1、人船問(wèn)題：

人船系統(tǒng)在相互作用下各自運(yùn)動(dòng),，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中該系統(tǒng)所受到的合外力為零,，即人和船組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量守恒。

2,、兩類(lèi)問(wèn)題

第一類(lèi)：直線運(yùn)動(dòng)的人船模型

如圖,，質(zhì)量為M的船停在靜止的水面上，船長(zhǎng)為L,，一質(zhì)量為m的人,，由船頭走到船尾，若不計(jì)水的阻力,，則整個(gè)過(guò)程人和船相對(duì)于水面移動(dòng)的距離,？

設(shè)人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，人和船相對(duì)于水面的速度分別為和

由動(dòng)量守恒定律得：

由于人在走動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻人和船的速度和均滿足上述關(guān)系

,，

可得：

第二類(lèi)：曲線運(yùn)動(dòng)的人船模型

如圖所示,，小球質(zhì)量為m，軌道質(zhì)量為M,，半徑為R,，將m靜止釋放，不計(jì)阻力,，分析結(jié)論.

運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn),，水平方向上動(dòng)量守恒

動(dòng)量守恒：mv_m=Mv_M

移動(dòng)距離：mv_m t=Mv_M t即mx_m =Mx_M

位移之和：x_m+x_M =R

聯(lián)立解得：x_m=R，x_M =R

運(yùn)動(dòng)到另外一端最高點(diǎn),，水平方向上動(dòng)量守恒

動(dòng)量守恒：mv_m=Mv_M

移動(dòng)距離：mv_m t=Mv_M t即mx_m =Mx_M

位移之和：x_m+x_M =2R

聯(lián)立解得：

例1,、氣球質(zhì)量200kg截有質(zhì)量為50kg的人,，靜止在空中距地面20m高的地方，氣球下懸一質(zhì)量不計(jì)的繩子,，此人想從氣球上沿繩慢慢下滑至地面,，為安全到達(dá)地面，則這根繩至少多長(zhǎng),？

解：人與氣球組成的系統(tǒng)豎直方向動(dòng)量守恒

由動(dòng)量守恒得：m₁v₁﹣m₂v₂＝0

即：m₁﹣m₂＝0

繩子長(zhǎng)度：L＝s_氣球+s_人

解得：L＝25m

例2,、如圖所示，質(zhì)量分別為m₁和m₂（m₁＞m₂）的兩個(gè)人分別站在靜止于光滑水平面上的質(zhì)量為M的小車(chē)的兩端,，小車(chē)長(zhǎng)為L,，當(dāng)兩人交換位置時(shí)，車(chē)將向哪個(gè)方向移動(dòng),？移動(dòng)多大距離,？

解：設(shè)當(dāng)兩人交換位置時(shí)，車(chē)將向右移動(dòng)的距離為x,。

則在此過(guò)程中,，質(zhì)量m₁的人相對(duì)于地的位移為x+L

質(zhì)量m₂的人相對(duì)于地的位移為L﹣x

由動(dòng)量守恒定律和速度公式得：

0＝M+m₁﹣m₂

解得 x＝﹣L

因?yàn)?/span>m₁＞m₂，所以x＜0,，說(shuō)明小車(chē)向左移動(dòng)

答：當(dāng)兩人交換位置時(shí),，車(chē)將向左移動(dòng)，移動(dòng)距離為L,。

練習(xí)

1．有一條捕魚(yú)小船?？吭诤叴a頭，小船又窄又長(zhǎng)（估計(jì)一噸左右）,。一位同學(xué)想用一個(gè)卷尺粗略測(cè)定它的質(zhì)量,。他進(jìn)行了如下操作：首先將船平行碼頭自由停泊，輕輕從船尾上船,，走到船頭后停下來(lái)，而后輕輕下船,。用卷尺測(cè)出船后退的距離為d,，然后用卷尺測(cè)出船長(zhǎng)L，已知他自身的質(zhì)量為m,，則漁船的質(zhì)量為（　?。?/span>

A．

B．

C．

D．

解：設(shè)人走動(dòng)時(shí)船的速度大小為v，人的速度大小為v′,，人從船尾走到船頭所用時(shí)間為t,。取船的速度為正方向。

則 v＝,，v′＝

根據(jù)動(dòng)量守恒定律：Mv﹣mv′＝0,，

則得：M＝m

解得漁船的質(zhì)量：M＝

故選：B,。

2．如圖所示，在光滑的水平面上,，有一靜止的小車(chē),，甲、乙兩人分別站在小車(chē)左,、右兩端,。當(dāng)他倆同時(shí)相向而行時(shí)，發(fā)現(xiàn)小車(chē)向右運(yùn)動(dòng),，下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>

A．乙的速度必定小于甲的速度????

B．乙的速度必定大于甲的速度????

C．乙的動(dòng)量必定小于甲的動(dòng)量????

D．乙對(duì)小車(chē)的沖量必定大于甲對(duì)小車(chē)的沖量

解：ABC、甲,、乙兩人相向而行的過(guò)程中,，甲、乙兩人及小車(chē)組成的系統(tǒng)所受的合外力為零,，系統(tǒng)動(dòng)量守恒,，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：m_甲v_甲+m_乙v_乙+m_車(chē)v_車(chē)＝0，小車(chē)向右運(yùn)動(dòng),，小車(chē)的動(dòng)量方向向右,，說(shuō)明甲與乙兩人的總動(dòng)量向左，因乙向左運(yùn)動(dòng),，甲向右運(yùn)動(dòng),，則乙的動(dòng)量必定大于甲的動(dòng)量，但是由于不知兩人的質(zhì)量關(guān)系,，故無(wú)法確定兩人的速度大小關(guān)系,，也不能確定兩人動(dòng)能大小關(guān)系，故ABC錯(cuò)誤,；

D,、對(duì)小車(chē)分析可知，小車(chē)向右運(yùn)動(dòng),，由動(dòng)量定理可知,，小車(chē)受外力的沖量向右，人在行走時(shí)對(duì)小車(chē)的沖量與人的運(yùn)動(dòng)方向相反,，則說(shuō)明乙對(duì)小車(chē)的沖量大于甲對(duì)小車(chē)的沖量,，故D正確。

故選：D,。

3．如圖所示,，一個(gè)傾角為α的直角斜面體靜置于光滑水平面上，斜面體質(zhì)量為M,，頂端高度為h,，今有一質(zhì)量為m的物體（M＞m,，且物體可以看做質(zhì)點(diǎn)），沿光滑斜面下滑,，當(dāng)物體從斜面頂端自由下滑到底端時(shí),，斜面體在水平面上移動(dòng)的距離是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：物體與斜面在水平方向上動(dòng)量守恒,，設(shè)物塊的速度方向?yàn)檎较?，則有：

mv₁﹣Mv₂＝0

運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，則有：

ms₁﹣Ms₂＝0

由題意可知,，s₁+s₂＝

聯(lián)立解得：斜面體在水平面上移動(dòng)的距離 s₂＝．故C正確,，ABD錯(cuò)誤。

故選：C,。

4．光滑水平面上放有一上表面光滑,、傾角為α的斜面體A，斜面體質(zhì)量為M,，底邊長(zhǎng)為L,，如圖所示。將一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊B從斜面的頂端由靜止釋放,，滑塊B經(jīng)過(guò)時(shí)間t剛好滑到斜面底端,。則下列說(shuō)法中正確的是（　　）

A．此過(guò)程中斜面體向左滑動(dòng)的距離為L?????

B．滑塊下滑過(guò)程中支持力對(duì)B不做功????????

C．滑塊B下滑過(guò)程中A,、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒?????

D．滑塊下滑的過(guò)程中支持力對(duì)B的沖量大小mgtcosα

解：A,、滑塊與斜面體組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向右為正方向,，由動(dòng)量守恒定律得：

mv﹣MV＝0

m﹣M＝0

解得滑塊下滑過(guò)程斜面體向左滑動(dòng)的距離為：x＝,，故A正確；

B,、滑塊下滑過(guò)程斜面體對(duì)滑塊的支持力方向與滑塊的位移方向不垂直,，支持力對(duì)滑塊B做功，故B錯(cuò)誤,；

C,、滑塊B下滑過(guò)程中A、B組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒,，由于系統(tǒng)在豎直方向所受合外力不為零，系統(tǒng)所受合外力不為零,，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒,，故C錯(cuò)誤；

D,、滑塊下滑過(guò)程處于失重狀態(tài),，斜面體對(duì)滑塊B的支持力小于mgcosα,，支持力對(duì)B的沖量大小小于mgtcosα，故D錯(cuò)誤,。

故選：A,。

5．如圖所示，光滑水平面上有兩個(gè)相同的光滑弧形槽,，左側(cè)弧形槽靜止但不固定,，右側(cè)弧形槽固定，兩個(gè)弧形槽底部均與水平面平滑連接,。一個(gè)小球從左側(cè)槽距水平面高h處自由下滑,，已知小球質(zhì)量為m，弧形槽質(zhì)量均為2m,，下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>

A．小球從左側(cè)弧形槽下滑過(guò)程中，小球和槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒????????

B．小球從左側(cè)弧形槽下滑過(guò)程中,，小球和槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒????

C．小球滑上右側(cè)弧形槽后,，上升的最大高度為h?????

D．小球第二次滑上左側(cè)弧形槽，上升的最大高度為h

解：A,、槽和地面接觸面光滑,，則小球從左側(cè)槽下滑過(guò)程中，小球和槽組成的系統(tǒng)水平方向所受合外力為零,，則水平方向上動(dòng)量守恒,，故A錯(cuò)誤；

B,、從左側(cè)槽下滑過(guò)程中,，小球和槽組成的系統(tǒng)接觸面光滑，無(wú)機(jī)械能損失,，機(jī)械能守恒,，故B正確；

C,、球下滑到底端時(shí)由動(dòng)量守恒可知mv₁＝2mv₂,，由機(jī)械能守恒可得mgh＝mv₁²+，小球滑上右側(cè)弧形槽后,，上升的最大高度為h′,，由機(jī)械能守恒定律可得，mgh′＝mv₁²,，可得h′＜h,，故C錯(cuò)誤；

D,、小球第二次滑上左側(cè)弧形槽,，滑上最大高度時(shí),，小球和左側(cè)弧形槽共速，具有動(dòng)能,，小球重力勢(shì)能小于初態(tài)重力勢(shì)能,，上升的高度最大小于h，故D錯(cuò)誤,。

故選：B,。

6．如圖所示，將一質(zhì)量為2m,、半徑為R的半圓形槽置于光滑水平面上,，現(xiàn)讓一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)正上方h處?kù)o止釋放，經(jīng)最低點(diǎn)后能從右端最高點(diǎn)沖出,，不計(jì)空氣阻力,，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

A．小球與槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒????????

B．小球離開(kāi)槽后做斜上拋運(yùn)動(dòng)????

C．小球從右端上升的高度等于h?

D．槽向左運(yùn)動(dòng)最大距離為R

解：A,、系統(tǒng)水平方向不受力,，所以小球與槽組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，豎直方向動(dòng)量不守恒,，即小球與槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒,，故A錯(cuò)誤；

B,、系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒且系統(tǒng)水平方向的總動(dòng)量為零,，所以當(dāng)小球離開(kāi)槽時(shí)只具有豎直方向速度，做豎直上拋運(yùn)動(dòng),，故B錯(cuò)誤,；

C、小球離開(kāi)槽時(shí),，小球具有豎直向上的速度,，此時(shí)槽的速度為零，則由機(jī)械能守恒定律可知,，小球上升高度等于h,，故C正確；

D,、設(shè)槽向左的最大距離為x,，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，以向右為正方向,，有：m﹣2m＝0

解得：x＝R,，故D錯(cuò)誤。

故選：C,。

7．如圖所示,，AB為一光滑水平橫桿，桿上套一質(zhì)量為M的小圓環(huán),，環(huán)上系一長(zhǎng)為L質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩,，繩的另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)將繩拉直,，且與AB平行,，由靜止釋放小球，則：

（1）當(dāng)線繩與AB成θ角時(shí),，圓環(huán)移動(dòng)的距離是多少,？

（2）求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小．

解：（1）雖然小球,、細(xì)繩及圓環(huán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力不為零（桿的支持力與兩圓環(huán)及小球的重力之和不相等）,，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，但是系統(tǒng)在水平方向不受外力,，因而水平動(dòng)量守恒．設(shè)細(xì)繩與AB成θ角時(shí)小球的水平速度為v,，圓環(huán)的水平速度為V，取水平向右為正方向,，由水平動(dòng)量守恒有：

MV﹣mv＝0

且在任意時(shí)刻或位置V與v均滿足這一關(guān)系,，加之時(shí)間相同，公式中的V和v可分別用其水平位移替代,，則上式可寫(xiě)為：

Md﹣m[（L﹣Lcosθ）﹣d]＝0

解得圓環(huán)移動(dòng)的距離：d＝

（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),，圓環(huán)和小球的速度大小分別為v₁和v₂．根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：

0＝Mv₁+mv₂；

mgL＝Mv₁²+mv₂²,；

聯(lián)立解得：v₂＝

答：（1）當(dāng)線繩與AB成θ角時(shí),，圓環(huán)移動(dòng)的距離是．

（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是．

8．質(zhì)量為M的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，小車(chē)的上表面是一光滑的曲面,，末端是水平的,，如圖所示，小車(chē)被擋板P擋住,，質(zhì)量為m的物體從距地面高H處自由下落,，然后沿光滑的曲面繼續(xù)下滑，物體落地點(diǎn)與小車(chē)右端距離s₀,，若撤去擋板P,，物體仍從原處自由落下，求物體落地時(shí)落地點(diǎn)與小車(chē)右端距離是多少,？

解：小車(chē)被擋板P擋住時(shí),，設(shè)小球滑離小車(chē)時(shí)的速度v₁，車(chē)尾部（右端）離地面高為h。小球從最高點(diǎn)下落至滑離小車(chē)時(shí)機(jī)械能守恒,，則有：

mg（H﹣h）＝mv₁²…①

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：

s₀＝v₁t…②

h＝gt²…③

聯(lián)立解得：s₀＝

設(shè)去掉擋板P時(shí)小球離開(kāi)小車(chē)時(shí)速度為v₂,，小車(chē)速度為v′₂，小球從最高點(diǎn)至離開(kāi)小車(chē)之時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,，有：

?mg（H﹣h）＝mv₂²+Mv′₂²…④

小球與小車(chē)相互作用過(guò)程中水平方向動(dòng)量守恒,，取水平向左為正方向，則得 Mv′₂﹣mv₂＝0…⑤

得 v₂＝v₁,，v′₂＝v₁

小球離開(kāi)車(chē)后對(duì)地平拋運(yùn)動(dòng),，則有：

s₂＝v₂t′…⑥

h＝gt′²…⑦

車(chē)在t′時(shí)間內(nèi)向前的位移為：

s′₂＝v′₂t′…⑧

此種情況下落地點(diǎn)距車(chē)右端的距離為：

s＝s₂+s′₂＝v₁t+v₁t＝（1+）s₀＝s₀…⑨

答：物體落地時(shí)落地點(diǎn)于小車(chē)右端距離是s₀。

9．如圖所示,，一工件置于水平地面上,，其AB段為一半徑R＝0.5m的光滑四分之一圓弧軌道，BC段為一長(zhǎng)度L＝0.5m的粗糙水平軌道,，二者相切于B點(diǎn),，整個(gè)軌道位于同一豎直平面內(nèi)，P點(diǎn)為圓弧軌道﹣上的一個(gè)確定點(diǎn),，一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊,，其質(zhì)量m＝0.2kg，與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4,；工件質(zhì)量M＝0.8kg,，與地面間的摩擦不計(jì)。（g＝10m/s²）

（1）若工件固定,，將物塊由P點(diǎn)無(wú)初速度釋放,，滑至C點(diǎn)時(shí)恰好靜止，求P,、C兩點(diǎn)間的高度差,；

（2）如果不固定工件，將物塊由P點(diǎn)無(wú)初速度釋放,，求滑至靜止時(shí)工件運(yùn)動(dòng)的位移,。

解：（1）物塊從P點(diǎn)下滑經(jīng)B 點(diǎn)至C 點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：

mgh﹣pmgL＝0

代入數(shù)據(jù)得：h＝0.2m,；

（2）由幾何知識(shí)可知P點(diǎn)到B點(diǎn)的水平距離為L₁＝0.4m,，設(shè)在BC段物塊相對(duì)于工件的位移為x，根據(jù)動(dòng)能定理有：

mgh﹣μmgx＝0

解得：x＝0.5m

在物塊與工件相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,，設(shè)物塊向左的位移大小為x₁,，工件向右的位移為x₂

則x₁+x₂＝x+L₁＝0.9m

因?yàn)楣ぜ臀飰K組成的系統(tǒng)在水平方向上不受力，所以系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒

即：mx₁﹣Mx₂＝0

則

可得x₂＝0.18m,，方向向右,。

答：（1）若工件固定，將物塊由P點(diǎn)無(wú)初速度釋放，滑至C點(diǎn)時(shí)恰好靜止,，P,、C兩點(diǎn)間的高度差為0.2m；

（2）如果不固定工件,，將物塊由P點(diǎn)無(wú)初速度釋放,，滑至靜止時(shí)工件運(yùn)動(dòng)的位移為0.18m，方向向右,。

10．平靜的水面上漂浮著一塊質(zhì)量為M＝250g的帶有支架的木板，木板左邊的支架上蹲著一只質(zhì)量為m＝50g的青蛙,。支架高h＝20cm,，支架右方的水平木板長(zhǎng)S＝30cm。青蛙水平向右跳出,，為了直接跳到水中,，它跳出的初速度v₀至少是多大？（水的阻力忽略不計(jì),，取g＝10m/s²,。）

解：青蛙跳出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向：h＝gt²,，由題意可知：h＝20cm＝0.2m,，代入數(shù)據(jù)解得：t＝0.2s，

設(shè)青蛙的初速度v₁,，木塊獲得反沖速度為v₂,，青蛙跳出過(guò)程青蛙與木板組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，

以向右為正方向,，在水平方向,，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀﹣Mv＝0

青蛙跳出后做平拋運(yùn)動(dòng)，木板做勻速直線運(yùn)動(dòng),，x_青蛙＝v₀t,，x_木板＝vt，

青蛙恰好進(jìn)入水中,，則：s＝x_青蛙+x_木板,，

M＝250g＝0.25kg，m＝50g＝0.05kg,，s＝30cm＝0.3m,，

代入數(shù)據(jù)解得：v₀＝1.25m/s，v＝0.25m/s

答：為了直接跳到水中,，它跳出的初速度v₀至少是1.25m/s,。