【原創(chuàng)】文/捷Jesse

1607年,，來到中國耶穌會(huì)士利瑪竇與明朝士大夫徐光啟共同翻譯的《幾何原本》在北京刊印發(fā)行，“幾何之學(xué)”作為新知識(shí),、新學(xué)科,、新思想，對(duì)明清以來的中國數(shù)學(xué)乃至中國社會(huì)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響,，同時(shí)也傳播到同屬漢字文化圈的日本,、朝鮮等地，堪稱中西文化交流史上的光輝典范,。

歐幾里得和《幾何原本》

時(shí)光回到大明萬歷二十八年,，即公元1600年，順天府解元徐光啟來到南京,，在座師焦竑家中見到利瑪竇,，兩人非常投緣并成為好友。1604年,，徐光啟考中翰林庶吉士后開始著手和利瑪竇合作翻譯《幾何原本》,。

徐光啟與利瑪竇

整個(gè)翻譯工作由利瑪竇口授、徐光啟筆譯而成,，自1606年秋至次年5月,，共完成了《幾何原本》前6卷并付梓印刷。然而,，沒多久利瑪竇就去世了,，翻譯工程戛然而止。直至二百多年后,，清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力接力,，才完成了全書后9卷的翻譯工作,，可謂一波三折,。

清代科技翻譯者李善蘭和《幾何原本》

現(xiàn)今市面上流傳的《幾何原本》譯本品種繁多,，以蘭紀(jì)正和朱恩寬版本為佳。我們現(xiàn)在手上拿到的這本《幾何原本》譯本,，是由清華大學(xué)科學(xué)史教授張卜天重新譯制,，并附有原書各卷中的英譯文，便于對(duì)照學(xué)習(xí),。就讓我們跟著這本“大厚本”來領(lǐng)略數(shù)學(xué)幾何的神奇魅力吧,。

清華大學(xué)科學(xué)史系張卜天

點(diǎn)、線,、面,、體，幾何學(xué)的公理化體系

所謂公理化方法,，就是選取少量原始概念和不需證明的命題,，作為定義、公設(shè)和公理,，使它們成為整個(gè)體系的出發(fā)點(diǎn)和邏輯依據(jù),，然后運(yùn)用邏輯推理來證明其他命題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,，幾何學(xué)知識(shí)從未離開過“點(diǎn),、線、面,、體”,，這些概念構(gòu)成了我們對(duì)“幾何”認(rèn)知的基礎(chǔ)。借著《幾何原本》的閱讀,，也讓我們重新來回顧這些簡單的幾何學(xué)概念以及我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程,。

“點(diǎn)”是無法被定義的，它是數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的原始概念,，是最簡單的形,，是幾何圖形最基本的組成部分。歐幾里得最初含糊地定義“點(diǎn)”作為“沒有部分的東西”,，使得“點(diǎn)”在歐幾里得空間中只有位置沒有大小,。“線”是點(diǎn)沿一定方向任意移動(dòng)所構(gòu)成的圖形,，是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,、面運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)；“面”是無數(shù)線條組成的圖形,；“體”是由無數(shù)的面構(gòu)成,。

點(diǎn)、線,、面,、體

回顧我們從小到大接受的數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練,，無疑也是沿著《幾何原本》的體系展開。初中時(shí),，我們學(xué)習(xí)的三角形知識(shí),、直線的平行與相交，相關(guān)內(nèi)容基本都在《幾何原本》第一卷中,；之后學(xué)習(xí)的數(shù),、式的運(yùn)算，與《幾何原本》第二卷的代式恒等式,，如二項(xiàng)和的平方,、黃金分割等契合；第三卷講到的圓,、弦,、切線與圓的關(guān)系，第四卷講到圓的內(nèi)接,、外切三角形等,，這些都在初二的幾何課程中有所涉及。

《幾何原本》的第五卷講的是比例,，第六卷講的是比例理論在平面圖形的應(yīng)用,，這都是我們初中學(xué)到的相似圖形、四邊形和多邊形知識(shí),。隨后幾卷的內(nèi)容,，也同高中的數(shù)學(xué)體系相互呼應(yīng)。因此,，在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,，我們基本都是依循著歐幾里得的數(shù)學(xué)體系前行。即使是高中時(shí)期的立體幾何,，也都是基于“經(jīng)過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),，有且僅有一個(gè)平面”的公理。

幾何題

從拓?fù)渚S度上來看,，點(diǎn)是0維對(duì)象,，線是1維對(duì)象，面是2維對(duì)象,，體是3維對(duì)象,。正是點(diǎn)、線,、面,、體構(gòu)建了幾何學(xué)的基礎(chǔ)，形成了我們豐富多彩的世界,。

拓?fù)浞中?/p>

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

定義,、公設(shè),、公理、命題,，邏輯嚴(yán)密的數(shù)學(xué)系統(tǒng)

歐幾里得在《幾何原本》的卷首提出了五條公理、五條公設(shè),，并在各卷開頭共給出了二十三個(gè)定義,，并根據(jù)這些公理、公設(shè),、定義用嚴(yán)格的邏輯推論方法推導(dǎo)出多達(dá)四百六十五個(gè)命題,，將它們分門別類地組成了全文的一十三卷。各卷開頭皆從幾何圖形開始,，推理邏輯極其嚴(yán)密,，令人驚嘆。

《幾何原本》在卷首列出了五個(gè)公理,，分別是：

→等于同量的量彼此相等,。即，如果A＝C,，B＝C,，則A＝B。

→等量加等量,，其和相等,。即，如果A＝B,，C＝D,，則A＋B＝C＋D。

→等量減等量,，其差相等,。即，如果A＝B,，C＝D,，則A－B＝C－D。

→彼此能重合的物體是相等的,。

→整體大于部分,。

隨之，歐幾里得又給出了五個(gè)公設(shè),，分別是：

→由任意點(diǎn)到任意另一點(diǎn)可作直線,。

→一條有限直線可以繼續(xù)延長。

→以任意點(diǎn)為圓心及任意距離為半徑可以畫圓,。

→凡直角都相等,。

→平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交,，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，那么這兩條直線無線延長后,，在這一側(cè)一定相交,。

公理、公設(shè)

上述定義,、公設(shè),、公理層面引出的命題與論證過程，展現(xiàn)了完整的數(shù)理性邏輯演繹,，也體現(xiàn)了古希臘人的哲學(xué)與文化,。眾所周知，數(shù)學(xué)理性起源于古希臘,，形成于西方文藝復(fù)興,，本質(zhì)上是受三段論影響，達(dá)到了“接受已知,，就要接受結(jié)論”的獨(dú)特需求,。

九章算術(shù)

在中國，數(shù)學(xué)理性和應(yīng)用的代表作有《九章算術(shù)》等,，相比來看《九章算術(shù)》更注重實(shí)用和結(jié)果,，也體現(xiàn)了東方的文化特色。在精神財(cái)富層面上,，《九章算術(shù)》是觀察—實(shí)驗(yàn)—?dú)w納—分析—概括的數(shù)學(xué)研究方式,，而《幾何原本》則是定義—公理—定理—例題的數(shù)學(xué)研究方式。

同樣是數(shù)學(xué)巨制,，卻有著如此迥異的研究方法,，與當(dāng)時(shí)的社會(huì)背景有關(guān)?！毒耪滤阈g(shù)》跨度廣,，是春秋至秦漢千年時(shí)間內(nèi)社會(huì)生產(chǎn)知識(shí)積累的匯總，全書的246題涵蓋方田,、黍米,、衰分、少廣,、商功,、均輸、盈不足,、方程,、勾股等九個(gè)章節(jié)內(nèi)容，包含了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的所有分支。

有趣的是,，《九章算術(shù)》的一些算法連《幾何原本》中都沒有,。可以說《幾何原本》與《九章算術(shù)》互為長短,，畢竟《九章算術(shù)》以實(shí)用性,、計(jì)算性、豐富性為優(yōu)點(diǎn),，而《幾何原本》則以幾何,、數(shù)論、邏輯性著稱,。通過對(duì)比,，也間接印證了《幾何原本》的邏輯嚴(yán)密性,。

平行體系之外的挑戰(zhàn),，讓非歐幾何成為高級(jí)補(bǔ)丁

對(duì)于歐幾里得設(shè)定的系統(tǒng)中，公設(shè)五又被稱為平行公設(shè),，其延伸就是我們常見的“平面內(nèi),，三角形內(nèi)角和為180°”“過線外一點(diǎn)，恰有一直線與已知直線平行”等通俗提法,。然而,，平行公設(shè)就是對(duì)的么？有沒有例外呢,？

地球上的非歐幾何實(shí)例

人們?cè)诘乩硖剿鲿r(shí)發(fā)現(xiàn),，地球的赤道、0°經(jīng)線和90°經(jīng)線相交構(gòu)成一個(gè)“三角形”,，這個(gè)“三角形”的三個(gè)角都是90°,，然而，它們的和就是270°,。這就是用歐幾里得無法解釋的典型案例,。后人研究幾何學(xué)時(shí)，逐步形成了羅氏幾何和黎曼幾何等等,。

不同平行公理

羅氏幾何是俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基,、德國數(shù)學(xué)家高斯、匈牙利數(shù)學(xué)家亞·鮑耶在同一時(shí)期研究的,，因羅巴切夫斯基工作最典型,、影響最大而命名。他提出：過平面上直線外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與該直線不相交,。1854年,，高斯的學(xué)生黎曼提出了另一種公設(shè)：過平面上直線外一點(diǎn)所作出的任何一條直線都將與該直線相交。

非歐幾何構(gòu)架

羅氏幾何、黎曼幾何與歐氏的《幾何原本》中的三條“平行公理”相互補(bǔ)充,，被稱為幾何學(xué)的“三兄弟”,，其中歐氏幾何又稱為拋物幾何，羅氏幾何又稱雙曲面幾何,，黎曼幾何又稱橢圓幾何,。歐氏幾何適用于描述宏觀世界的空間幾何性質(zhì)，羅氏幾何和黎曼幾何適應(yīng)于描述大尺度宇宙以及微觀世界的幾何性質(zhì),。愛因斯坦在相對(duì)論中使用的就是黎曼幾何,。

愛因斯坦與黎曼幾何

空間彎曲

1858年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后,，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈,，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有正反兩個(gè)面,，且可分別涂成不同的顏色,；而這種紙帶只有一個(gè)面，一只小蟲可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過它的邊緣,。這也是歐氏幾何無法直接解釋的問題,，成為拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)典型圖案。

莫比烏斯帶

…

正是這些神奇的數(shù)學(xué)為我們的生活增添了諸多光彩和樂趣,?；貧w到數(shù)學(xué)閱讀，我們可以把對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從答題,、知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)擴(kuò)展到問題來源及應(yīng)用前景的分析與展望,，讓數(shù)學(xué)跳出生活又回歸生活，進(jìn)而推動(dòng)人類文明的進(jìn)程,。