳打薛定諤,，腳踩海森堡,，一記左勾拳撂倒玻爾和愛因斯坦的局面。

歸根結(jié)底,，波粒二象性是在量子力學(xué)發(fā)展初期,，在那個混沌階段，人們試圖用盡量多經(jīng)典概念描述量子力學(xué)的產(chǎn)物,。在量子力學(xué)還沒建立起來之前,，人們的確需要這樣一根拐杖，但是,，在量子力學(xué)已經(jīng)建立起來的一百多年后,，我們還有必要拄著一百年前的拐杖一步一拐嗎？

我們在文章里講用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài),，用算符描述力學(xué)量,，用薛定諤方程描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化，通篇都沒提什么波粒二象性,，也沒必要,。

在經(jīng)典力學(xué)里，波和粒子是兩種不能并存的實(shí)體,，區(qū)分它們是很自然的,。但到了量子力學(xué)，我們只要從量子力學(xué)的基本框架出發(fā),，就會發(fā)現(xiàn)粒子具有確定的質(zhì)量,、電荷，描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)具有相干疊加性都是非常自然的事情,，沒有必要刻意提讓人容易混淆的波粒二象性,。以后學(xué)了量子場論，大家會覺得這更加自然,。

當(dāng)然,，如果你執(zhí)意要用波粒二象性，也不是不可以,。但是,，你一定要清楚當(dāng)你在說波粒二象性時，你到底在說什么,，你要清楚量子力學(xué)里的波動性,、粒子性跟經(jīng)典力學(xué)里的有什么區(qū)別。

我們都知道量子力學(xué)是比經(jīng)典力學(xué)更加深刻的理論,，經(jīng)典力學(xué)能描述的東西量子力學(xué)能描述,，經(jīng)典力學(xué)不能描述的東西量子力學(xué)也能描述。既然這樣,，為什么我們學(xué)習(xí)量子力學(xué)的時候還要管經(jīng)典力學(xué)怎么看,？為什么我們還要做著“從經(jīng)典力學(xué)的視角去理解量子力學(xué)”這種既荒誕又無用還容易制造各種混亂的事情呢？

我們就不能堂堂正正地學(xué)習(xí)量子力學(xué),，用量子的方式思考量子問題么,？我們要做的不是“如何從經(jīng)典視角理解量子力學(xué)”，而是應(yīng)該反過來：如果我們更加底層的世界是量子的,，那經(jīng)典世界的種種現(xiàn)象是如何涌現(xiàn)出來的,？

如果量子力學(xué)的基本假設(shè)里沒有不連續(xù)性,，那我們常說的能量不連續(xù)是怎么冒出來的？如果不用波粒二象性這種半經(jīng)典半量子的東西,，我們要如何解釋單電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn),？量子世界充滿了各種概率和不確定性，為什么宏觀世界好像沒有,？如何從量子力學(xué)出發(fā),，給物理世界一個完整而又自洽的描述？等等,。

這是一系列非常宏大的話題,，我們留到后面慢慢談。在這篇文章里,，我們就先把量子力學(xué)的基本框架搭起來,，學(xué)習(xí)量子力學(xué)處理問題的一般方法，把這些都搞清楚了,，我們的頭腦就完成了一次從經(jīng)典到量子的格式化,。然后，你就會覺得量子力學(xué)很自然,，而不再反什么直覺,，因?yàn)?/span>現(xiàn)在的量子力學(xué)才是你的直覺。

所以,，我們要逐步嘗試用量子的方式思考量子力學(xué)問題,。我們不是已經(jīng)找到了量子力學(xué)的基本假設(shè)么？從這里出發(fā)就好了,。

那么,，我們就從這里出發(fā)，看看能量為什么可以是不連續(xù)的,？再次提醒,，這里說的是“可以”，而不是“一定”,。

26能量是否連續(xù),？

假設(shè)這里有個粒子，我們想看它的能量是否連續(xù),。首先,，我們要意識到：當(dāng)我們在說這句話的時候，我們到底在說什么,？

在經(jīng)典力學(xué)里,，一個粒子的動能跟它的速度有關(guān)，而粒子的速度可以連續(xù)取值，它可以是1,，可以是1.6,，也可以是其它任何一個實(shí)數(shù)，于是,，粒子的動能也可以連續(xù)取值,。同樣的，粒子的勢能也可以連續(xù)取值,，因?yàn)閯菽芤蕾囄恢茫恢每梢赃B續(xù)取值,。

所以,，在經(jīng)典力學(xué)里，粒子的動能和勢能都可以連續(xù)取值,，那粒子的總能量當(dāng)然可以連續(xù)取值，這沒什么好說的,。

到了量子力學(xué),，如果你還想通過粒子的速度去尋找動能，就會發(fā)現(xiàn)此路不通,。原因也很簡單,，經(jīng)典力學(xué)的速度是指單位時間內(nèi)的位移變化量,。粒子此刻在A點(diǎn),，一秒后到了B點(diǎn),，我們用AB兩點(diǎn)間的距離除以時間，就能得到速度的大小,，進(jìn)而得到動能,。

但是,，我們在量子力學(xué)里還能說粒子此刻在A點(diǎn)么,？

不能啊,！只有當(dāng)粒子處于位置A的本征態(tài)時,，我們才能說粒子一定在A點(diǎn)。如果粒子處于位置疊加態(tài)，那測量時就有一定的概率在A點(diǎn),，有一定的概率在B點(diǎn),、C點(diǎn)等等。因此,，粒子在一般情況下并沒有確定的位置,，那你就不能說它此刻在A點(diǎn)。同理,，你也沒理由說它下一秒就一定在B點(diǎn),。

位置都不確定，那如何確定粒子的速度呢,？

所以,，我們不能像經(jīng)典力學(xué)那樣談?wù)摿Ｗ拥?/span>動能，也沒法像經(jīng)典力學(xué)那樣談?wù)?/span>能量的連續(xù)性,。我們必須丟掉經(jīng)典力學(xué)的經(jīng)驗(yàn),，直接從量子力學(xué)的框架出發(fā)考慮問題。

我們知道,，量子力學(xué)里是用算符描述力學(xué)量的（假設(shè)二）,。能量也是力學(xué)量，那自然也要用算符來描述,，用什么算符呢,？前面說了，用哈密頓算符,。在經(jīng)典力學(xué)里,，粒子的能量一般就等于哈密頓量，我們把它算符化以后,，就得到了薛定諤方程里的哈密頓算符Ｈ,。而我們又知道，測量一個力學(xué)量的結(jié)果是對應(yīng)算符的本征值之一（假設(shè)三）,。

因此,，如果我們想判斷粒子的能量是否連續(xù)，就不是像經(jīng)典力學(xué)那樣看它的速度是否連續(xù),，而是要看哈密頓算符的本征值是否連續(xù),。

前面講過了，經(jīng)典力學(xué)里的哈密頓量H一般寫成動能（P2/2m）加勢能V：

在位置表象下,，動量P對應(yīng)的算符長這樣-i??/?x（為啥長這樣先不管了）,，把它代進(jìn)去，就得到了位置表象下的哈密頓算符H：

也就是說,，想看能量是否連續(xù),，我們就要看這個哈密頓算符H的本征值是否連續(xù)。

想看一個算符的本征值是否連續(xù)，前面也講過了,，解這個算符的本征方程（A|Ψ>=a|Ψ>,，這里的a就是算符A的本征值，|Ψ>是對應(yīng)的本征態(tài)）就行了,。

所以,，我們現(xiàn)在的問題變成了：上哪找哈密頓算符H的本征方程？

27定態(tài)薛定諤方程

想找哈密頓算符的本征方程,，你得先找一個含有哈密頓算符的方程吧,？大家看看位置表象下的薛定諤方程：

哈密頓算符Ｈ跟薛定諤方程的右邊是不是有點(diǎn)像（廢話，沒進(jìn)入表象的薛定諤方程的右邊就是哈密頓算符,，能不像么~）,？

如果我們可以像代數(shù)乘法那樣把Ψ提出來，那這個方程的右邊是不是就只剩下哈密頓算符Ｈ了,？也就是說，如果可以把Ψ提出來,，那位置表象的薛定諤方程的右邊就可以寫成HΨ,，我們就能看到哈密頓算符H了。

但是很可惜,，這個方程的右邊并不是代數(shù)乘法,，位置表象下的波函數(shù)Ψ(x,t)和勢函數(shù)V(x,t)也都是既跟時間t有關(guān)，又跟空間x有關(guān)的多元函數(shù),，不是隨隨便便就能提出來的,。

因此，如果想把Ψ提出來,，你就得先想辦法把波函數(shù)Ψ(x,t)和勢函數(shù)V(x,t)的時間和空間部分分開,，怎么做呢？

先看勢函數(shù),，現(xiàn)在的勢函數(shù)V(x,t)是既跟時間t有關(guān),，也跟空間x有關(guān)，那怎么才能把它們分開呢,？簡單,，我們就直接假設(shè)勢函數(shù)不依賴時間t好了。也就是說,，我們就只考慮不依賴時間t,，只考慮跟空間x有關(guān)的勢函數(shù)V(x)。

大家想想我們平常遇到的情況：一個物體的重力勢能只跟高度有關(guān)（跟時間無關(guān)）,，一個彈簧的彈性勢能只跟位置有關(guān)（跟時間無關(guān)）,，我們做電磁學(xué)題目，一般也是先給定一個電磁場（不隨時間變化）?？梢?，不依賴時間t的勢函數(shù)V(x)是非常常見的，我們先考慮這種簡單情況,，以后再考慮更加復(fù)雜的也不遲,。

勢函數(shù)解決了，那波函數(shù)呢,？

為了把波函數(shù)的時間和空間部分也分開,，我們把波函數(shù)Ψ(x,t)寫成只包含位置的ψ(x)和只包含時間的φ(t)的乘積：

當(dāng)然，你可能會說憑什么把波函數(shù)寫成這種形式,？的確,，可以寫成這種形式的波函數(shù)只是很少的一部分。但后面大家會看到,，更一般的解都可以通過這少部分的解構(gòu)造出來,。所以，我們先尋找這一小部分解集還是非常有意義的,。

于是,，我們就通過假定勢函數(shù)V不依賴時間，并把波函數(shù)Ψ(x,t)寫成ψ(x)φ(t)這樣的形式,，把薛定諤方程的時間和空間部分分開了,。

然后，我們就把波函數(shù)的新形式ψ(x)φ(t)代入位置表象下的薛定諤方程,，經(jīng)過一個簡單地懂的都懂,，不懂也沒關(guān)系的求導(dǎo)、替換工作,，原來的薛定諤方程就變成了這樣：

為了方便區(qū)分,，我們把既包含時間，又包含空間的波函數(shù)用大寫的Ψ(x,t)表示,，把只包含空間的部分用小寫的ψ(x)表示,，把只包含時間的部分用φ(t)表示。

可以看到,，由于Ψ(x,t)被拆成了ψ(x)和φ(t)相乘的形式,，原來方程里的求偏導(dǎo)?/?x，?/?t都變成了普通的求導(dǎo)d/dx,，d/dt,，這樣形式就簡單了。這么一來,，方程的左邊就真的只跟時間t有關(guān),，方程的右邊就只跟空間x有關(guān)了（因?yàn)橛疫叺膭莺瘮?shù)V不依賴時間,，ψ(x)也不含時間）。

一個跟時間相關(guān)的東西（方程左邊）等于一個跟空間相關(guān)的東西（方程右邊）,，看起來好像不太可能,，兩個互不相關(guān)的函數(shù)怎么會相等呢？

但是,，它們還是有相等的可能性的,，那就是：它們都恒等于一個常數(shù)！

你想啊,，左邊的東西是隨時間變化的,，可能8點(diǎn)一個值，9點(diǎn)一個值,；右邊的東西是隨位置變化的,，可能北京一個值，武漢一個值,。左右兩邊沒有任何關(guān)系,，你現(xiàn)在讓它們強(qiáng)行相等，那它們就只能都等于一個常數(shù)了,，我們姑且把這個常數(shù)記為E,。

于是,，上面的方程就可以拆成這樣兩個：

第一個方程非常簡單， 求解也很容易,，這里先不管，我們重點(diǎn)看第二個方程,。如果把方程二的左右兩邊都乘以ψ,，它就可以寫成這樣：

這個方程有個很響亮的名字，叫定態(tài)薛定諤方程,。

為什么叫定態(tài)呢,？從表面上來看,，“定”應(yīng)該是不動,，不隨時間變化的意思。但是，我們這里只是假設(shè)勢函數(shù)V不依賴時間,，波函數(shù)Ψ(x,t)雖然寫成了ψ(x)φ(t)的形式，但依然是跟時間φ(t)相關(guān)的,，似乎談不上“定”,。

但是,，我們想一下玻恩規(guī)則：|Ψ(x,t)|2表示在時間t,，在位置x發(fā)現(xiàn)粒子的概率,。也就是說,，雖然波函數(shù)Ψ(x,t)跟時間t相關(guān),，但波函數(shù)本身卻不對應(yīng)什么物理現(xiàn)實(shí),，真正有物理意義的是波函數(shù)的模的平方|Ψ(x,t)|2，它代表我們在某時某地發(fā)現(xiàn)粒子的概率,。

但是,，當(dāng)我們計(jì)算|Ψ(x,t)|2的時候,，卻發(fā)現(xiàn)時間因子在計(jì)算過程中竟然相互抵消了，最后的結(jié)果反而跟時間無關(guān),。更具體的說,，|Ψ(x,t)|2就等于|ψ(x)|2，它只跟空間部分有關(guān),。

于是,，當(dāng)勢函數(shù)V不依賴時間時，雖然波函數(shù)Ψ(x,t)本身跟時間相關(guān),，但概率分布|Ψ(x,t)|2=|ψ(x)|2卻跟時間無關(guān),。這樣，任何力學(xué)量的平均值就也跟時間無關(guān),，所以我們才說這是“定態(tài)”,，是概率分布和力學(xué)量平均值都不隨時間變化的狀態(tài)。

28能量本征態(tài)

明白了定態(tài)的意義,，我們再來追問那個常數(shù)E的意義,，那個讓時間和空間部分相等的常數(shù)E是什么？

大家都知道,，在物理學(xué)里,，我們一般用E表示表示能量（Energy），那這個常數(shù)E跟能量有沒有什么關(guān)系呢,？

有關(guān)系,！這個E，正是系統(tǒng)的能量,。

為什么,？我們再來看看定態(tài)薛定諤方程：

這里的ψ只跟空間x有關(guān)，是個一元函數(shù)ψ(x),。這樣的話,，我們就可以把方程左邊的ψ提出來，那剩下的部分就是哈密頓算符H了,。

于是,，我們就可以把定態(tài)薛定諤方程寫成Hψ=Eψ這種非常精簡的形式了。溫馨提示,，這里的H是哈密頓算符,，是一個算符，而E是一個數(shù),。大家可不要大筆一揮把ψ約掉了,，鬧出一個H=E的笑話來~

很多人應(yīng)該還記得，我們在講“用算符描述力學(xué)量（假設(shè)二）”時講過算符的本征方程：如果力學(xué)量用算符A描述，那當(dāng)系統(tǒng)處于力學(xué)量的本征態(tài)ψ時,，力學(xué)量的取值就是確定的,。無論你測量多少次，測量結(jié)果都會是本征值a,，對應(yīng)的本征方程就是Aψ=aψ,。

我們再看看定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ，跟算符的本征方程（Aψ=aψ）是不是很像,？一般情況下,，能量對應(yīng)的算符就是哈密頓算符H，如果ψ又是能量本征態(tài),，那Hψ=Eψ不就是能量的本征方程了么,？

但問題是：這個ψ是能量的本征態(tài)么？

如果ψ不是能量本征態(tài),，那定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ就不能看作能量本征方程,。因此，如何判斷這個ψ是不是能量本征態(tài)呢,？

首先,，我們回想一下這個ψ是怎么來的：我們假設(shè)勢函數(shù)V不依賴時間，然后把波函數(shù)Ψ(x,t)拆成了時間和空間部分的乘積ψ(x)φ(t),，而這個ψ就是空間部分,。

咋一看，這個ψ似乎跟能量本征態(tài)沒啥關(guān)系,，但光看不行,，我們還得計(jì)算。

如果ψ真的是能量本征態(tài),，那E就是對應(yīng)的能量本征值,。這時候，你去測量系統(tǒng)的能量,，測量結(jié)果就一定是本征值E,，平均值也一定是E。

因此,，如果你想證明ψ是能量本征態(tài),，就得先證明哈密頓算符Ｈ在狀態(tài)ψ的平均值等于Ｅ。如果平均值都不等于Ｅ,，那這肯定就不是本征態(tài)了,。通過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)哈密頓算符H在狀態(tài)ψ的平均值確實(shí)等于E,。

當(dāng)然,，光平均值等于E還不夠,，因?yàn)?/span>能量本征態(tài)的意思是：無論你測量多少次，結(jié)果都是E?，F(xiàn)在你只說哈密頓算符H在狀態(tài)ψ的平均值是E，萬一這個E是由0.5E和1.5E平均出來的呢,？也就是說,，如果我們測量粒子的能量，它有50%的概率是0.5E,，有50%的概率是1.5E,，這樣平均值依然是E。但是很顯然,，這并不是能量的本征態(tài),。

所以，除了平均值等于E,，我們還要保證它沒有彌散,，沒有波動，用統(tǒng)計(jì)語言說就是方差和標(biāo)準(zhǔn)差都必須為0,。通過計(jì)算,，哈密頓算符H在狀態(tài)ψ的標(biāo)準(zhǔn)差也確實(shí)為0（計(jì)算過程都略了，我這只講思路,，大家最好自己去算一算）,。

平均值等于E，標(biāo)準(zhǔn)差為0,，這樣我們才能保證每次測量的結(jié)果都是Ｅ,，才能確定ψ是本征態(tài)。于是,，我們才能光明正大的說：當(dāng)勢函數(shù)V不依賴時間時,，定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ描述的狀態(tài)，正是能量的本征態(tài),，定態(tài)薛定諤方程就是能量的本征方程,。而這個常數(shù)E，不是別的,，它正是本征態(tài)ψ下系統(tǒng)的能量,，大功告成！

也就是說,，如果勢函數(shù)V不依賴時間,，系統(tǒng)就處于定態(tài)，也就是能量本征態(tài),。在這種狀態(tài)下,，測量系統(tǒng)的總能量,，總會得到確定值E。

為什么勢函數(shù)不依賴時間,，總能量就是確定的呢,？我舉個簡單的例子大家就明白了。

一個蘋果往下落,，蘋果下落時重力勢能轉(zhuǎn)化成了動能,。但大家都知道，這個過程中蘋果的總能量（動能+重力勢能）并沒有改變,，它是守恒的,，有一個確定值E。為什么蘋果下落時能量守恒呢,？因?yàn)樘O果的重力勢能mgh不依賴時間,，它只跟蘋果的高度h有關(guān)。也就是說,，讓蘋果的勢能函數(shù)mgh不依賴時間,，結(jié)果就導(dǎo)致了能量守恒，導(dǎo)致了蘋果的總能量一直是定值E,。

如果蘋果的勢函數(shù)V依賴時間,，那它的動能和勢能之和就不再是一個定值（最簡單的，蘋果靜止不動時,，動能不變,，但勢能隨時間變化，所以總能量必然也隨時間變化,，就不再守恒）,，總能量也就不再是定值E了。

這里的言外之意是：蘋果這個系統(tǒng)還跟外界系統(tǒng)存在能量交換,。比如,，我們拿根繩子上下拉蘋果，那蘋果的動能和重力勢能的和就肯定不是定值,。因?yàn)槲覀兊氖謺μO果做功,，蘋果跟我們之間存在能量交換。

這樣,，大家明白定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ的意義了吧,？

29勢函數(shù)

我們前面不是在講能量的連續(xù)性么，為什么這里要花這么大篇幅講定態(tài)薛定諤方程呢,？

因?yàn)?/span>能量也是力學(xué)量,，而力學(xué)量要用算符來描述，力學(xué)量的取值就是算符對應(yīng)的本征值之一,。所以,，你想知道能量可以取哪些值,，就得知道對應(yīng)的哈密頓算符有哪些本征值；想知道哈密頓算符有哪些本征值,，就得知道它的本征方程是什么,。

現(xiàn)在，我們找到了哈密頓算符H的本征方程,，發(fā)現(xiàn)它竟然就是定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ,。于是，我們才能繼續(xù)討論能量的連續(xù)性問題,。

大家再來看看定態(tài)薛定諤方程，也就是能量本征方程：

從方程上看,，系統(tǒng)的一個狀態(tài)ψ（能量本征態(tài)）就對應(yīng)了一個能量E（能量本征值）,。你想知道能量E的情況，就得先知道系統(tǒng)狀態(tài)ψ的情況,。

那么,，如何知道描述系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)ψ呢？

這個前面講過了：解薛定諤方程就行了,！順便提一句,，雖然一開始說的波函數(shù)是指跟時間t相關(guān)的Ψ(x,t)，但習(xí)慣上,，我們把定態(tài)薛定諤方程里這個只跟空間x相關(guān)的ψ(x)也稱為波函數(shù),，大家知道就行。

也就是說,，如果我們想知道粒子的能量是如何取值的,，是連續(xù)的還是離散的，就得知道描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)ψ可以如何取值,。想知道波函數(shù)ψ如何取值，就得解定態(tài)薛定諤方程。

在定態(tài)薛定諤方程里,，除了能量E和波函數(shù)ψ,，還有一個未定的勢函數(shù)V。也就是說,，不同的勢函數(shù)（比如不同的電磁場）會有不同的解,，進(jìn)而得到不同的波函數(shù)ψ，以及不同的能量取值,。

所以,，我們不能籠統(tǒng)地說量子力學(xué)里的能量是連續(xù)的還是離散的，而是要根據(jù)不同的勢函數(shù)區(qū)別對待,。

30自由粒子

一如既往,，我們還是由易入難,，從最簡單的入手。那什么樣的勢函數(shù)最簡單呢,？當(dāng)然是勢函數(shù)V=0,，也就是沒有任何外界約束的時候。

在牛頓力學(xué)里,，如果合外力為0,，粒子就會做最簡單的靜止或者勻速直線運(yùn)動。到了量子力學(xué),，如果勢函數(shù)為0,，粒子會如何運(yùn)動呢？

很顯然,，當(dāng)勢函數(shù)V恒等于0時,，它依然是不依賴時間的。那么,，我們就可以繼續(xù)使用定態(tài)薛定諤方程來處理問題,。

在定態(tài)薛定諤方程里，如果V=0,，方程就變成了這樣：

這是個非常簡單的微分方程,，我們可以輕而易舉地寫出它的解，此時的波函數(shù)ψ長這樣（不會解的自己去翻書,，我就不在這里科普如何解微分方程了~）：

這個解是什么意思呢,？大家中學(xué)都學(xué)過三角函數(shù)，像Asinkx這樣的是一個正弦波,。A越大,，正弦波震蕩得越高，波峰跟波谷的距離越大,；k越大,，正弦波就越密，兩個波峰之間的距離就越小,。

很顯然,，如果A和k不受任何限制，可以隨意取值的話,，那這個正弦波的圖像就也可以隨意變化,。它可以隨意的高，也可以隨意的密,，余弦波Bcoskx類似,。

因此，我們解勢函數(shù)V=0的定態(tài)薛定諤方程,，得到的波函數(shù)ψ(x)是一個正弦波Asinkx和余弦波Bcoskx的疊加,，即ψ(x)=Asinkx+Bcoskx,。由于勢函數(shù)V處處為0，對粒子沒有其它約束,，所以,，我們就沒有其它條件來約束A、B,、k的取值,。換句話說，A,、B,、k可以隨意取值。

A,、B我們可以先不管,，但這個k是跟能量E緊密相連的：

k越大，波越密,，對應(yīng)的能量E就越大,。

現(xiàn)在,，我們說這個k可以隨意取值,，那這個E自然也可以隨意取值。也就是說,，當(dāng)勢函數(shù)V=0時,，這個自由粒子的能量E可以取任意的正實(shí)數(shù)，它顯然是連續(xù)的,。

于是,，我們就得到了第一個結(jié)論：自由粒子（勢函數(shù)V=0）的能量取值是連續(xù)的，它可以取任何正的能量值,。

是不是有點(diǎn)吃驚,？可能在你的印象里，量子力學(xué)里的能量肯定都是不連續(xù)的,。卻沒想到我們的第一個結(jié)論,，最簡單的自由粒子的能量竟然就是連續(xù)的。

大家要記住,，“能量是否連續(xù)”并不是量子力學(xué)的基本假設(shè),，基本假設(shè)就是前面說的態(tài)矢量、算符,、測量,、薛定諤方程那些。我們從這些假設(shè)出發(fā),，算出能量是連續(xù)的就是連續(xù)的,，算出能量是離散的就是離散的,，僅此而已。

那問題來了,，大家熟悉的那種不連續(xù)的能量,，那種一份一份的能量是怎么來的呢？

31一維無限深方勢阱

你想想,，自由粒子的能量E之所以連續(xù),，是因?yàn)樗鼘Σê瘮?shù)ψ(x)=Asinkx+Bcoskx沒有任何約束，于是Ａ,、B,、k可以隨意取值。如果我們再加上一些限制條件呢,？如果我不讓k隨意取值,，那對應(yīng)的能量E是不是也就不能隨意取值了？它是否會因此變成不連續(xù)的呢,？

空想是沒有用的,，我們還得用計(jì)算來說話。我們給自由粒子加上一個非常簡單的限制：把粒子關(guān)在一個“地牢”里,，不讓它出去,。

什么意思？自由粒子不是任何地方的勢函數(shù)都為0,，在任何地方都沒人管么,？現(xiàn)在我在左右兩邊加兩塊銅墻鐵壁，把它關(guān)起來,。

如上圖,，在0到a這個范圍內(nèi)，勢函數(shù)V依然等于0,，粒子在這個范圍內(nèi)依然是自由的,。但是，在這個范圍以外,，也就是小于0以及大于a的地方,，勢函數(shù)V都是無限大，粒子別想過去,。

這個東西很像一個陷阱,，因?yàn)槭且痪S的，又是方形的,，而陷阱外的勢函數(shù)又是無限大,，所以就叫它一維無限深方勢阱。

那么，這樣一個勢阱會對波函數(shù)做出什么樣的限制呢,？在勢阱內(nèi),，也就是0到a的范圍內(nèi)，勢函數(shù)還是0,，跟自由粒子的情況沒啥區(qū)別,。但是，到了勢阱外,，勢函數(shù)就是無限大,，粒子無法“出去”，這就不一樣了,。

在經(jīng)典力學(xué)里,，我們說一個粒子無法出去，是說它的位置坐標(biāo)不可能離開那個范圍,。但到了量子力學(xué),，粒子在一般情況下壓根就沒有確定位置，只有在某個位置發(fā)現(xiàn)粒子的概率|ψ(x)|2?，F(xiàn)在勢阱外的勢函數(shù)無限大,，我們說粒子無法出去，意思是在勢阱外發(fā)現(xiàn)粒子的概率為0,，也就是|ψ(x)|2=0,，即ψ(x)=0。

由于x=0和x=a是勢阱的左右邊界,，所以這兩個地方的波函數(shù)也必須為0：ψ(0)=0,，ψ(a)=0,。于是,，我們就得到了兩個約束條件。

那么,，這兩個約束條件會給系統(tǒng)帶來什么變化呢,？它又會使粒子的能量E發(fā)生什么變化呢？我們來一個個的看,。

先看第一個ψ(0)=0,，因?yàn)棣?x)=Asinkx+Bcoskx，所以ψ(0)=Asin0+Bcos0=B（因?yàn)閟in0=0,，cos0=1）,。如果ψ(0)=0，那我們就得到了B=0,。這樣,，波函數(shù)ψ(x)就只剩下了第一項(xiàng)ψ(x)=Asinkx。

如果波函數(shù)ψ(x)=Asinkx,，而第二個條件又告訴我們ψ(a)=0,，代進(jìn)去就得到了Asinka=0,，這又是什么意思呢？

前面講過了,，正弦波sinx的圖像是這樣的：

所以,，Asinka=0就有兩種可能：A=0或者sinka=0。

A=0是一種非常無趣的情況,，因?yàn)锽已經(jīng)等于0了,，如果你再A=0，那就直接是整個波函數(shù)ψ(x)=0了,。翻譯一下就是：在任何地方發(fā)現(xiàn)粒子的概率都為0,，這就是說沒有粒子嘛。所以,，這是一個平庸的解,，也不符合現(xiàn)在的情況。

真正有意思的是后面那個解,，也就是sinka=0的情況,。我們看一下正弦函數(shù)sinx的圖像，它的取值是可以為0的,，你看它跟x軸不是有很多交點(diǎn)么,？這些交點(diǎn)就是sinka等于0的地方。

也就是說,，如果我們想讓sinka=0,，我們只需讓ka取正弦函數(shù)跟x軸相交的那些地方就行了。學(xué)過中學(xué)三角函數(shù)的朋友都知道,，正弦函數(shù)跟x軸相交的地方,，只考慮正半軸，正好就是π,，2π,，3π，…

這么一來,，ka就不能隨意取值了,，而是只能取π，2π,，3π等等,，寫成更加緊湊的形式就是：

而我們又知道，這個k是跟粒子的能量E直接相關(guān)的,。解勢函數(shù)V=0的定態(tài)薛定諤方程時,，為了讓形式更加簡單，我們給能量E做了一個簡單的替換：

現(xiàn)在k的取值知道了，能量E的取值簡單替換一下就行了：

于是,，這個能量E就真的是離散的了,，因?yàn)檫@里的n只能取1、2,、3等自然數(shù)?，F(xiàn)在，大家看明白這個離散的能量是怎么來了的么,？

32不連續(xù)性

自由粒子時,，勢函數(shù)V處處為0，它對波函數(shù)ψ(x)沒有任何限制,，所以k能隨意取值,，對應(yīng)的能量E也能連續(xù)取值。但是,，當(dāng)粒子不再自由,，而是被束縛在一個有限寬的勢阱時，它就不能亂跑了,，k也不能隨意取值了,。于是，對應(yīng)的能量E也不能隨意取值了,，也就是不連續(xù)了,。

在一維無限深方勢阱里，我們要求波函數(shù)ψ在勢阱兩邊的取值都為0,，即ψ(0)=ψ(a)=0,，這相當(dāng)于固定住了一根繩子的兩端。于是,，在0到a之間,，這根繩子可以彎成一個波形，也可以彎成兩個波形,、三個波形,，就像下圖這樣：

因?yàn)棣?x)代表了系統(tǒng)狀態(tài)（能量本征態(tài)）,，所以,，這每一種可能的波形，就代表了系統(tǒng)可能的一種狀態(tài),，對應(yīng)了一個確定的能量E,。

在經(jīng)典力學(xué)里，我們用一個粒子的位置和動量描述它的狀態(tài),。就算我們把粒子關(guān)在一個牢房里,，限制它的活動范圍，它在牢房里的位置和動量依然可以連續(xù)變化，能量也可以連續(xù)變化,，它在牢房里依然可以連續(xù)走動,，沒人管它。

但到了量子力學(xué),，這個牢房不僅限制了它的活動范圍,，還限制了它的狀態(tài)，限制了它的能量,，讓它不能再隨意取值,。

在一維無限深方勢阱里，求解定態(tài)薛定諤方程得到的波函數(shù)是一個正弦波,。作為一個波,，它有自己的傲氣和傲骨，即便身陷囹圄,，活動范圍受到了限制,，它還是要保持波的樣子。所以,，粒子的狀態(tài)和能量就出現(xiàn)了離散化,。

這樣，大家對量子力學(xué)里的不連續(xù)性是否有了更深刻的認(rèn)識,？

33氫原子

在量子力學(xué)的基本假設(shè)里,，我們沒有對能量是否連續(xù)做出任何假設(shè)，我們只說用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài),，用薛定諤方程描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化,。

當(dāng)勢函數(shù)V不依賴時間時，系統(tǒng)就處于定態(tài)（能量本征態(tài)）,，這時候測量能量就有確定值,。能量有確定值，我們才能談?wù)撃芰康娜≈凳沁B續(xù)的還是離散的,。如果系統(tǒng)處于能量疊加態(tài),，都沒有確定的能量值，那這問題就沒啥意義了,。

勢函數(shù)確定后,，我們求解定態(tài)薛定諤方程就能得到描述系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)，進(jìn)而得到能量的情況,，然后就知道了能量的取值是連續(xù)的還是離散的,。

當(dāng)勢函數(shù)V=0時，粒子完全自由,，它的能量是連續(xù)的,；當(dāng)勢函數(shù)不為0,，而是一維無限深方勢阱時，粒子的能量就變成離散的了,。如果我們再換一種環(huán)境,，再換一個勢函數(shù)，這個操作流程還是一樣的,，都是把對應(yīng)的勢函數(shù)代入薛定諤方程求解,，再根據(jù)波函數(shù)分析能量的取值情況。

比如,，我們知道氫原子是由一個質(zhì)子和一個核外電子組成,。那么，這個電子的能量可以取哪些值呢,？是連續(xù)的還是離散的,？

同樣的，要分析電子的行為,，我們就要知道它的勢函數(shù),。而我們很清楚，電子和質(zhì)子會互相吸引,，根據(jù)庫侖定律,，這個勢函數(shù)V可以寫成：

然后，我們把這個勢函數(shù)代入定態(tài)薛定諤方程,，經(jīng)過一系列我們覺得非常復(fù)雜,，但在量子力學(xué)里還算簡單的計(jì)算，就能得到氫原子里電子可以取的能量：

這就是著名的玻爾公式,，玻爾從他的模型里得到了這個公式,，進(jìn)而名揚(yáng)天下。現(xiàn)在,，我們可以從薛定諤方程里把它非常自然地推出來,。

這個求解過程我就不說了，任何一本量子力學(xué)教材都會寫,。但結(jié)果很明顯,，跟一維無限深方勢阱一樣，庫侖勢下的電子可以取的能量值一樣是離散的,，它只能取一些特定的值,。n=1是能量的最低狀態(tài)，也叫基態(tài),，其它情況被稱為激發(fā)態(tài),。

34原子模型

在量子力學(xué)歷史上，氫原子問題一直都很重要?，F(xiàn)在我們知道了量子力學(xué)里處理氫原子的方式,，那不妨再回過頭，看看經(jīng)典力學(xué)是如何處理氫原子的,，看看它遇到了什么困難,，這對我們深入理解量子力學(xué)也很有好處。

在量子革命前夜,，困擾經(jīng)典力學(xué)的有四大難題：包括大家很熟悉的黑體輻射和光電效應(yīng),，以及大家不太熟悉的原子光譜和原子穩(wěn)定性問題。后兩個問題都跟原子模型有關(guān),，而氫原子又是最簡單的原子,，所以它非常重要。

說到原子模型,，首先出場的是湯姆生,。他認(rèn)為原子是個球體，帶正電的物質(zhì)均勻分布在球內(nèi),，帶負(fù)電的電子一顆一顆鑲嵌在球內(nèi),，這個模型被稱為“棗糕模型”。

但是很快,，湯姆生的模型就被他的學(xué)生盧瑟福打臉了,。盧瑟福用α粒子轟擊金箔時，發(fā)現(xiàn)絕大部分α粒子都會通過金箔,，但有極少數(shù)α粒子竟然會反彈回來,。

這是什么意思呢？如果原子里帶正電的物質(zhì)都均勻分布,，那用α粒子轟擊原子,，就會像用子彈轟擊蛋糕一樣，是絕不可能被反彈回來的?，F(xiàn)在有極少量α粒子被反彈回來了,，那就說明原子內(nèi)部有極少量非常堅(jiān)硬的東西。

盧瑟福經(jīng)過反復(fù)的實(shí)驗(yàn)和思考,，認(rèn)為帶正電的物質(zhì)只能集中在一個非常小的范圍內(nèi),，原子的質(zhì)量也主要集中在這里，這就是我們說的原子核,。這樣,，帶正電的原子核就像太陽，帶負(fù)電的電子就像圍繞太陽轉(zhuǎn)的行星,，盧瑟福的原子模型就被稱為“行星模型”,。

行星模型雖然跟實(shí)驗(yàn)符合得很好，但卻存在一個巨大的理論問題：如果電子真的在繞核轉(zhuǎn)動,，那根據(jù)經(jīng)典電磁理論,，電子轉(zhuǎn)動時就會不斷釋放能量,。這樣的話，當(dāng)電子的能量消耗殆盡以后,，它就應(yīng)該墜入原子核,，原子也就隨之毀滅了。

但我們都知道,，世界很穩(wěn)定,，原子并沒有毀滅，電子也沒有墜入原子核,。那問題就來了：原子為什么能保持穩(wěn)定,？電子為什么沒有因?yàn)椴粩噌尫拍芰慷鴫嬋朐雍?/span>？

這就是原子的穩(wěn)定性問題,，它是經(jīng)典物理無法回答的,。

盧瑟福無法解決這個問題，就把它丟給他的學(xué)生玻爾,。玻爾搗鼓了一段時間,，在充分吸收了普朗克、愛因斯坦的量子化思想后,，提出了一套全新的原子模型,。

玻爾認(rèn)為，電子的軌道并不能隨意選,，它只能處在一些特定的軌道上,。當(dāng)電子處在這些特定軌道上時，電子并不發(fā)射,、吸收能量（所以不會墜毀）,，只有當(dāng)電子從一個軌道躍遷到另一個軌道時，才會發(fā)射和吸收能量,。

玻爾的模型是一個經(jīng)典和量子的混合體,，里面既有量子化軌道這樣的概念，也有電子繞核轉(zhuǎn)動這種經(jīng)典模型,。從理論上來說,，這樣一個“縫合怪”必然槽點(diǎn)滿滿（當(dāng)時也確實(shí)沒人相信它），這個模型也確實(shí)無法解釋更復(fù)雜的原子,。

但是,，相比理論，物理學(xué)家更看中你的模型能否解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,。當(dāng)越來越多的實(shí)驗(yàn)站在玻爾這邊時,，大家就慢慢接受了玻爾模型的主要思想,，承認(rèn)這里面確實(shí)有部分正確的東西,。同時,，大家也在期待一個更完美的理論，希望能從那里導(dǎo)出玻爾模型,，并解釋玻爾模型無法解釋的東西,。

大概十年后,，隨著量子力學(xué)的全面建立,，一切都清晰了。那么,，現(xiàn)在的量子力學(xué)是如何看待玻爾模型的呢,？

首先，我們要明確：在量子力學(xué)里,，電子是沒有軌道概念的,。什么是軌道？電子這一秒在這,，下一秒在那，它每個時刻的位置都能精準(zhǔn)算出來,，這是軌道。但是,，量子力學(xué)里電子在一般狀態(tài)下并沒有確定的位置,，我們只能計(jì)算在各個地方發(fā)現(xiàn)電子的概率,，所以根本談不上軌道,。

但我們也知道，玻爾模型是符合實(shí)驗(yàn)的,，它肯定也包含了一些正確的東西,。那么，如果量子力學(xué)里并沒有確定的軌道,，那玻爾說的軌道又是什么？

在前面,，我們已經(jīng)解了庫侖勢下的薛定諤方程,，并得到了玻爾公式：

這里每一個可能的E，都代表了電子可能的一種狀態(tài),。沒錯,，這其實(shí)就是玻爾說的“軌道”,。

每一個“軌道”，其實(shí)就是一種定態(tài),，是一種能量本征態(tài),。因?yàn)閹靵鰟菹码娮涌梢匀〉臓顟B(tài)和能量都是離散的，所以玻爾才會覺得電子只能待在一些特定而離散“軌道”上,。

為什么電子沒有墜入原子核呢,？因?yàn)樵谶@些允許的能量E里，有一個最小值,，即n=1時的基態(tài)能量（這里能量取負(fù)值,，負(fù)號代表電子受到了原子核的束縛，E1=-13.6eV,，E2=-3.4eV…）,，電子的能量無法比它再小，所以無法墜入原子核,。

這樣,，大家對原子問題有更深刻的認(rèn)識了么？

35雙縫實(shí)驗(yàn)

我寫這篇文章,，主要是想幫大家把量子力學(xué)的基本框架搭起來,，讓大家知道如何從量子力學(xué)的視角看問題。

很多人覺得量子力學(xué)奇怪,、詭異,，甚至恐怖，根本原因就是：他們并不是從量子的角度看待量子問題的,。他們有意無意地保留了許多經(jīng)典的概念和思維,，用半經(jīng)典半量子的眼光看待量子世界，這樣不覺得奇怪才怪了,。

在量子革命初期,，在量子大廈還沒建起來之前，那些大師們用更加熟悉的經(jīng)典思維思考問題無可厚非,。他們四處碰壁,，經(jīng)過各種艱苦卓絕的探索才建立起了成熟的量子力學(xué)框架。一百多年后的今天,，難道我們還要用半經(jīng)典半量子的視角看問題,，還要在量子初期的那些泥潭里一直摸爬打滾么？

很多人覺得量子力學(xué)很奇怪,，覺得沒人能懂量子力學(xué),，并引以為傲地說許多物理大師也是這么說的。但請相信我，絕大部分人覺得量子力學(xué)奇怪,，僅僅是因?yàn)樗麄儗α孔恿W(xué)的基本概念,、基本框架缺乏最基本的認(rèn)識，他們陷在半經(jīng)典半量子的泥潭里出不來,，跟物理大師眼中的奇怪根本不是一回事,。

就像同樣是數(shù)學(xué)，有人說解一元二次方程太難了,，有人說黎曼猜想太難了,，都說數(shù)學(xué)難，但這能是一碼事么,？如果大家把量子力學(xué)的框架搭起來了,，學(xué)會了從量子視角看問題,，那原先很多看起來非常反直覺,，非常不可思議的東西都會變得非常自然。

比如,，被無數(shù)科普文扣上恐怖,、細(xì)思恐極、顛覆三觀帽子的單電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn),，如果從量子力學(xué)的角度看,，它就是一個平平無奇的實(shí)驗(yàn)。

為什么那么多人覺得雙縫實(shí)驗(yàn)恐怖呢,？因?yàn)樗麄兪菑?/span>經(jīng)典視角看這個實(shí)驗(yàn)的,。

從經(jīng)典視角看，單電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)比較“詭異”的地方有兩個：第一,，大家熟悉的干涉實(shí)驗(yàn)都是有大量粒子參與的,，不同粒子之間產(chǎn)生干涉容易理解。但是,，現(xiàn)在我們每次只發(fā)射一個電子,，時間一長，屏幕上居然還能出現(xiàn)干涉圖案,，這就難以理解了,。

每次只發(fā)射一個電子，你跟誰干涉,？沒有干涉對象怎么會有干涉圖案呢,？這就好像每個電子都有意識，知道自己前后的電子要往哪走似的,，這種氛圍再配上點(diǎn)恐怖音樂,，就顯得很詭異了。

更加“詭異”的是第二個：我們一個個放出電子時，屏幕上會慢慢出現(xiàn)干涉圖案,。但是,，一旦我們在縫隙后加了一個探測器，想看看電子到底通過了哪條縫隙,，干涉條紋就消失了,。

從經(jīng)典視角來看，這里原本有個干涉圖案,，我“看”一眼電子要從哪經(jīng)過,，干涉圖案就消失了。仿佛意識可以影響實(shí)驗(yàn),，或者電子能讀懂我的心靈似的,，這里再渲染一下氣氛，那就不是詭異,，而是恐怖了,。

我去網(wǎng)上搜了一下“雙縫實(shí)驗(yàn)”，大家看看這些熱搜詞：

都是些什么恐怖,、騙局,、真相，更夸張的連“雙縫實(shí)驗(yàn)看見鬼”都冒出來了,。一個科學(xué)實(shí)驗(yàn)搜出一堆這樣的東西,，也是沒誰了。

當(dāng)然,，從經(jīng)典視角看,，雙縫實(shí)驗(yàn)的確非常詭異，非?？植?。但是，從量子視角看,，你會發(fā)現(xiàn)這是一個非常自然的實(shí)驗(yàn),，它所體現(xiàn)的，無非就是量子力學(xué)最基本的一些特性,。

首先,，為什么每次發(fā)射一個電子也會出現(xiàn)干涉圖案呢？

在量子力學(xué)里,，我們用波函數(shù)（態(tài)矢量）描述電子的狀態(tài),，而這個狀態(tài)是可以疊加的。也就是說,，如果ψ1是電子的一個可能狀態(tài),，ψ2也是電子的一個可能狀態(tài)，那么，它們的線性疊加ψ=ψ1+ψ2就也是電子的一個可能狀態(tài)（ψ1,、ψ2前面可以有不同的系數(shù)）,，這叫態(tài)疊加原理。

這個大家應(yīng)該覺得很自然,。在斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)里,，銀原子可以處于自旋向上的本征態(tài)ψ1，也可以處于自旋向下的本征態(tài)ψ2,，那么,，它就也可以處于自旋向上和自旋向下的疊加態(tài)ψ=ψ1+ψ2，這再正常不過了,。

而且,，我們還知道測量力學(xué)量的概率是跟波函數(shù)的模的平方|ψ|2掛鉤的。

然后,，我們就會發(fā)現(xiàn)：疊加態(tài)對應(yīng)的概率|ψ|2=|ψ1+ψ2|2并不等于原來各個狀態(tài)的概率之和|ψ1|2+|ψ2|2,，它們之間還差了一個交叉項(xiàng)，小學(xué)數(shù)學(xué)老師也會經(jīng)常強(qiáng)調(diào)“和的平方不等于平方的和”,。而這個交叉項(xiàng),，就是干涉出現(xiàn)的原因。

其實(shí),，經(jīng)典力學(xué)里波的干涉也是因?yàn)榻徊骓?xiàng)。因?yàn)椴ǖ膹?qiáng)度也是平方相關(guān)的,，所以,，兩個光波疊加的強(qiáng)度就不等于每個光波的強(qiáng)度之和（強(qiáng)度跟平方相關(guān)，會多出交叉項(xiàng)）,，而我們看到的明暗程度又跟光的強(qiáng)度有關(guān),，于是就出現(xiàn)了干涉條紋。

在量子力學(xué)里,，兩個波函數(shù)疊加的概率并不等于每個波函數(shù)的概率之和（|ψ1+ψ2|2≠|(zhì)ψ1|2+|ψ2|2）,，所以疊加態(tài)的概率分布圖像就不是原來兩個概率圖像的簡單疊加，這樣就出現(xiàn)了一種概率上的干涉,。時間一長,，概率大的地方就會積聚更多的粒子，于是,，概率上的干涉圖像就變成了真正的干涉圖像,。

也就是說，量子力學(xué)里的單電子雙縫干涉跟經(jīng)典干涉沒啥區(qū)別,，都是因?yàn)?/span>疊加性,。經(jīng)典力學(xué)里兩個波可以疊加，量子力學(xué)里描述系統(tǒng)狀態(tài)的兩個波函數(shù)（態(tài)矢量）也可以疊加，而它們的可觀測量（強(qiáng)度和概率）又都是平方相關(guān)的,，所以疊加后就會多出一個交叉項(xiàng),，然后就出現(xiàn)了干涉圖案。

至于“看一眼干涉圖案就消失了”那就更簡單了,。不管你用什么看,，人眼、儀器或者一只狗,，只要我們知道了電子是從哪個縫隙通過的,，本質(zhì)上就是通過跟系統(tǒng)的相互作用完成了一次測量。而量子力學(xué)里的測量是會改變系統(tǒng)狀態(tài)的,，它會讓系統(tǒng)從原來的狀態(tài)變成被測力學(xué)量的某個本征態(tài),，這我們太熟悉了。

所以,，當(dāng)你測量電子會通過哪個縫隙時,，這個操作就改變了電子的狀態(tài)，讓電子從原來的狀態(tài)變成了某個本征態(tài),。狀態(tài)變了,，概率分布也就變了，于是干涉圖案自然就消失了,。有的書上說單電子的雙縫干涉是電子自己跟自己干涉,，其實(shí)是說這是電子的兩個狀態(tài)（通過縫隙1的狀態(tài)和通過縫隙2的狀態(tài)）之間的干涉。而測量過程會改變電子的狀態(tài),，于是就破壞了干涉圖案,。

可見，如果我們建立起了量子力學(xué)框架,，從量子視角看,，雙縫實(shí)驗(yàn)就是非常簡單而且自然的。它無非就是在說“系統(tǒng)狀態(tài)可以疊加,，測量會改變系統(tǒng)狀態(tài)”,，這些基本結(jié)論有什么好奇怪的？又哪里有半分恐怖,？你非要用經(jīng)典視角看問題,，然后自己嚇自己，說哎呀媽呀好恐怖,，三觀震裂,，那我還能說什么呢？

當(dāng)然,，這里只是對雙縫實(shí)驗(yàn)做了一個非常簡單的介紹（后面再單獨(dú)寫文章詳細(xì)談）,，目的就是讓大家知道：如果我們學(xué)會了從量子視角看問題,，很多你之前覺得奇怪、詭異,、恐怖的問題都會變得非常自然,。你覺得雙縫實(shí)驗(yàn)恐怖，跟古人覺得閃電恐怖沒啥區(qū)別,，一旦掌握了看待這些問題的正確視角,，它們都是非常自然的現(xiàn)象。

36不確定性原理

此外,，很多人覺得不確定性原理也很神秘,，其實(shí)它也很自然。大家看一張格里菲斯的《量子力學(xué)概論》里的插圖很快就明白了：

上面那個圖,，你很難說這個波在哪,，但卻很容易說兩個波峰之間距離（也就是波長）是多少；下面那個圖,，你很容易說這個波在哪,，卻說不出它的波長是多少。

也就是說,，如果波長越精確（上圖）,，波的位置就越不精確；如果波的位置越精確,，波長就越不精確（下圖）,。

在量子力學(xué)里，我們用波函數(shù)描述系統(tǒng)的狀態(tài),，而波長λ跟動量p之間有一個簡單的關(guān)系：p=h/λ,。用動量代替上圖的波長，于是就有：動量越精確,，位置就越不精確；位置越精確,，動量就越不精確,。

此外，我們也能看到,，一個波的位置越確定,，它的波長就越不確定，這是系統(tǒng)的內(nèi)在屬性,，跟你測量不測量無關(guān),。海森堡一開始以為是測量干擾了其它物理量，進(jìn)而導(dǎo)致測不準(zhǔn),，后來才知道并不是這樣,。

關(guān)于不確定性原理,，這里就先簡單地聊這些，因?yàn)檫@篇文章讓我意外地發(fā)現(xiàn)：原來公眾號的文章最多只能寫5萬字,，再多就發(fā)不了了,！我這已經(jīng)是在極限邊緣瘋狂試探了，更詳細(xì)的以后再聊吧~

37量子力學(xué)詮釋

量子世界還有許多激動人心的話題,，比如薛定諤的貓,、玻爾和愛因斯坦的論戰(zhàn)、貝爾不等式,、多世界理論,、狄拉克方程、量子場論,、量子糾纏,、量子通信和量子計(jì)算等等，這里就先不說了,。但大家要清楚,，我們能愉快討論這些話題的前提，是你已經(jīng)掌握了量子力學(xué)的基本框架,，知道如何從量子視角思考問題,，否則就只是看個熱鬧。

例如,，很多人都知道玻爾和愛因斯坦的論戰(zhàn),，但很少有人知道他們到底在爭什么。有些人只是給愛因斯坦貼了一個“反量子力學(xué)”的標(biāo)簽,，認(rèn)為愛因斯坦先是參與了量子力學(xué)的建立,，成為權(quán)威后變保守了，又開始反對量子力學(xué),，那也太膚淺了,。

為了搞清楚玻爾和愛因斯坦到底在爭什么，我們要先搞清楚一件事,，一件很重要,，但又很容易被忽略的事：量子力學(xué)的形式理論（或者說對量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述，也叫裸量子力學(xué)）和對量子力學(xué)的詮釋是不一樣的,，我們一定要區(qū)分兩者,。

什么意思？我們觀察自然界的各種現(xiàn)象,，發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律,，然后用數(shù)學(xué)語言描述它。一開始,，我們只要理論能給出正確的預(yù)言,，計(jì)算結(jié)果能跟實(shí)驗(yàn)符合就行了,，并不追問這些數(shù)學(xué)語言背后代表了什么樣的物理現(xiàn)實(shí)。

比如,，德布羅意提出了物質(zhì)波假說以后,，薛定諤就找到了對應(yīng)的波動方程，也就是大名鼎鼎的薛定諤方程,。通過薛定諤方程,，我們能很好描述各種量子現(xiàn)象。但是,，對于薛定諤方程的解,，也就是波函數(shù)到底是什么？大家卻莫衷一是,。

也就是說,，雖然我們用波函數(shù)描述系統(tǒng)的狀態(tài)，而且這樣工作得非常好,。但是,，這個波函數(shù)到底是個什么東西？它是描述了粒子的真實(shí)狀態(tài)（實(shí)在的）,，還是說只是我們認(rèn)識粒子的工具,，描述的僅僅是我們對粒子的認(rèn)識狀態(tài)（非實(shí)在的）？這其實(shí)是一個哲學(xué)上的本體論問題,，我在文章里對此類問題只字未提,。

我在這里介紹的量子力學(xué)框架，實(shí)際上只是一套量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述,，我們可以說它是量子力學(xué)的形式理論或裸量子力學(xué),。如果我們想追問這套數(shù)學(xué)語言背后的物理圖像，就涉及量子力學(xué)詮釋了,。

所謂詮釋,，就是對一套數(shù)學(xué)語言背后的物理圖像進(jìn)行解讀。我們用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài),，用算符描述力學(xué)量,，用薛定諤方程描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化，這些都是對量子現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述,，是量子力學(xué)的形式理論。對于這些,，是所有人都承認(rèn)的,，不管愛因斯坦還是玻爾。

但是,，如果我們想知道這套數(shù)學(xué)語言的背后對應(yīng)了一個什么樣的物理世界,，想知道波函數(shù)到底是什么,，詮釋就出現(xiàn)了。面對同樣一套形式理論,，詮釋可以是多種多樣的,，于是，玻爾和愛因斯坦的分歧就出現(xiàn)了,。

以玻爾為首的哥本哈根詮釋認(rèn)為：波函數(shù)并不描述粒子的真實(shí)狀態(tài),，它只是我們認(rèn)識量子世界的工具，波函數(shù)只有認(rèn)識論上的意義,。當(dāng)我們測量時,，波函數(shù)會瞬間坍縮。而且,，雖然系統(tǒng)狀態(tài)的演化遵守薛定諤方程,，但測量導(dǎo)致波函數(shù)坍縮的過程卻不遵守薛定諤方程……

哥本哈根詮釋還有很多觀點(diǎn)，這里就不一一列舉了,。玻爾他們通過這樣一種詮釋,，構(gòu)建了一幅相對完整的量子圖像。這樣,，大家在處理量子力學(xué)問題時腦袋里就會有一個具體的畫面,。

當(dāng)然，雖然哥本哈根的量子圖像跟實(shí)驗(yàn)對得上,，但它理論上的問題也很多：波函數(shù)在測量過程中瞬間坍縮,，而且這個過程不滿足薛定諤方程，那坍縮過程是如何發(fā)生的,？測量在這里如此重要,，那什么樣的行為可以算是測量？為什么會有兩類演化過程,，一類遵守薛定諤方程,，另一類不遵守？量子世界和經(jīng)典世界如此不一樣,，你給它們劃了一條界線,，那這條界線到底在哪？

更加重要的是,，哥本哈根詮釋說波函數(shù)并不描述電子的真實(shí)狀態(tài),，它只是一個認(rèn)識工具。他們認(rèn)為根本就不存在什么真實(shí)的電子狀態(tài),，只有當(dāng)我們測量時發(fā)現(xiàn)了電子,，才能說電子存在。因此,，站在哥本哈根的角度,，是我們的測量過程創(chuàng)造了電子,，你不測量時電子就不存在。

這種說法徹底激怒了愛因斯坦,，他說：“難道我們不看月亮?xí)r,，月亮就不存在了么？”,。大家更熟悉愛因斯坦的另一句“上帝不投骰子”,，但其實(shí)，相比投不投骰子,，愛因斯坦更在意月亮存不存在,。大家經(jīng)常在科普書里看到玻爾和愛因斯坦的論戰(zhàn)，愛因斯坦反對的不是量子力學(xué)（沒人反對量子力學(xué)的形式理論）,，他反對的是量子力學(xué)的哥本哈根詮釋,。

愛因斯坦非常討厭哥本哈根詮釋（薛定諤、德布羅意也是）,，于是,，他就一邊挑哥本哈根詮釋的漏洞，一邊找一些新詮釋,。但是,，雖然哥本哈根詮釋的問題很多，但它跟實(shí)驗(yàn)也都對得上,，而它的競爭對手們當(dāng)時又太弱,，愛因斯坦的超一流挑刺功力也在不斷幫哥本哈根詮釋打補(bǔ)丁。再加上玻爾,、海森堡,、玻恩這幫人在量子領(lǐng)域的權(quán)威，愛因斯坦到死也只能一邊看它不爽,，一邊拿它也沒什么好辦法,。

愛因斯坦去世兩年后，一個叫埃弗雷特的人提出了一種了全新的量子力學(xué)詮釋：多世界詮釋,。

這是一個在理論上極其簡潔,，但在推論上似乎極其“荒誕”的詮釋。多世界甚至可以說是不要詮釋的詮釋,，因?yàn)樗幕炯僭O(shè)就兩條：第一,，系統(tǒng)狀態(tài)由態(tài)矢量描述；第二,，態(tài)矢量隨時間的演化遵守薛定諤方程（可見,，它跟我們這里講的形式理論并不太一樣，所以，多世界也不只是一個詮釋,，它還是一個獨(dú)立的理論）。

哥本哈根詮釋的那些額外假設(shè)（測量導(dǎo)致的坍縮,，量子和經(jīng)典的邊界問題等等）它通通不要,，玻恩規(guī)則也不要，這些東西在多世界這里不是假設(shè),，而是結(jié)論,。它一樣能跟所有實(shí)驗(yàn)符合，也不存在什么“不看月亮,，月亮就不存在”的問題,。

在多世界詮釋（理論）里，波函數(shù)描述的是粒子的真實(shí)狀態(tài)（實(shí)在的）,，測量只不過是儀器跟系統(tǒng)的相互作用,，測量過程也遵守薛定諤方程，并沒有什么波函數(shù)坍縮,。它還有很多其它觀點(diǎn),，這些觀點(diǎn)一起也構(gòu)成了一幅完整的量子力學(xué)圖像，但是很明顯,，這是一幅完全不同于哥本哈根詮釋的圖像,。

細(xì)節(jié)這里先不講，以后再說,。不過,，從這里我們起碼能看到：哥本哈根詮釋里有波函數(shù)坍縮，多世界詮釋里沒有波函數(shù)坍縮,；哥本哈根詮釋里波函數(shù)不描述粒子的真實(shí)狀態(tài),，多世界詮釋里波函數(shù)描述粒子的真實(shí)狀態(tài)；哥本哈根詮釋里有量子-經(jīng)典邊界問題,，多世界詮釋里沒有……

這兩個詮釋有很多不一樣的地方,，但它們都跟實(shí)驗(yàn)符合，你說我聽誰的,？

哥本哈根詮釋有時也被稱為正統(tǒng)詮釋,，很多教材也都是以哥本哈根形式寫的。時至今日,，多世界詮釋也有了非常多的支持者,。然而，不管是哥本哈根,、多世界,，還是其它什么詮釋，支持者的比例都很低，更多物理學(xué)家的選擇是：不要詮釋,！不要詮釋,！不要詮釋！

他們就拿量子力學(xué)的形式理論來做計(jì)算,，能算,、有用就行！至于它背后的物理圖像,，去你的玻爾和愛因斯坦,，我誰都不信，他們是閉嘴計(jì)算派,。當(dāng)然,，閉嘴計(jì)算并不代表他們不關(guān)心詮釋，沒有哪個物理學(xué)家會真的不關(guān)心量子理論背后的圖像,。只不過,，現(xiàn)有詮釋的說服力實(shí)在都不太夠，沒有哪個詮釋能讓人特別信服,，所以他們就干脆不管了,。

因此，很多量子力學(xué)教材也會有意識地避免詮釋問題,，它們就只介紹量子力學(xué)的形式理論,，只介紹我們是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述量子現(xiàn)象的，只介紹這套所有人都承認(rèn)的東西,。

形式理論壓根就不談波函數(shù)有沒有坍縮,，它只說測量結(jié)果是對應(yīng)算符的本征值之一。至于測量過程中到底發(fā)生了什么,，是波函數(shù)坍縮了,，還是世界分裂了，它不管,。

有些朋友可能會感到很困惑：我學(xué)物理這么久了,，為什么好像只在量子力學(xué)這里有詮釋問題，學(xué)習(xí)其他理論時好像壓根就沒這事,？比如,，我們學(xué)習(xí)牛頓力學(xué)時，哪有什么詮釋啊,。

牛頓力學(xué)當(dāng)然也有詮釋,，只不過，我們在牛頓力學(xué)里是采用三維空間中的實(shí)數(shù)和函數(shù)來描述質(zhì)點(diǎn)和場的,，這種描述具有很直接的空間意義,。所以,，大家對牛頓力學(xué)里什么概念代表什么物理意義，都能取得廣泛的共識,。一個石頭往下落,，描述這個過程的數(shù)學(xué)公式是這樣的，大家腦中的物理圖像也都是這樣的,，沒人有異議,。

但是，在量子力學(xué)里,，我們是用希爾伯特空間中的矢量和算符來描述系統(tǒng)狀態(tài)和力學(xué)量的，這是很抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),。希爾伯特空間并不是我們?nèi)粘＝佑|的三維空間,，這樣一來，如何把數(shù)學(xué)概念和物理現(xiàn)實(shí)對應(yīng)起來就比較麻煩了,。于是,，有人認(rèn)為波函數(shù)描述了現(xiàn)實(shí)，有人認(rèn)為并沒有,；有人認(rèn)為測量時波函數(shù)坍縮了,，有人認(rèn)為沒有坍縮等等。

不存在共識,，也說明我們對量子世界的認(rèn)識還不夠深刻,。隨著理論和實(shí)驗(yàn)的進(jìn)步，我們以后或許能區(qū)分不同的詮釋,，能搞清楚許多現(xiàn)在還不懂的事情,，形成一幅所有人都同意的量子力學(xué)圖像。到那時,，自然就沒人再提什么量子力學(xué)詮釋了,。

量子力學(xué)詮釋是一個非常宏大而且深刻的話題，它不僅跟物理學(xué)有關(guān),，也跟哲學(xué)有關(guān),，可以說愛因斯坦的后半輩子一直都在思考它。

在這篇文章里,，我們只要知道有量子力學(xué)詮釋這么回事,，知道形式理論和詮釋的關(guān)系，知道我們這里介紹的只是量子力學(xué)的形式理論就行了,。關(guān)于量子力學(xué)的詮釋更多問題,，我們以后再慢慢聊。

這樣,，文章就接近尾聲了,。

38結(jié)語

在經(jīng)典力學(xué)里，系統(tǒng)狀態(tài)、可觀測量和觀測結(jié)果都是一樣的,，我們沒必要刻意區(qū)分它們,。到了量子力學(xué)，為了描述斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)以及其它量子現(xiàn)象,，我們必須區(qū)分三者,。

我們用態(tài)矢量描述系統(tǒng)狀態(tài)，用算符描述力學(xué)量,，測量結(jié)果是對應(yīng)算符的本征值之一,，系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化遵守薛定諤方程。

為了把抽象的態(tài)矢量具體化,，我們要建立坐標(biāo)系,。然后，我們發(fā)現(xiàn)以力學(xué)量算符的本征矢量為基矢建立的坐標(biāo)系是極好的,，選取這樣一組基矢就叫選取了一個表象,。以位置算符的本征矢量為基矢建立的就叫位置表象，以動量算符的本征矢量為基矢建立的就叫動量表象,，它們之間可以通過傅里葉變換相互轉(zhuǎn)換,。

選定了表象，我們就可以把態(tài)矢量投影到具體的坐標(biāo)系里了,，投影系數(shù)（坐標(biāo)）就是波函數(shù),。于是，除了態(tài)矢量,，波函數(shù)也可以用來描述系統(tǒng)的狀態(tài),。

然后，我們也寫出了位置表象下的薛定諤方程,，求解方程就能得到波函數(shù),。要解薛定諤方程，就得先確定勢函數(shù),。

如果勢函數(shù)不依賴時間,，概率分布就不隨時間變化，力學(xué)量的平均值也就不隨時間變化,，這樣的狀態(tài)我們稱之為定態(tài),。因?yàn)槎☉B(tài)下的能量具有確定值，所以定態(tài)也就是能量本征態(tài),。能量有確定值,，求解定態(tài)薛定諤方程就能得到系統(tǒng)可以取的能量，這樣能量是連續(xù)的還是離散的一看便知,。

于是,，我們就知道了量子力學(xué)里能量不連續(xù)的原因,，也知道了量子力學(xué)處理問題的一般方法。掌握了量子力學(xué)的思考方式,，你會發(fā)現(xiàn)很多大家熟悉的量子力學(xué)性質(zhì)（比如能量可以不連續(xù)）都能推出來,，很多大家覺得奇怪、詭異,，甚至恐怖的問題（比如雙縫干涉實(shí)驗(yàn)）都會變得非常自然,。

建立了量子力學(xué)的基本框架以及處理量子力學(xué)問題的一般方法，這篇文章的目的就達(dá)到了,。限于篇幅,，很多大家非常感興趣的話題這里只能一筆帶過，我們以后再講,，怕錯過的盯著我的公眾號“長尾科技”就行,。

最后，我們還區(qū)分了量子力學(xué)的形式理論和詮釋,，這些東西后面會引申出非常多超級精彩的話題。但是,，理解它們的前提,，是已經(jīng)把量子力學(xué)的形式理論搞清楚了。

量子大戲已經(jīng)開幕,，各位看官坐穩(wěn)了~