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導讀：據(jù)說,，一篇文章每多一個數(shù)學公式,，就會少一半讀者。我仔細檢查了一遍這篇文章,，全文沒有一個數(shù)學公式,，因此大家可以大膽放心閱讀。這篇文章涉及數(shù)學里非?；A的一個概念：奇數(shù)與偶數(shù),，前半部分適合低年級的家長抄作業(yè)對孩子進行奇偶性的啟蒙，后半部分適合中高年級,。 前幾天在《這個樸素的問題，可以從6歲講到20歲》一文中提到了5塊木片中間只有4個空的問題,，當時把這個問題一路衍生到了一一對應和無窮集合大小的比較,。 順著這個話題，最近又跟女兒聊起了奇偶,。 不過我并沒有用奇數(shù)和偶數(shù)這兩個名詞,，而是代之以單數(shù)和雙數(shù)這兩個幼兒更容易接受的名詞,。 從上次的話題開始導入：在下面這張圖里,，如果黃色的木條和白色的空都是一個個小人兒的話，那A-1，B-2,，C-3,，D-4都可以手拉手，而E就沒有伙伴可以手拉手了,。
由此,，可以引出單數(shù)的概念。如果所有的人兩個兩個一組,，最后還剩下一個人,，那總?cè)藬?shù)就是單數(shù)；否則,，如果每兩個人一組正好配對完而不剩,，那就是雙數(shù)。 在此基礎上,，可以逐一檢驗1~12這些數(shù)哪些是雙數(shù),，哪些是單數(shù)。 這個過程結束后,，女兒有了兩個發(fā)現(xiàn)： （1）單數(shù)和雙數(shù)都是間隔出現(xiàn)的,； （2）單數(shù)的末位是1，3,，5,，7，9,，雙數(shù)的末位是0,，2，4,，6,，8。 這個時候,，當然不能停下,。下面的問題很自然：如果一個雙數(shù)和一個雙數(shù)相加，那結果是雙數(shù)還是單數(shù)呢,？ 女兒自己想了幾個例子,，比如4+6，2+6,，4+8,，發(fā)現(xiàn)結果都是雙數(shù)。 那為什么雙數(shù)加雙數(shù)就一定是雙數(shù)呢,？ 手頭正好有木條,，順手拿起幾片擺一擺最能說明問題,。 以6+4為例。6是雙數(shù),，所以可以兩個一組正好分3組（如圖左）,，4也是雙數(shù)，也可以兩個一組正好分為2組（如圖右）,，那這兩個數(shù)加起來兩兩一組已經(jīng)分好了,，共5組。所以,，不用算出10這個具體的數(shù)（注意,，這里不用算很重要），就知道6+4相加的結果依然是雙數(shù),。
那如果是單數(shù)加雙數(shù)呢,，比如7+4？下面的圖直觀地說明問題,，最后還是有一個小木條不能配對,，所以不用算出具體的11就知道相加的結果是單數(shù)。
那還有沒有其它情況呢,？ 提出這個問題,，可以鍛煉孩子的分類意識。稍加思索,，她知道還有單數(shù)+單數(shù)的情況,，比如下圖的7+5。 這個時候,，左邊剩下的那一根和右邊剩下的那一根就可以配成一組,，所以單數(shù)加單數(shù)的結果是雙數(shù)。
過了兩天,，女兒還蹦出個問題：為什么3,，6，9,，12,，... 是一個單數(shù)一個雙數(shù)一個單數(shù)一個雙數(shù)，而不像1,，3,，5，7,，... 一樣都是單數(shù)呢,？ 問出這個問題，一方面說明她至少理解了之前的單數(shù)和雙數(shù)的概念,，另一方面卻也說明她還未能把之前學的單數(shù)加單數(shù)等于雙數(shù)等結論應用于解決實際問題,。 這個時候,，可以稍微提示一下：3是單數(shù)，第一次加的3也是單數(shù),，結果應該是什么？6是雙數(shù),，加的3是單數(shù),，結果又應該是什么？ 當然,，如果孩子再大一點,，我們還可以把這個問題繼續(xù)延伸一下： （1）假如不是只有兩個單數(shù)，而是有許多個單數(shù)相加,，結果會怎樣呢,？ （2）假如是一堆單數(shù)和雙數(shù)相加，最后的結果會是單數(shù)還是雙數(shù)呢,？ 好了,，下面繼續(xù)拓展一下問題：如果不是加法，而是乘法呢,？
比如下面是兩個雙數(shù)相乘的例子6×4，不用計算其具體的乘積,，就知道結果是雙數(shù),。這里，我們利用了乘法是加法的簡便運算這一簡單的事實,。
下面是雙數(shù)×單數(shù)的例子6×3,，不用計算乘積也知道結果為雙數(shù)。
那如果是單數(shù)×單數(shù)呢,，比如5×3,？ 此時，我們可以把其中的兩個5（比如左邊兩個）的1合并到一起為一組,，但右上角的那個5里面的1還是孤零零的,，所以結果仍為單數(shù)。
其實,，單數(shù)和雙數(shù)也可以這么理解,。把所有的東西平均分給兩個人，如果正好分完,，那就是雙數(shù),，而如果最后還剩下一個,，那就是單數(shù)。 按照這種思路,，就可以順帶普及一下余數(shù)的概念,。如果最后剩下的不止1個，那顯然每個人還可以至少再分一個,，只到分完或剩1個為止,。因此除以2的余數(shù)只能是0或1。同樣的道理,，如果是要分給3個人,，那剩下的數(shù)量最多只能是2個，也就是除以3的余數(shù)最大為2,。 奇偶性這東西,，知識點很簡單，大自然和人類哲學中也充滿奇和偶,，更多內(nèi)容可以看我之前的文章《陽卦奇，陰卦偶》,。 以下內(nèi)容適合中高年級,。 大部分學生只是去記住結論，然后運用結論解題,。但也總有那么幾個愛思考的學生會問出這樣的問題：有沒有可能圖中只有一個奇點,？ 這就涉及圖論中的一則著名定理： 對于任何一個無向圖，度數(shù)為奇數(shù)的節(jié)點個數(shù)為偶數(shù),。 這個結論的證明其實一點不復雜,。為此，我們首先得證明一個重要的握手定理： （握手定理）一個無向圖中,，所有節(jié)點的度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍,。 我們可以用兩種方式來計算節(jié)點的度數(shù)之和。一種就是把每個節(jié)點的度數(shù)累加起來,。另一種是考慮邊：如果一條邊連的兩個頂點不是同一個頂點,，那么它給每個頂點的度數(shù)都貢獻1，如果一條邊連的兩個頂點為同一個頂點,，那么它給這個頂點的度數(shù)貢獻2,。所以，無論如何,，一條邊對度數(shù)的貢獻就是2,。因此,，所有節(jié)點的度數(shù)之和就等于邊數(shù)的兩倍。 現(xiàn)在我們再來證明前面的那個結論,。利用握手定理,，我們知道所有節(jié)點的度數(shù)之和為偶數(shù)。如果度數(shù)為奇數(shù)的節(jié)點為奇數(shù)個的話,，那最后所有節(jié)點的度數(shù)之和就是奇數(shù)而不是偶數(shù)了,，這與握手定理矛盾。因此,，度數(shù)為奇數(shù)的節(jié)點數(shù)只能為偶數(shù),。 除了利用奇數(shù)和偶數(shù)相加或相乘所得結果的奇偶性解題,，很多問題都是從奇偶狀態(tài)的變化入手,。特別是，不少問題看似變化多端無從下手,，但只要抓住背后的奇偶不變性,，則問題一下就會迎刃而解。 我曾經(jīng)從易到難講過一個翻硬幣的問題,，也是我公號為數(shù)不多的視頻之一,，就是利用的奇偶不變性原理。 之前,，我在《國慶節(jié)我單刀赴會后,，土豪朋友怎么樣了,？》里也提到一個如下三種顏色的球碰撞的問題： 一共有6個藍色球、4個紅色球和5個綠色球,。每一次,，都讓這些球隨機運動。如果兩個不同顏色的球碰到,，則會變成一個第三種顏色的球,，比如一個紅色球和一個綠色球相碰，就會變成一顆藍色球,；而如果是兩個相同顏色的球碰到,，就會變成一個紅色球，比如兩個藍色球碰到,，就會變成一顆紅色球,。由于每次碰撞都會少一顆球，這樣經(jīng)過若干次碰撞后,，最終會剩下一顆球,。那么,，這最后剩下的球可能是什么顏色呢？ 上面這個問題看著有點像概率問題,，但實質(zhì)卻是一個奇偶性問題,。我們可以將所有碰撞的可能性列出，然后分析每次碰撞后藍,、紅,、綠三種球的個數(shù)變化。 藍 紅 綠 藍 藍 -2 +1 0 紅 紅 0 -1 0 綠 綠 0 +1 -2 藍 紅 -1 -1 +1 藍 綠 -1 +1 -1 紅 綠 +1 -1 -1 可以看到,，每次碰撞后藍綠兩種顏色球的總數(shù)要么-2,，要么不變。由于一開始藍色和綠色球的個數(shù)分別為6個和5個,，總和11為奇數(shù),，因此無論怎么碰撞，最后藍綠兩種球的個數(shù)之和一定是奇數(shù),，因此不能全為0,。這表明最后一個球一定是藍色球或綠色球，不可能是紅球,。 最后,，用我在《給孩子的數(shù)學思維課》一書里曾提到的一個問題結尾： 甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子,，李平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子,，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒,；如果兩個棋子不同色,，他就把黑子放回甲盒．那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個棋子,，這個棋子是什么顏色的,？ 寫干貨不易。都看到這了,，點贊,、在看、轉(zhuǎn)發(fā),，來個三連唄,。 |
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