一杯茶

十字交叉法是進行二組混合物平均量與組分計算的簡便方法,。十字交叉法在數(shù)學,、物理和化學領域應用很廣，這里只對用十字交叉法解答小學數(shù)學濃度問題進行探討與推介,。

一,、知識要點

在講用十字交叉法解濃度問題前要掌握幾個重要的知識點：

溶質(zhì)：溶液中被溶劑溶解的物質(zhì)?？梢允枪腆w（如白糖,、鹽等）、液體（如酒精,、鹽酸等）,、氣體（如氧氣,、二氧化碳等）。

溶劑：溶液中能溶解溶質(zhì)的物質(zhì),。常見的有水,、酒精等。

溶液：溶質(zhì)和溶劑的混合物,。

濃度：溶質(zhì)與溶液的比值,。一般用百分比表示。

溶液質(zhì)量＝溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量

濃度＝×100%＝×100%

二,、基本原理

十字交叉法的基本原理簡單地說就是：混合前溶液中所含溶質(zhì)的質(zhì)量要等于混合后溶液中所含溶質(zhì)的質(zhì)量。換個說法就是:高濃度溶液所析出的溶質(zhì)質(zhì)量要等于低濃度溶液所吸收的溶質(zhì)質(zhì)量,。

十字交叉法是在解答溶液混合問題時總結歸納出來的,。假如有兩種質(zhì)量分別為m和n的溶液，它們的濃度分別是a與b,，混合后濃度為k,。（定a＞k＞b）

根據(jù)混合前溶液中所含溶質(zhì)的質(zhì)量要等于混合后溶液中所含溶質(zhì)的質(zhì)量的原理，可得等式

ma＋nb＝（m＋n）k

既        ＝

在解題過程中,，一般將此式寫成如下形式：

這就是十字交叉法的基本模型,。十字交叉有兩種含義：㈠交叉相減計算濃度差（計算濃度差時要用高濃度減去低濃度），濃度差的比就是兩種溶液在混合液中所占的比,；㈡交叉相乘建立高濃度溶液所析出的溶質(zhì)質(zhì)量與低濃度溶液所吸收的溶質(zhì)質(zhì)量二者之間的相等關系,。依據(jù)這兩個相等關系就可以計算出濃度問題中所要求的數(shù)量。

十字交叉模型也可用如下表格形式表示：

表中“最簡比”指的是濃度差的最簡整數(shù)比,。

三,、應用舉例

例1、現(xiàn)有濃度為30%的糖水500克,，要配制成濃度為18%的糖水,，需要加入濃度為10%的糖水多少克？

分析與解：本題是一道典型的濃度問題,，用十字交叉法解答較簡便,。可設需要加入濃度為10%的糖水χ克,。

   500：χ＝2：3

        Χ＝750

答：需要加入濃度為10%的糖水750克,。

例2、甲,、乙兩種酒分別含酒精75%和55%,，要配制含酒精65%的酒3000克，應當從甲種酒中取多少克,？

分析與解：混合前所含酒精量與混合后所含酒精量要相等,。適合用十字交叉法解答,。

甲：乙＝1：1

     甲    3000×＝1500（克）

答：應當從甲種酒中取1500克。

例3,、現(xiàn)有濃度為20%的鹽水100克,，若加入相同質(zhì)量的鹽和水后，變成濃度為30%的鹽水,，問要加入多少克鹽,？

分析與解：題中有句話要轉化理解，“加入相同質(zhì)量的鹽和水”就相當于加入濃度為50%的鹽水,。設要加入Χ克鹽,，則相當于加入了2Χ克50%的鹽水。

2χ×2＝100×1

           Χ＝25

答：要加入25克鹽,。

例4,、在濃度為40%的鹽水中加入1千克水，濃度變?yōu)?/span>30%,，再加入多少千克鹽濃度變?yōu)?/span>50%,？

分析與解：本題是一道較為復雜的濃度問題，濃度為40%的鹽水的量不知道有多少,，所以要進行兩次十字交叉才能求得最后結果,。第一次十字交叉計算出原有濃度為40%的鹽水多少千克，完善解題條件,；第二次十字交叉計算要加多少千克鹽,。加入“1千克水”可看成是加入了濃度為0%的鹽水1千克?！霸偌尤攵嗌偾Э他}”可看成加入濃度為100%的鹽水,。

設原有濃度為40%的鹽水χ千克，再加入y千克鹽濃度變?yōu)?/span>50%,。

       Χ：1＝3：1    χ＝3

就是原有濃度為40%的鹽水3千克,，加入1千克水后，變?yōu)闈舛葹?/span>30%的鹽水4千克了,。

4：y＝5：2     y＝1.6

答：再加入1.6千克鹽濃度變?yōu)?/span>50%,。

例5、取40克甲種酒精溶液和60克乙種酒精溶液 ,，混合后得到濃度為50%的酒精溶液,。若取同等質(zhì)量的甲、乙混合,，得到的酒精溶液濃度為48%,。求甲、乙酒精的濃度,。

分析與解：本題條件與問題之間的關系較為復雜,，要進行特殊轉化才能使條件與問題之間的關系變得清晰明朗,，有利于運用十字交叉解決問題。設甲,、乙兩種酒精的濃度分別是a與b,。

特殊轉化：“取40克甲種酒精溶液和60克乙種酒精溶液”，先看成“甲,、乙兩種酒精各取40克,，再加入乙種酒精20克”，再看成“取濃度為48%的酒精80克再加入乙種酒精20克”,。

80：20＝(b－50%):2%

b＝58%

          40：40＝10%：（48%－a）

               a＝38%

答：甲,、乙兩種酒精的濃度分別是58%和38%。

用十字交叉法計算濃度差時,，一定要用高濃度減低濃度,，如果某種溶液的濃度是用字母表示的，那就要先判斷那個是高濃度,、那個是低濃度?？傊?，若一種溶液的濃度比混合后的溶液濃度高，則另一種溶液的濃度就比混合后的溶液濃度低,。