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出處：義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）解讀 編寫：義務(wù)教育數(shù)學課程標準修訂組 主編：史寧中 曹一鳴 出版社：北京師范大學出版社 如需轉(zhuǎn)載,，請注明出處與小數(shù)研修
核心素養(yǎng)的內(nèi)涵 數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)，是通過數(shù)學活動逐步形成與發(fā)展的正確價值觀,、必備品格和關(guān)鍵能力,。核心素養(yǎng)反映了數(shù)學學科的基本特征及其獨特的育人價值， 是現(xiàn)代社會公民素養(yǎng)系統(tǒng)的重要組成部分,。核心素養(yǎng)具有高度的整體性,、一致性和發(fā)展性?！?span lang='EN-US'>2022年版課標》提出的數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng),，主要包括“三會”：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界,。“三會”既反映了數(shù)學活動的基本特征，也是學生對數(shù)學基本思想的感悟和內(nèi)化的結(jié)果,，體現(xiàn)了數(shù)學學科對所有學生的教育價值,，在中小學的數(shù)學課程、教學與評價方面具有統(tǒng)領(lǐng)作用,。一、會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界《2022年版課標》首先界定了作為核心素養(yǎng)的“數(shù)學眼光”的內(nèi)涵,，表達了以下幾方面的含義,。第一，“數(shù)學眼光”是觀察現(xiàn)實世界的一種特殊方式,，其目的是透過事物的表面現(xiàn)象和各種物理屬性,，抽象出數(shù)量關(guān)系與空間形式。例如：畢達哥拉斯可以在和諧的音樂中發(fā)現(xiàn)琴弦的比例關(guān)系,；笛卡兒通過蜘蛛網(wǎng)找到了構(gòu)建直角坐標系的靈感,，將數(shù)與形巧妙地聯(lián)結(jié)在一起；牛頓在蘋果下落和天體運動之間建立了統(tǒng)一的數(shù)量規(guī)律,；愛因斯坦想象著自己以光速旅行,，看到了彎曲的時空……因此，用數(shù)學眼光觀察世界的獨特方式是基于數(shù)量關(guān)系與空間形式的數(shù)學抽象和直觀想象,?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準(2017年版和2020年修訂）》給出了“數(shù)學抽象”與“直觀想象”的內(nèi)涵與行為表現(xiàn)，它們可以看作“數(shù)學眼光”在高中階段的主要表現(xiàn)形式,。第二,，問題是數(shù)學的心臟。“數(shù)學眼光”的一個重要含義是在各種現(xiàn)實和數(shù)學的問題情境中，“看”出其中的數(shù)學規(guī)律,，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題,。從“素數(shù)之謎”到“三大作圖不能問題”， 從“費馬猜想”到希爾伯特的“23個數(shù)學問題”,， 數(shù)學這門學科之所以幾千年來都長盛不衰,，就在于擁有源源不斷的來自現(xiàn)實又超乎想象、看似簡單卻異常深刻的問題與猜想,。因此,，無論是數(shù)學學習、數(shù)學研究還是數(shù)學應(yīng)用,，
發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題都是最重要的一個環(huán)節(jié),。一些國際比較研究表明，中國學生善于解決問題,，但在發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題方面有所欠缺,。改變這種現(xiàn)狀的一個主要途徑，就是把發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題作為學生學習數(shù)學,、理解數(shù)學的一種基本方式,，幫助學生逐步形成和發(fā)展“數(shù)學眼光”。第三,，“數(shù)學眼光”在形成和理解數(shù)學基本概念,、關(guān)系和結(jié)構(gòu)方面具有重要意義。每一個數(shù)學概念,、關(guān)系和結(jié)構(gòu)的發(fā)生發(fā)展都涉及三種過程：歷史過程,、邏輯過程、心理過程,。通過探尋數(shù)學發(fā)展歷史,，可以看到數(shù)學研究對象產(chǎn)生的源泉、必要性,，以及表達方式的優(yōu)化歷程,；通過構(gòu)建不同數(shù)學對象的邏輯聯(lián)系，可以看到數(shù)學知識的來龍去脈,，理解數(shù)學概念,、關(guān)系、結(jié)構(gòu)的合理性與意義,；通過對數(shù)學對象的感性認識,、直觀想象和符號表征，可以體驗從具體到抽象的心理過程,，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗,。因此,，使學生形成和發(fā)展“數(shù)學眼光”的一條基本途徑是加強概念教學,。第四,，除了數(shù)學學習和數(shù)學內(nèi)部的問題解決外，“數(shù)學眼光”還表現(xiàn)在觀察與探索數(shù)學外部的世界上,，從數(shù)學的角度去理解自然與社會人文現(xiàn)象背后的數(shù)學原理,，體驗數(shù)學的審美價值?！罢妗迸c“美”是數(shù)學這門學科自始至終追求的目標,。從太陽、月亮的形狀到落石在水面上產(chǎn)生的波紋,，從古埃及的滾木到中國古代的車輪,，人們不僅從中抽象出完美絕倫的幾何圖形“圓”，而且揭示了車輪可以平滑前行的數(shù)學奧妙：圓心到圓周任意一點的距離都相等,。此外,，圓擁有各種各樣的對稱性，周長給定的平面圖形中圓的面積最大,，圓周上每一點的“彎曲程度”（曲率）都相同,，等等。這些數(shù)學原理在一定程度上都源自對自然界的觀察,。此外,，“數(shù)學眼光”可以激發(fā)一個人的好奇心與想象力，而好奇心與想象力是從事探究活動,、發(fā)展創(chuàng)新意識和能力的基礎(chǔ),。正如集合論的創(chuàng)始入康托所說，“數(shù)學的本質(zhì)在于它的自由”,，數(shù)學是創(chuàng)造性的藝術(shù),，“一位數(shù)學家，就像一位畫家或詩人,，是模式的創(chuàng)造者,。如果他的模式比畫家或詩入的模式能留存得更久，那是因為這些模式是用理念創(chuàng)造出來的”,。數(shù)學課程可以為學生提供各種各樣,、不同水平的創(chuàng)造活動和素材。正因為如此,，荷蘭著名數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學學習的一種基本方式,。當然，不同的人所具有的“數(shù)學眼光”在深刻性,、多樣性等方面也會有所不同,。義務(wù)教育階段的“數(shù)學眼光”主要表現(xiàn)為數(shù)感、量感、符號意識,、抽象能力,、幾何直觀、空間觀念,，以及由此進一步發(fā)展的創(chuàng)新意識,，具體要求是：通過對現(xiàn)實世界中基本數(shù)量關(guān)系與空間形式的觀察，學生能夠直觀理解所學的數(shù)學知識及其現(xiàn)實背景,；能夠在生活實踐和其他學科中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學研究對象及其所表達的事物之間簡單的聯(lián)系與規(guī)律,；能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，進行數(shù)學探究,；逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習慣,，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識,。二,、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界從古希臘開始， 數(shù)學就被稱為“思維的體操”,?！?span lang='EN-US'>2022年版課標》對“數(shù)學思維”的內(nèi)涵給出了具體的描述，表達了以下幾方面的含義,。第一,，數(shù)學思維的目的是理解與解釋現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，是一種抽象的,、一般化的思維方式,。與實驗科學不同，數(shù)學是在一些基本事實和明確的概念的基礎(chǔ)上,，通過邏輯推理來判斷結(jié)論的真實性,。自然科學中的許多結(jié)論會隨著實驗條件和人類知識的進化被推翻或者改進，而數(shù)學的邏輯體系則可以亙古不變,。例如：雖然今天的運算對象已經(jīng)超出了數(shù)的范圍,，但在所有的數(shù)系中1+1=2永遠成立；雖然今天已經(jīng)有了各種非歐幾何,，但在歐氏幾何中,，兩千多年之前確定的很多定理今天仍然讓許多人著迷。正因為數(shù)學思維的這種確定性,，在數(shù)學的發(fā)展過程中,，人們一般不需要把一個理論體系推翻重建，數(shù)學家的工作就是在原有的基礎(chǔ)上不斷地夯實,、完善,，進而產(chǎn)生各種新的思想,，拓寬數(shù)學的疆域。第二,，數(shù)學思維的基本元素是數(shù)學概念,。日常生活中的許多概念通常都具有不同程度的模糊性，如對于“好人”“幸福”這樣的自然概念,，每個人可能會有不同的理解 ,。而數(shù)學概念必須是確定的,，即使在小學階段,，許多數(shù)學概念雖然沒有給出嚴格定義，但它們?nèi)匀皇谴_定的,，如每個學生都知道什么是偶數(shù),、三角形等。數(shù)學概念的確定性是研究概念之間關(guān)系的基礎(chǔ),。此外,，數(shù)學概念的內(nèi)涵雖然是確定的，但其表現(xiàn)形式往往多種多樣,。例如：分數(shù)可以看作整數(shù)除法的結(jié)果,，也可以看作兩個離散集合的數(shù)量之比；三角形中既有銳角三角形,、直角三角形,、鈍角三角形，也有等腰三角形,、等邊三角形,。數(shù)學概念的表征多樣性使得數(shù)學思維具有高度的靈活性。第三,，在數(shù)學思維的運作過程中使用的是一些具有普適性的數(shù)學方法,。笛卡兒認為，為了確立真理,，應(yīng)該用數(shù)學方法,，因為這種方法超越了它的具體研究對象，“它比人類流傳下來的其他獲取知識的工具更有力量,，是其他工具的源泉”,。數(shù)學方法還具有高度的統(tǒng)一性。從自然數(shù)的運算,，到整數(shù),、有理數(shù)的運算，再到實數(shù),、復(fù)數(shù)的運算,，都遵循著統(tǒng)一的運算律,，代數(shù)式、方程,、函數(shù)中的各種運算在本質(zhì)上仍然是數(shù)的運算,。數(shù)學方法的這種統(tǒng)一性，使得不同學段的數(shù)學學習可以融會貫通,，許多高深的數(shù)學思想方法甚至在小學階段就可以埋下種子,，可以讓學生去體驗、感悟,，然后再逐步明晰,、精確。例如,，在小學階段就可以討論各種與分類,、秩序有關(guān)的活動，也可以初步運用對應(yīng),、對稱的思想,，而這樣的大觀念在現(xiàn)代數(shù)學中已經(jīng)無處不在。第四,，數(shù)學思維的基本形式是邏輯推理和數(shù)學運算,。從兩千多年前的古希臘開始， 數(shù)學與邏輯就始終交織在一起,，相輔相成,。《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂）》對“邏輯推理”給出了明確的界定：“邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng),。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納,、類比,；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹,。”邏輯推理作為一種求解數(shù)學結(jié)論,、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式是不可或缺的。數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展始于對具體問題或具體素材的觀察,、實驗,、歸納與類比等或然推理，但又不停留于這些活 動,，而是在此基礎(chǔ)上進一步通過比較,、分析、綜合,、概括去揭示事物的本質(zhì),，通過演繹推理得出數(shù)學結(jié)論,。數(shù)學學習和研究從來不滿足于特殊情況的結(jié)果，而是通過歸納,、類比等方法去探索研究各種對象的一般規(guī)律,，尋求解決問題的一般方法。這是在數(shù)學發(fā)展與數(shù)學學習過程中形成的數(shù)學特有的思維方式,。與邏輯推理一樣,，運算也是數(shù)學思維的一種基本形式，
特別是東方的數(shù)學傳統(tǒng)更強調(diào)通過運算解決問題,?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準(2017年版2020年修訂）》也對“數(shù)學運算”給出了具體的闡述：“數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng),。主要包括：理解運算對象,，掌握運算法則,，探究運算思路,，選擇運算方法，設(shè)計運算程序,，求得運算結(jié)果等,。”隨著計算機與大數(shù)據(jù)的發(fā)展，各種算法被廣泛應(yīng)用于信息簡約和大數(shù)據(jù)的處理,，計算思維已經(jīng)成為入工智能時代的基本素養(yǎng),。第五，為了確保數(shù)學思維的簡約,、嚴謹和一般化,，數(shù)學采用了一套人工符號系統(tǒng)。阿拉伯數(shù)字的誕生不僅統(tǒng)一了各種繁雜的記數(shù)方法,，而且極大地簡化了數(shù)的運算,；進位制的設(shè)置不僅解決了表示大數(shù)的困難，而且厘清了數(shù)位之間的邏輯關(guān)系,；未知數(shù)的引入使得代數(shù)成為一種在一般層面上解決問題的科學,，變量與坐標系的出現(xiàn)使得人們可以研究稍縱即逝的運動與變化過程，成為現(xiàn)代數(shù)學的起源,；而集合論的問世使得數(shù)學可以重建自己的根基,。因此，數(shù)學的這套人工符號系統(tǒng)不僅是數(shù)學對象的精確表達,，也是數(shù)學思維的載體與工具,。此外，數(shù)學思維還可以幫助學生形成重論據(jù),、有條理,、合乎邏輯的思維品質(zhì),，培養(yǎng)學生的科學態(tài)度與理性精神。數(shù)學思維作為學生的核心素養(yǎng),，在義務(wù)教育階段的主要行為表現(xiàn)是“運算能力”,、“推理意識”（小學）與“推理能力”（初中）， 具體要求是：通過經(jīng)歷獨立的數(shù)學思維過程,，學生能夠理解數(shù)學基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展,，數(shù)學基本概念之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系,；能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學的基本方法與結(jié)論,，分析、解決簡單的數(shù)學問題和實際問題,；能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學規(guī)律,，經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程；發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維,，形成實事求是的科學態(tài)度,，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì),，逐步形成理性精神,。在運算方面，主要關(guān)注數(shù)與代數(shù)式的運算,，要求學生在理解算理的基礎(chǔ)上靈活,、熟練地運用各種算法解決問題。在推理方面,，更強調(diào)歸納,、類比的推理形式，以及在推理過程中直觀經(jīng)驗的運用,，在邏輯的嚴謹程度上可以適當降低要求,。三、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界語言是思維的載體,，數(shù)學語言承載著數(shù)學的基本思想,。《2022年版課標》對“數(shù)學語言”的內(nèi)涵闡述包括兩層含義：①在數(shù)學內(nèi)部能夠用數(shù)學語言清晰,、準確,、嚴謹?shù)乇磉_數(shù)學的研究對象（概念、關(guān)系和結(jié)構(gòu)）及思想方法,，利用數(shù)學語言進行思考,、交流和解決問題，其中所運用的是一套形式化的人工符號系統(tǒng),；②用數(shù)學描述,、解釋和解決現(xiàn)實世界中的實際問題,，其中的主要表達方式是數(shù)學模型與數(shù)據(jù)。第一,，通過數(shù)學學習學生應(yīng)該逐步適應(yīng)數(shù)學的表達方式,。按照布魯納的表征理論， 數(shù)學對象的表征一般可以分為三個階段,，即操作性表征,、表象性表征、符號性表征,。通過這種具體到抽象的表征發(fā)展過程,，一方面使得數(shù)學概念和性質(zhì)的表征越來越明確、嚴謹,，可以直接參與數(shù)學思維活動,；另一方面可以使學生在符號表達與具體直觀之間建立聯(lián)系，逐步學會用數(shù)學語言表達自己的想法,，解釋現(xiàn)實世界中的數(shù)學規(guī)律,。第二，數(shù)學建模是數(shù)學應(yīng)用的基本方式,，是數(shù)學與現(xiàn)實世界及其他學科交流的基本途徑,。《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》對“數(shù)學建?！钡谋硎鰹椋?span lang='EN-US'> “數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解 決問題的素養(yǎng),。數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題,、提出問題，分析問題,、建立模型,，確定參數(shù)、計算求解,，檢驗結(jié)果,、改進模型，最終解決實際問題,。”通過數(shù)學建?；顒樱瑢W生“能有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界,，發(fā)現(xiàn)和提出問題,，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)；學會用數(shù)學模型解決實際問題,，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗,；認識數(shù)學模型在科學,、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用,，提升實踐能力,，增強創(chuàng)新意識和科學精神”。在義務(wù)教育階段,， 雖然不能像高中階段那樣開展完整的數(shù)學建?；顒樱梢酝ㄟ^建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,，以及各種簡單的數(shù)學應(yīng)用問題,，使學生初步形成模型意識與模型觀念。第三,，數(shù)據(jù)是表達隨機現(xiàn)象的基本工具,。隨著信息技術(shù)的普及和社會經(jīng)濟的發(fā)展，當今社會已經(jīng)邁入了大數(shù)據(jù)時代,，“用數(shù)據(jù)說話”既是這個時代的特征,，也是全社會的共識。“用數(shù)據(jù)說話”的核心是通過分析數(shù)據(jù)探索事物發(fā)展的量化特征和規(guī)律,，達到認識世界,、設(shè)計世界和管理世界的目的?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準(2017年版2020年修訂）》中是這樣闡述“數(shù)據(jù)分析”內(nèi)涵的：“數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù),，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷,，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng),。”因此，數(shù)據(jù)是表達,、解釋現(xiàn)實世界中隨機現(xiàn)象,，并得出統(tǒng)計推斷與決策的基本形式。增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識,，可以幫助學生形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì),，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、聯(lián)系和規(guī)律的活動經(jīng)驗,。此外,，從畢達哥拉斯到伽利略，再到愛因斯坦,，人們相信：大自然是用數(shù)學語言譜寫的,，宇宙在其結(jié)構(gòu)和運作上都是數(shù)學化的，只有通過數(shù)學表達的物理性質(zhì)才可以被人類理解，如果沒有數(shù)學語言,，“人類會徒勞地在黑暗的迷宮中游蕩”（伽利略語）,。馮·諾依曼在題為“數(shù)學在科學和社會中的作用“(The Role of Mathematics in
Science and Society) 的著名演講中，解釋了很多偉大的數(shù)學思想雖然是在沒有考慮任何用途或使用價值的清況下發(fā)展起來的,，但歷史的進程都表明,，這些理論、模型和方法卻可以
用來解決和回答某些截然不同的知識領(lǐng)域里的問題,。同時,，很多數(shù)學思想已經(jīng)變得無處不在，盡管數(shù)學似乎遠離現(xiàn)實,， 但是我們幾乎可以在生活的各個方面發(fā)現(xiàn)它的蹤影,。因此，數(shù)學這門學科本身就具有語言的特征,，可以揭示自然現(xiàn)象背后的普遍規(guī)律,，為其他學科提供精確的表達方式。數(shù)學語言不僅有助千學生認識現(xiàn)實世界,，也有助千他們學習其他的科學知識,，發(fā)展應(yīng)用意識與實踐能力。在義務(wù)教育階段,，數(shù)學語言素養(yǎng)的具體要求是：通過經(jīng)歷用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程,， 學生初步感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的交流方式；能夠有意識地運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實生活與其他學科中事物的性質(zhì),、關(guān)系和規(guī)律,，并能解釋表達的合理性；能夠感悟數(shù)據(jù)的意義與價值,，有意識地使用真實數(shù)據(jù)表達,、解釋與分析現(xiàn)實世界中的不確定現(xiàn)象；欣賞數(shù)學語言的簡潔與優(yōu)美,，逐
步養(yǎng)成用數(shù)學語 言表達與交流的習慣，形成跨學科的應(yīng)用意識與實踐能力,。數(shù)學語言素養(yǎng)在小學階段的主要表現(xiàn)是“數(shù)據(jù)意識”與“模型意識”,，在初中階段的主要表現(xiàn)是“數(shù)據(jù)觀念”和“模型觀念”，同時,，把“應(yīng)用意識”作為兩個學段的共同要求,。由于數(shù)學學科的核心素養(yǎng)是一種內(nèi)隱的心理特征，只有在相關(guān)的具體數(shù)學活動中才能逐步形成,、發(fā)展,、表現(xiàn)與評價，因此在實際的數(shù)學課程、教學與評價中,，需要把核心素養(yǎng)細化為外顯的,、可操作的、可觀察的,、可測量的行為表現(xiàn),。根據(jù)不同學段的數(shù)學知識特征及學生的認知發(fā)展水平，《2022年版課標》分別提出了具體的要求,。表5-1給出了“三會”與小學,、初中、高中三個階段的主要表現(xiàn)之間的關(guān)系,。從上表可以看到,，《2022年版課標》在提煉核心素養(yǎng)的階段表現(xiàn)時，考慮到了以下幾個方面,。1. 核心素養(yǎng)在不同階段的表現(xiàn)具有一致性,，反映了數(shù)學的基本思想與活動特征；同時,，核心素養(yǎng)也有一個發(fā)展的過程,，不同階段有不同的水平特征。按照“會思考,，會做事”的要求,，大致可以把核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)分成以下三個層次。（1）數(shù)學意識,。這是一種基于經(jīng)驗的感悟,，是學生通過多次參與某種數(shù)學活動， 逐步形成的對活動特征,、過程與操作方法的感性認識,，其中既有感知的成分又有思維的成分。其特點是：具體化,、個性化與波動性,，還沒有形成明確的、穩(wěn)定的思考與做事原則,。（2）數(shù)學觀念,。這是一種基千概念的理解，是學生通過理解學科的基本概念,，逐步形成的對學科特征,、問題與思考方式的理性認識。其特點是帶有學科特征,，相對穩(wěn)定,，
對如何進行數(shù)學思考、解決數(shù)學問題有一定的指導作用。（3）關(guān)鍵能力,。這是一種基于問題解決的穩(wěn)定的心理特征,，是學生在掌握數(shù)學“雙基”的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學活動和問題解決將數(shù)學基本思想方法內(nèi)化的結(jié)果,。其特點是可以外顯為問題解決的效率與思維品質(zhì),。學生在小學階段和初中階段的認知發(fā)展具有明顯的階段特征，與之對應(yīng)的數(shù)學課程要求也存在差異,。因此,，《2022年版課標》將核心素養(yǎng)的表現(xiàn)分為小學與初中兩個階段。小學階段除了運算能力和空間觀念外,，主要是形成初步的數(shù)學意識,；初中階段則形成相對明確的觀念，并發(fā)展更多的數(shù)學關(guān)鍵能力,。2. 核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展需要依托具體的數(shù)學內(nèi)容,。義務(wù)教育數(shù)學課程內(nèi)容由“數(shù)與代數(shù)”“圖形與兒何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個學習領(lǐng)域組成，由此可以大致提煉出與領(lǐng)域相關(guān)的核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn),。例如,，數(shù)感、量感,、符號意識主要針對“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域,，幾何直觀、空間觀念同“圖形與幾何”領(lǐng)域聯(lián)系密切,，數(shù)據(jù)意識與數(shù)據(jù)觀念主要源自“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域,，而抽象能力、運算能力,、推理意識與推理能力,、模型意識與模型觀念則貫穿在所有的數(shù)學學習領(lǐng)域之中。當然,，由于數(shù)學本身具有高度的整體性,，各領(lǐng)域的數(shù)學知識之間都有密切的聯(lián)系，因此核心素養(yǎng)的各種行為表現(xiàn)也具有高度的相關(guān)性,。3. 核心素養(yǎng)的階段性表現(xiàn)是落實核心素養(yǎng)的主要方面,。從心理測量的角度看，需要根據(jù)各種行為表現(xiàn)給出具體的,、可觀察的、可測益的行為指標體系及相應(yīng)的樣例集,?！?span lang='EN-US'>2022年版課標》雖然針對小學與初中分別提煉了11個和9個核心素養(yǎng)的階段性表現(xiàn)， 也闡述了每個表現(xiàn)的內(nèi)涵與主要的行為指標， 但要真正落實到課程,、教學與評價中去,， 還需要根據(jù)不同的數(shù)學學習領(lǐng)域?qū)@些行為指標進一步細化。在本章,，我們將進行一些初步的細化工作,，更多的行為指標及樣例還需要廣大教師在教學實踐中提煉、研究與設(shè)計,。此外,，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識是一種跨學科的行為表現(xiàn)。數(shù)學學科除了可以培養(yǎng)一些具有學科特征,、反映理性精神的核心素養(yǎng)（如抽象能力,、推理能力、模型觀念）外,，在培養(yǎng)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識方面也有著不可替代的教育價值,。數(shù)學具有廣泛的應(yīng)用性，義務(wù)教育階段的絕大多數(shù)數(shù)學概念都直接源于現(xiàn)實世界,，學生具有豐富的相關(guān)生活經(jīng)驗,，
綜合與實踐也讓數(shù)學應(yīng)用走進了日常的數(shù)學課堂，因此數(shù)學應(yīng)用是數(shù)學學習的一種基本方式,。同時,，數(shù)學又是一門充滿活力的學科，數(shù)學中的各種概念,、問題,、猜想都為學生的探究與發(fā)現(xiàn)提供了大量的機會，數(shù)學中的“再創(chuàng)造”已經(jīng)成為一種國際化的數(shù)學教學理論,。
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