2000多年前的古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說預(yù)言過,，我們的世界建立在數(shù)學(xué)之上，當(dāng)時很多人都不理解這句話,，甚至把把它當(dāng)做一句笑話,。廣袤的宇宙如何是用抽象的數(shù)學(xué)建立起來的？一石一鳥,，一草一木,，日月繁星,，現(xiàn)實之世界如何與虛無縹緲的數(shù)學(xué)發(fā)生聯(lián)系？當(dāng)時古希臘的所有人都嘲笑他,，認(rèn)為是不可理喻的瘋癲囈語,。

時間到了近代。隨著量子力學(xué)的發(fā)展,，一些物理學(xué)家試圖用實數(shù)來構(gòu)建量子理論,，由于沒有實驗測試，人們無法得知虛數(shù)是否在量子物理中真的有必要,，或者只是一種計算工具而已,。

于是來自南科大的范靖云團(tuán)隊使用光子和光粒子進(jìn)行了這樣的實驗，他們在2022年1 月 24 日發(fā)表在物理學(xué)頂級期刊《物理評論快報》（Physical Review Letters,，PRL）上的論文《Testing Real Quantum Theory in an Optical Quantum Network》中進(jìn)行了報告,。

同時，中國科技大學(xué)潘建偉教授使用由超導(dǎo)體制成的量子計算機(jī)也進(jìn)行了該項實驗,，隨后論文《Ruling Out Real-Valued Standard Formalism of Quantum Theory》也在 PRL 上發(fā)表,。

上述兩篇發(fā)表的論文實際上驗證了畢達(dá)哥拉斯的預(yù)言，----描述量子力學(xué)必須要用復(fù)數(shù)----,。這個由中國人發(fā)現(xiàn),、了不起的科學(xué)成就說明復(fù)數(shù)與實體世界有著強(qiáng)烈的對應(yīng)關(guān)系，換言之,，人類智慧結(jié)晶的數(shù)學(xué),，似乎可以幫助人類自己破解宇宙的秘密。

這個背后有什么更深層次的原因呢,？于是,，有關(guān)數(shù)學(xué)的故事，讓我們從頭了解一下,。

1.有理數(shù)

人類的智慧是從計數(shù)開始的,。數(shù)字的出現(xiàn)就意味著數(shù)學(xué)的起源。人類文明的歷史有多長,，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程就有多長,。

在大約300萬年以前，一些原始部落中的人類通過結(jié)繩記事,，以繩子上打結(jié)的數(shù)量來記錄將要處理的時間數(shù)量,，或者以繩結(jié)的大小來體現(xiàn)事件的重要程度，數(shù)的概念開始逐步的發(fā)展起來,。數(shù)學(xué)經(jīng)常被縮寫為math或maths,，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu),、變化,、空間以及信息等概念的一門學(xué)科,。

隨著生產(chǎn)力的進(jìn)一步發(fā)展，研究天文,，土地糧食作物的合理分配,，稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)的計算顯得尤為重要，數(shù)學(xué)也就是為了解決實際生活,、生產(chǎn)問題,，為了測量土地、計算產(chǎn)量,、商貿(mào)活動,、軍事斗爭以及為了預(yù)測天文事件而形成的。

現(xiàn)在用上帝視角回看這段時期,，數(shù)學(xué)在這段時期的發(fā)展結(jié)果就是有理數(shù),，它和現(xiàn)實世界是一一對應(yīng)的關(guān)系。每一個數(shù)字,，結(jié)果都可以在自然界找到相對應(yīng)物,，無論你家有多少只家禽，或者尼羅河沖出肥沃土地的面積是多少,，還是腓尼基人發(fā)現(xiàn)月亮高度與航海時間、距離之間的關(guān)系,。

2.無理數(shù)

公元前600多年,，古希臘地區(qū)出了一位主張“萬物皆數(shù)”的數(shù)學(xué)家，認(rèn)為“數(shù)”可以解釋世界上的一切事物,。這就是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras,，前570年－前495年），他既是數(shù)學(xué)家,，也是哲學(xué)家和音樂理論家,。他對數(shù)字癡迷到近乎崇拜；同時認(rèn)為一切真理都可以用比例,、平方及直角三角形去反映和證實,。

畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此以外,，沒有別的什么數(shù)了,。可是不久就出現(xiàn)了一個問題：當(dāng)一個正方形的邊長是1的時候,，對角線的長m等于多少,，是整數(shù)呢，還是分?jǐn)?shù),？畢達(dá)哥拉斯和他的門徒費(fèi)了九牛二虎之力,，也不知道這個m究竟是什么數(shù),，大約認(rèn)為是707/500,接近1.414，但顯然不完全相等,。世界上除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外還有沒有別的數(shù),？這個問題引起了畢達(dá)哥拉斯著名學(xué)生西帕索斯（Hippasus）的興趣，他花費(fèi)了很多的時間去鉆研,，最終西帕索斯斷言：m既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù),，是當(dāng)時人們還沒有認(rèn)識的新數(shù)。

西帕索斯的發(fā)現(xiàn),，推翻了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的理論,，動搖了這個學(xué)派的基礎(chǔ)，為此引起了他們的恐慌,。為了維護(hù)學(xué)派的威信,，他們嚴(yán)密封鎖西帕索斯的發(fā)現(xiàn)，如果有人膽敢泄露出去,，就處以極刑,。不幸的是，這位無理數(shù)發(fā)現(xiàn)第一人,，最終還是被殘忍的拋入了大海,。

西帕索斯雖然被害死了,但是他發(fā)現(xiàn)的“新數(shù)”卻還存在著。后來,，人們從他的發(fā)現(xiàn)中知道了除去整數(shù)和分?jǐn)?shù)之外,世界上還存在著一種“新數(shù)”,。正方形的對角線和邊長的比是這種新數(shù)，給這種新數(shù)起個什么名字呢?當(dāng)時人們覺得,，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是人們已經(jīng)習(xí)慣的,，容易理解，就把整數(shù)和分?jǐn)?shù)合稱“有理數(shù)”,，英文為“rational number”,，而把西帕索斯發(fā)現(xiàn)的新數(shù)起名叫“無理數(shù)”，英文為“irrational number”,。

無理數(shù)的出現(xiàn),，打破了古希臘人對于數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界的統(tǒng)一認(rèn)識，他們無法理解在實際中的意義幾何,，難道世界是虛幻的,？這就是著名的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。當(dāng)越來越多的無理數(shù)出現(xiàn),，（例如,，正五邊形邊與對角線之比中出現(xiàn)的、自然對數(shù)函數(shù)的常底數(shù)e，即歐拉常數(shù),、圓周率π,、黃金比例φ 、著名一元三次方程x3=x+1的唯一一個正根的塑膠數(shù) ρ,、超越方程 的實數(shù)根常數(shù) Ω等等）,，人們意識到，也許這個世界是不完美的,，可能存在著很多不確定性,。

確實如此?？茖W(xué)家們從微觀世界著手,，逐漸發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成原子組成的電子,，運(yùn)動速度極快,，似乎即出現(xiàn)在這里，也出現(xiàn)在那里,，于是形成了電子云,。由于無法精確的描述電子，所以通常用概率波來表示,，電子可以出現(xiàn)在任何地方,，甚至可以穿墻，這種現(xiàn)象被稱為“量子隧穿效應(yīng)”,。這說明,，不確定性是量子世界的常態(tài)。

事實上,，我們的世界很有可能就是由不確定性組成的。在組成我們大千世界的微觀環(huán)境里,，不確定性形成的概率則奠定了我們現(xiàn)實的基礎(chǔ),。

3.0與無限

1420年，時年42歲的意大利一代傳奇大師布魯內(nèi)萊斯基（Filippo Brunelleschi）出現(xiàn)在佛羅倫薩大教堂的門口,，引起了當(dāng)時巨大的轟動,。他當(dāng)眾演示了一種名為透視法的方法。目標(biāo)正是那座圣約翰洗禮堂,，布魯內(nèi)萊斯基左手拿著畫好的洗禮堂透視圖,，在設(shè)定為“視線”的位置掏了個小孔。右手持鏡,，鏡子上反射出來的洗禮堂圖像,，和肉眼所見的真實洗禮堂如出一轍。

多么天才的方法。失傳的“滅點(diǎn)”被布魯內(nèi)萊斯基找到了,。

滅點(diǎn)(Vanishing Point）亦稱消失點(diǎn),。透視學(xué)中，所有平行線,，當(dāng)它們有遠(yuǎn)近的時候,，不論在視平線以上、以下或左邊,、右邊,，都集中消失在一點(diǎn)。這個點(diǎn),，就叫做滅點(diǎn)或消失點(diǎn),，如是垂直于畫面的線，則不論上下左右,，都集中消失于主點(diǎn),。

滅點(diǎn)出現(xiàn)的意義在于，藝術(shù)家們得以在二維平面上創(chuàng)造出逼真的三維空間,。站在數(shù)學(xué)的角度,，一切事務(wù)似乎都可以壓縮進(jìn)入到這個0維的滅點(diǎn)，無論人物,，山河,，海洋。所以這個0維的點(diǎn),，不但是0,，也是無限的。正是布魯內(nèi)萊斯基的滅點(diǎn),，使得歐洲正在興起的數(shù)學(xué)家們開始直面滅點(diǎn)這個話題,，進(jìn)而開始直面0與無限的關(guān)系。

200年后一個名叫笛卡爾的法國哲學(xué)家,、數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家，這個不喜歡上班,，據(jù)說特別喜歡賴床的天才,，一邊高喊著“我思故我在”，另一邊則神奇的發(fā)明了直角坐標(biāo)系,，他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn),，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ),，而微積分又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基石,，解析幾何仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一,。

數(shù)學(xué)里，笛卡爾坐標(biāo)系(Cartesian coordinate system),，亦稱直角坐標(biāo)系,，是一種正交坐標(biāo)系。在坐標(biāo)系中,，有x軸（橫軸）和y軸（縱軸）,，并且為了我們方便理解，對兩軸進(jìn)行了一些實數(shù)的標(biāo)記,，在虛線相交的這些點(diǎn),，便是我們稱之為坐標(biāo)點(diǎn)的例子。在坐標(biāo)系的所有坐標(biāo)點(diǎn)中,，一個特殊的坐標(biāo)點(diǎn)是原點(diǎn),，字母表示為O，實數(shù)表示為（0,，0）,。

1927年，比利時天文學(xué)家和宇宙學(xué)家勒梅特（Georges Lema?tre）首次提出了宇宙大爆炸假說（The Big Bang Theory）,，他認(rèn)為：宇宙是由一個致密熾熱的奇點(diǎn)于137億年前一次大爆炸后膨脹形成的,。也就是說，宇宙是從無到有,，經(jīng)歷了一次劇烈的爆炸后,，宇宙常數(shù)趨于0，空間開始膨脹,，所以宇宙誕似乎生于0,，但卻永遠(yuǎn)沒有終點(diǎn)。,。,。。,。,。

回頭再看平面直角坐標(biāo)系，它其實就是一個二維化的數(shù)學(xué)宇宙,，它起源坐標(biāo)O，向四周發(fā)散,，且沒有終點(diǎn),，形成了一個無限的空間。數(shù)學(xué)再一次驗證了它的神奇預(yù)言能力,。

                                                第一張黑洞照片（M87星系中心超大質(zhì)量黑洞）

隨后,，科學(xué)家們在宇宙中發(fā)現(xiàn)了越來越多的0和無限的例子,，黑洞就是其中之一。據(jù)科學(xué)家估計,，僅僅在銀河系中,，大約就有上億個黑洞，越靠近黑洞,，時空曲率越大,，而且曲率趨向無窮，光也無法從黑洞中逃脫,。這些黑洞,，便構(gòu)成了0和無限的結(jié)合體。

                                                                                          “愛因斯坦-羅森橋”

冥冥之中,，似乎數(shù)學(xué)與宇宙有著剪不斷,、理還亂的關(guān)系。無理數(shù)的出現(xiàn),，好像驗證了宇宙的不確定性,。0與無限，似乎在講述宇宙的開始與結(jié)束,。但是這一切與“虛數(shù)”相比,，則顯得小巫見大巫，真正的燒腦部分才剛剛開始,。

4.虛數(shù)的出現(xiàn)

時光回到16世紀(jì),。文藝復(fù)興的意大利數(shù)學(xué)開始疾馳發(fā)展，一個名為塔塔利亞（Nicolo Fontana)的數(shù)學(xué)家獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的一般求解方法,，為此他在當(dāng)時的數(shù)學(xué)比賽中一次次獲得豐厚的獎金,。隨之他將這個求解的秘密告訴了當(dāng)時一名百科全書式的全能學(xué)者，卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）,?？栠_(dá)諾的稱號有如此之多，有數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家,、占星家、哲學(xué)家和賭徒,， 古典概率論創(chuàng)始人等等不一而足,。在其大作《大術(shù)》中，他第一個發(fā)表了一元三次代數(shù)方程一般解法的卡爾達(dá)諾公式,，書中還記載了四次代數(shù)方程的一般解法,。

卡爾達(dá)諾在求解的過程中，經(jīng)常會得到一些奇怪的解,，比如求解一元三次方程x3=15x+4的會得到 -121開方的根,。負(fù)數(shù)怎么能開方呢,？于是卡爾達(dá)諾在書中認(rèn)為這種表達(dá)是沒有意義的。但是這些奇怪的數(shù)就像幽靈一樣,，總是出現(xiàn)在方程的求解中,。之后笛卡爾于1637年在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”的名稱，并和“實數(shù)”相對應(yīng),。1777年歐拉在《微分公式》一文中第一次用i來表示,，并首創(chuàng)了用符號i來表示虛數(shù)。

在經(jīng)過歐拉,、高斯等數(shù)學(xué)家不懈努力后,，復(fù)數(shù)的概念終于明確。形如z=a+bi（a,、b均為實數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù),。其中，a稱為實部,，b稱為虛部,，i稱為虛數(shù)單位。

虛數(shù)誕生后,，人們對它的實際用處一無所知,，在實際生活中似乎沒有用復(fù)數(shù)來表達(dá)的量，因此在很長一段時間里,，人們對它產(chǎn)生過種種懷疑和誤解,。笛卡爾稱“虛數(shù)”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認(rèn)為：“虛數(shù)是美妙而奇異的神靈隱蔽所,，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物,。”歐拉盡管在許多地方用了虛數(shù)，但又說：“一切形如,的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的,，想象的數(shù),，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根。對于這類數(shù),，我們只能斷言,，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么,，更不比什么都不是少些什么,，它們純屬虛幻。”

1799年德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)明了震驚世界的復(fù)數(shù)平面（complex plane）,，簡稱復(fù)平面,，他將虛數(shù)的理解又深入了一步。復(fù)平面是用水平的實軸與垂直的虛軸建立起來的復(fù)數(shù)的幾何表示,。它可視為一個具有特定代數(shù)結(jié)構(gòu)笛卡兒平面（實平面）,，一個復(fù)數(shù)的實部用沿著 x-軸的位移表示，虛部用沿著 y-軸的位移表示,。盡管它類似于之前的平面直角坐標(biāo)系,，但是復(fù)平面卻賦予了非常深刻的思想內(nèi)涵，可以說,，人類對于復(fù)平面的探索才剛剛開始,，我們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)參透復(fù)平面的真正含義。

 我們可以初步理解一下復(fù)平面的含義,。以一個初中的一元二次方程為例,，y=x2+1，下圖即為它的平面直角坐標(biāo)系里的圖形,，由于它與x軸沒有交集,，所以它就沒有根。那它真的沒有根嗎,？

 如果把這個方程拓展到虛數(shù)的領(lǐng)域里,，就得到了下圖這樣的圖形，圖中標(biāo)記的部分,，就是該方程的虛數(shù)根,。另一個根在紙的下半部分。

從這個簡單的一元二次方程可以看出,，虛數(shù)將我們引入了另一個神秘的維度,。這個維度并不是一個我們實際中理解的二維、三維,，而是一個虛構(gòu)的維度,。在這個神秘的維度了可以任意表示二維、三維,，甚至更高維度的虛擬空間,。

那么虛數(shù)是如何通過運(yùn)算的方式解決問題的呢？

想像一下你是一位 18 世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)家,，你已經(jīng)熟練掌握了加減乘除,、三角函數(shù)、以及求多次冪,，甚至可以解高次方程的多種數(shù)學(xué)運(yùn)算手段,。但是否想到還有其他的思路呢？那就是旋轉(zhuǎn),。

例如求解x2=-1的根,，也就是 1*x  * x =-1，我們換個思路去求解,，即x 是一個什么樣的轉(zhuǎn)換數(shù),，累乘兩次就能把 1 變成 -1,？

我們不能乘以一個負(fù)數(shù)兩次，因為結(jié)果在第二次乘之后會跳回至正數(shù),。

然而如果是旋轉(zhuǎn)呢,！如果我們想像把 x “旋轉(zhuǎn) 90 度”，乘以兩次 x 的話,，即為旋轉(zhuǎn) 180 度,，1 就會變成 -1。

如果我們在想想,，會發(fā)現(xiàn)將其在其他方向（順時針）旋轉(zhuǎn)兩次也能將 1 轉(zhuǎn)換為 -1,。這是一個“負(fù)”旋轉(zhuǎn)或者說乘以 -i：

如果我們乘以 -i 兩次，第一次乘法會將 1 轉(zhuǎn)換成-i,，第二次將 -i 轉(zhuǎn)換成 -1,。所以這里實際上有兩個 -1 的平方根：i 和 -i。我們有了某種形式的答案,，但是它們意味著什么呢,？

• i (or -i) 是數(shù)字在旋轉(zhuǎn)中“形成的”；

• 乘以 i 就是逆時針旋轉(zhuǎn) 90 度,；

• 乘以 -i 就是順時針旋轉(zhuǎn) 90 度,；

• 兩種旋轉(zhuǎn)在各自的方向上都是 -1：它把我們帶回了正數(shù)與負(fù)數(shù)所在的“常

規(guī)”維度。

現(xiàn)在如果我們持續(xù)乘以 i 會怎么樣,？

1)1 = 1（這里無需簡化）

2)i = i （這里無需簡化）

3)i ^ 2 = -1 (這就是 i 的全部)

4)i ^ 3 = (i · i) · i = -1 · i = -i （3 次逆時針旋轉(zhuǎn)等于1 次順時針旋轉(zhuǎn),，非常好）

5)i ^ 4 = (i · ) · (i · i) = -1 · -1 = 1 (4 次旋轉(zhuǎn)帶來了一個“整圓”)

6)i ^ 5 = i ^ 4 · i = 1 · i = i （這里開始重復(fù)...)

所以，如果連續(xù)乘以i,，這個數(shù)就會在數(shù)軸上連續(xù)旋轉(zhuǎn)起來,，形成一個圓。如果從X軸向下移動,，就會得到一個螺旋,，這個螺旋在虛部上，就是正弦波,。

  正弦波的出現(xiàn),，使得人類的思索進(jìn)一步豁然開朗，我們宇宙是不是一個充滿波的各種組合體呢,？音樂,、流體、光線,、信號,、地震、潮汐是波，甚至包括量子力學(xué)中的波動力學(xué)也是波,，從復(fù)平面上看,，波其實就是虛數(shù)。那么虛數(shù)是否和無理數(shù),、0和無限一樣,，真實存在我們世界中呢？

前文中提及潘,、范兩位教授所發(fā)表的論文表明，虛數(shù)是真實存在我們真實的世界中,，盡管我自己理解起來感覺有些不可思議,，但還是依然堅信。

5.數(shù)學(xué)與宇宙

  愛因斯坦說過一句話：宇宙最不可理解之處,，是可以被理解,。這反映了愛因斯坦內(nèi)心深處的一個疑問。當(dāng)然,，這也可能是所有科學(xué)家共同的疑問：為什么宇宙的運(yùn)行規(guī)律可以用數(shù)學(xué)來描述,？

  通常，科學(xué)家們會說：上帝是一個數(shù)學(xué)家,。宇宙中有一種最神秘的天體---黑洞,。黑洞純粹是人類在廣義相對論的基礎(chǔ)上，純粹用數(shù)學(xué)計算出來的,。但是,，我們對黑洞的存在性卻堅信不疑。

如果認(rèn)真想一下：數(shù)學(xué)是人類的知識,，但是宇宙卻要按照數(shù)學(xué)法則來運(yùn)行,。這和愛因斯坦說的那句話是一樣的道理。

但是愛因斯坦反對這樣的理解,。因為愛因斯坦不希望這個世界是一個虛擬的世界,，但是很可能這個世界的真實存在性和愛因斯坦的想法是相反的。所以愛因斯坦才會發(fā)出那樣的感嘆：宇宙最不可理解之處,，就是它可以被理解,。

姑且這么認(rèn)為吧：也許數(shù)學(xué)的本質(zhì)是宇宙的的邏輯。