九章算術之后近一千五百多年，才又由歐洲的萊布尼茨,，以及日本江戶時代一個叫關效和的武士,，再次發(fā)現(xiàn)了行列式的秘密。也就是我們今天的線性多元一次方程組的系數(shù)排列組合,。這個叫關效和的武士非常神奇,，因為他對冪數(shù)列的研究，已經(jīng)差一點點就要發(fā)現(xiàn)微積分了,。

上述研究倒了19世紀初,，終于被柯西發(fā)展為現(xiàn)代矩陣代數(shù)。19世紀開始,，代數(shù)向著更抽象的領域發(fā)展——先是布爾發(fā)明了布爾代數(shù)——以純粹的代數(shù)符號來替代了此前限于文字表達的邏輯學,，把邏輯學發(fā)展為數(shù)學的一個領域；接著就是凱萊就著矩陣代數(shù)發(fā)明了群論group,，伽羅瓦發(fā)明了域論fields,。

凱萊所謂的群，是指一些對象的集合,，這些對象在集合里通過一定的法則發(fā)生關系,，主要是乘法關系,，好比就是一些對象之間的乘法表。群論的作用主要是通過不同群之間的置換,，即不斷變更代數(shù)符號和對應關系,，來實現(xiàn)對多項式方程求解。

伽羅瓦的域是指一個數(shù)系,，在這個數(shù)系中,，不論對哪個具體數(shù)進行四則計算，得到的新數(shù)都在這個域以內(nèi),。比如自然數(shù),、整數(shù)都不是域，因為兩個自然數(shù),，兩個整數(shù)相除得出的結果可能不是整數(shù),；而有理數(shù)則是一個域，實數(shù)也構成一個域,，復數(shù)也構成一個域,。域可以擴張，也可以收縮,。

有了域,，伽羅瓦就可以把任何一個多項式方程的求解，都變化為方程的系數(shù)所在的域,，和方程的解所在的域的關系問題,。

也就是說，系數(shù)可以構成一個域,，解也可以構成一個域，很有可能方程的解并不在系數(shù)所在的域,，意味著光是憑系數(shù)無法得出方程的全部解,，那么就可以通過擴張系數(shù)的域，來解決此問題,。而擴張的方式,，就利用群論的置換方法，把系數(shù)的域置換為解的域,，從而求解,。

伽羅瓦的偉大洞察力在于，運用域?qū)θ哼M行結構分析,，他發(fā)現(xiàn)群的結構對于群的置換有著極大的影響力,，由此，他發(fā)現(xiàn)了群結構的特征——正規(guī)子群的存在,。

正是正規(guī)子群,，決定了一個多項式方程的代數(shù)解形式,，最終他得到了判斷一個多項式方程是否有代數(shù)解的方式，終結了此前一千余年對于多次方程求代數(shù)通解的努力,。

伽羅瓦生活在19世紀30年代的法國巴黎,，這正是雨果《悲慘世界》那個年代，法國充滿了政治動蕩,，不斷爆發(fā)?；庶h和革命黨的沖突。伽羅瓦18歲喪父,，孤僻,、古怪、聰明,，進入巴黎高等師范學院學習,。19歲他就已經(jīng)基本完成了上述關于“域論”的研究，并提交了相關論文,。這些論文就連當時的泊松,、柯西、傅里葉也看不大懂,！

伽羅瓦熱情地參與了當時的革命,，兩次入獄，在20歲這年,，也就是1832年,，他莫名其妙地卷入一場沖突，帶著失戀的情緒與他人決斗,，大約是俄羅斯輪盤賭的方式,，死于決斗。他死后十年,，他的論文才重新被人發(fā)表并發(fā)現(xiàn)價值,。

最可怕的不是伽羅瓦解決了多項式方程的代數(shù)通解問題，而是他解決這個問題發(fā)明的工具——群和域,。

拉格朗日后來給群下一個規(guī)則定義：一個群必須滿足四個條件,，封閉性（各個對象都可以通過法則與其他所有對象發(fā)生聯(lián)系）、結合律（對象之間滿足乘法結合律）,、單位元（必須有一個元素,，某個對象與之發(fā)生關系時，其他對象都不發(fā)生變化,，這個單位元一般是1）,、逆元（每個對象都存在一個逆對象，兩者相乘等于1）。

可以看到,，抽象掉數(shù)字,，甚至于抽象掉代數(shù)后，群可以拓展為任何一種關系組合,。伽羅瓦發(fā)明的域就更復雜一些,，需要十條公理來定義。

到伽羅瓦去世十年之后,，高斯又提出了介于群和域之間的“環(huán)”概念,。所謂“環(huán)”，就是一組對象之間只能進行四則運算中的“加,、減,、乘”三種運算的集合。

這其實就是高斯在處理多項式之間的四則運算時得出的一個神奇的東西——你可以把任何含有x的方程進行加減乘除,，得到一個新的方程,，但你無法確保對兩個方程使用除法得到新的方程吧。

19世紀中葉,，隨著拉普拉斯,、拉格朗日、柯西等一代去世,，法國的數(shù)學開始衰落,。代之而起的是德國的數(shù)學。

德國之所以能在19世紀中葉涌現(xiàn)出一批耀眼明星——高斯,、愛森斯坦,、黎曼、庫默爾,，在于拿破侖戰(zhàn)爭之后,，對法國的失敗促使普魯士開展了全面的教育體制改革，從學制到師資體制,，僅僅用了不到四十年,，德國就成了歐洲的數(shù)學中心，并且一下子出來兩個中心——柏林和哥廷根,。

柏林以純粹、嚴謹和致密為風格,，是典型的羅馬風格,；哥廷根則以想象力和幾何化為風格，是典型的雅典風格,。對于柏林大學的魏爾斯特拉斯,，任何一個結論如果沒有滿8頁的證明，他不屑一看；對于哥廷根大學的黎曼而言,，他只暢想于彎曲的空間和平面上,，只是偶爾停下來匆匆給出一個證明。

19世紀下半葉,，德國還出了個神人——?，斉枴だ箍耍?strong>此人在1868年到1927年間連續(xù)27年拿了國際象棋世界冠軍,，連續(xù)27年,！這紀錄當然至今無人能挑戰(zhàn)。

他的神奇在于,，一邊參加各種象棋比賽賺錢,，一邊讀數(shù)學博士學位，33歲師從希爾伯特拿到了博士學位,。

他對代數(shù)的貢獻,，是繼續(xù)深化了“環(huán)”研究，提出了非常深奧的“準素數(shù)理想”概念——我看了半天,，琢磨了一天也沒弄懂是什么意思,，就沒法給大家做簡單介紹了，建議感興趣的還是看原文吧,。

拉斯克是猶太人,，所以在納粹德國遭受迫害，出逃到了美國,，并在那里早逝,。

接著他工作的，是來自法國的女數(shù)學家埃米·諾特,，她的成才經(jīng)歷說明了此前德國教育改革之成功——當時只有德國的大學能夠接受女性作為旁聽生,。

于是諾特到了埃爾朗根大學，并在那里拿到了博士學位,，當時也只有德國的大學能夠給女博士提供講師席位,。她也致力于對“環(huán)”的研究，提出了“諾特環(huán)”和“拉斯克-諾特定理”,，把代數(shù)公理化,，從近代推進到了現(xiàn)代。

諾特最著名的成就,，是把群-域-環(huán)理論,，用于解決愛因斯坦搞不定的“洛倫茲變換”——如果還記得的話，大家應該知道,，群就是用來置換數(shù)系的,。諾特處理的，正是愛因斯坦的坐標系——三個空間坐標和一個時間坐標如何轉換（參考系變換）的問題。

愛因斯坦確實在純數(shù)學領域較為欠缺,，所以當他遇到解決不了的問題時,，就找哥廷根的希爾伯特，希爾伯特就把諾特介紹了過去,，解決了這個問題,，給出了一個廣義相對論中極為重要的數(shù)學定理——拉斯克·諾特定理。

群的置換,、環(huán)的映射,，與坐標系的轉換聯(lián)系到了一起，坐標系本來就是解析幾何的核心,，于是,，代數(shù)又一次與幾何聯(lián)系到了一起。

19世紀初,，拿破侖兵敗俄國茫茫雪原,，龐大軍隊撤去之后，留下了一群等死的俘虜,。其中有一個叫維克托·龐斯列的軍官,，他被迫整整苦行五個月，穿越雪原到薩拉托夫戰(zhàn)俘營服刑,。

純粹出于消遣和打發(fā)時間,，龐斯列開始回憶他在巴黎理工大學的數(shù)學課程，寫他的幾何學,。

1814年他被釋放返回法國時,，他已經(jīng)寫滿了整整七本數(shù)學筆記！他整理之后成了現(xiàn)代射影幾何學名著《論圖形的射影性質(zhì)》,。

龐斯列重新把幾何帶入了19世紀數(shù)學家們的視野,，這引發(fā)了希爾伯特、黎曼,、羅巴切夫斯基們再次用代數(shù)解析幾何,，用幾何描繪代數(shù)——最經(jīng)典的象征，就是黎曼使用一個自相交的曲面來描繪函數(shù),，這些都隱約地暗示了一個新的領域——拓撲學,。

拓撲學是典型的代數(shù)幾何學，正因為有了群,、域,、環(huán)和簇等代數(shù)工具，讓人們可以設想原本是堅硬固定的空間,，也是可以伸縮變換的。拓撲學的本質(zhì)就是橡皮幾何學，球面可以通過拉伸,、收縮,、擠壓，變換成其他類型的曲面,，而這一曲面與球面是“等值”的,。

黎曼以及后來的龐加萊就是把群和域的代數(shù)概念與曲面聯(lián)系了起來。這需要想象力——想象一個球面,，球面上任意一個點,，從這個點，沿任何方向,，直線前進,，你都可以回到這個點吧。

最為關鍵的是,，你走過的軌跡,，不論它沿任何方向收縮，都可以毫無障礙（光滑,、連續(xù)）地收縮為這個點,。每條路徑，構成一個多項式,，而這所有的多項式,，實際上就構成了代數(shù)上的一個群。

再想象一下面包圈的樣子,，從面包圈上任意一個點出發(fā),，任何方向前進，也可以回到這個點,，但并不是所有的軌跡,，都能夠光滑無障礙地收縮為這個點——得想象一下。

上述所謂軌跡,，在拓撲學上就叫閉路,，一條閉路可以光滑地變形為另一條閉路，那么這兩條閉路就是拓撲等價的,，只不過是被拉扯擠壓了一下變了樣子而已,。

龐加萊借助代數(shù)，形成了這樣著名的想象——三維空間中的球面,，與一個彎曲的三維空間（即四維空間）也可以是拓撲學等價的,。

進入二十世紀后，代數(shù)既給玄幻的理論物理學源源不斷地提供奇特的數(shù)學工具,，又在逐步把哲學思想公理化,、標準化,！

在數(shù)學家們看來，世界是可以被構造出來的——那么多完全來源于數(shù)學家虛空幻想的方程式,、模型,，居然就能和宏觀宇宙、微觀粒子間的運動模式“咔吧”地契合到一起,，兩者之間并沒有誰先誰后,，而似乎是完全并行的過程。

如二十世紀中葉出現(xiàn)的范疇論,，幾乎就把康德哲學中的概念公理化了,。當代代數(shù)家們認為，諸如群,、域,、環(huán)、向量空間這些代數(shù)對象,，都是由各種元素以及合成這些元素的方式構成的,。

我們的運算過程實際上就通過特定法則，把一種對象轉換,、置換或者映射為另一種對象,。在這個過程中，對象自身的結構和特性會得到充分的展現(xiàn),。

像當代數(shù)學家艾倫伯格,、麥克萊恩就認為，這種轉換過程,，在不同的元素和不同的法則中,，其實是一樣的，可以把這種代數(shù)結構一般化,。這種提煉出來的最大類似性的映射法則,，就是一個范疇。

這完全是高度的抽象空想,，然而這些范疇就能用于描繪甚至解釋世界某個層面,、某個環(huán)節(jié)的運動變化。

不是理性為自然立法是什么,？

最后,，引用當代的一位神奇的數(shù)學家格羅騰迪克的描述：每一門科學，當我們不是把它作為能力和統(tǒng)治的工具,，而作為人類世代以來孜孜追求的對知識的冒險歷程時,，就是這樣一種和諧，從一個時期到另一個時期,，或多或少,，巨大而又豐富：在不同的時代和世紀中,，對于依次出現(xiàn)的不同的主題，它展現(xiàn)給我們微妙而精細的對應,，仿佛來自虛空,。