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千禧之交，量子計算機橫空出世,。任何名詞,，前面加上量子，就有兩個特點：高端和看不懂,。本文為了避免看不懂的情況,，特意在量子糾錯中間加了兩個字“怎么”，緩沖一下,。我假設讀者已經(jīng)有一些量子力學基礎,，比如知道疊加態(tài)是什么。如果您沒看過量子力學,，又覺得本文有趣的話,，請一定告訴我。
經(jīng)典糾錯想了解量子糾錯（quantum error correction）,，不妨先來看看經(jīng)典糾錯（classical error correction）,。自從Shanon發(fā)明比特（bit）以后，經(jīng)典編碼或者經(jīng)典糾錯就存在了,。儲存和發(fā)送信息依賴物理媒介來完成,，這個過程總是有可能出錯的。為了保證信息的完整,，我們需要一些冗余來告訴我們有沒有出錯，哪里出錯了,。我們現(xiàn)在經(jīng)常討論的5G,，6G技術，其實也是糾錯碼的一種,。不同的糾錯碼,，代表著不同的設計冗余的方式。這里我用一個簡單的例子,，重復碼（repetition code）,，來說明經(jīng)典糾錯是如何實現(xiàn)的。每當我們想發(fā)送一個比特,，我們都重復三次,。這樣1就變成了111，0就變成了000,。有一個邏輯比特的信息和兩個比特的冗余,。如果其中一個出錯了，比如111變成了110，我們就說第三個比特出錯了,，1變成了0,。我們糾正回111，并得到一邏輯比特的信息,，也就是1.那讀者可能會問,，如果兩個比特錯了怎么辦呢？比如000的前兩個比特出錯了,，就會變成110,，那樣我們讀取的時候就會誤認為第三個比特出錯，糾正成111,，并得到錯誤的邏輯比特信息1而不是0. 這怎么辦呢,？答案就是涼拌，不去管它,。這是有數(shù)學道理的,。在上面的例子里，我們可以看出來重復碼可以糾正任何單個的錯誤,，但是不能糾正兩個或以上的錯誤,。如果每個物理比特的出錯概率是p，那么同時出現(xiàn)兩個錯誤的概率是3p^2,，同時出現(xiàn)三個錯誤的概率是p^3,。也就是說，解碼錯誤的概率正比于p的二次方,。重復碼利用出錯概率為p的物理比特創(chuàng)造了一個出錯概率為p^2的邏輯比特,。這可是指數(shù)型的降低，如果把邏輯比特作為物理比特再次使用重復碼,，這個出錯概率很快就會降為0.經(jīng)典v.s.量子重復碼率很簡單,，也很低效，因為只有一個邏輯比特,。隨著經(jīng)典編碼的發(fā)展,，現(xiàn)在的編碼方式的表現(xiàn)要好得多了。通過這個簡單的例子,，我們看到了經(jīng)典糾錯的幾個特性：- 比特是離散的,，只有1和0兩個取值，也只有一種錯誤,，就是翻轉(zhuǎn),。
如果大家了解過一些量子物理的話，就知道以上三點都是量子世界里不允許的,。首先,，在量子的世界里,，態(tài)可以是疊加的。一只貓不一定非得是黑貓或者白貓,，而可以同時是黑貓和白貓,，各有一定的概率。量子疊加態(tài)就是說這兩個狀態(tài)以一定的概率同時存在,。因為量子態(tài)包含了概率的問題,，不同的概率就意味著是不同的態(tài)。也就是說系數(shù)和的任何微小變化都是一個錯誤,，而不像經(jīng)典世界里只有0變成1,，1變成0。量子態(tài)是連續(xù)的,。再說測量,。處于量子疊加態(tài)的貓儲存了信息，也就是這個概率,。為了保護這個信息,，我們要不先測量一下準不準？可是量子態(tài)一經(jīng)過測量就會以相應的概率塌縮到一個本征態(tài),。我們一去觀察這個貓,，只會看到一種顏色的貓，而且這只貓會一直保持這個顏色,，原來的概率信息丟失了,。也就是說，一旦測量,，我們就損壞了要保存的信息,。可是不測量,，我們從哪里得到信息來糾錯呢,？最后就是量子不可克隆原理了。比特和羊都可以克隆,，量子態(tài)不行。量子態(tài)只可以從一個物理量子比特轉(zhuǎn)移到另一個物理量子比特,，但原來物理量子比特上的信息就會消失,。不管如何變化，一個量子態(tài)都不能復制成兩個量子態(tài),。別問為什么,，量子的世界就是這么霸道！量子糾錯1980年左右,，費曼等提出了量子計算機的概念：既然自然界是量子的,，為什么不用一個量子計算機來解決自然界的各種難題？理想是美好的,，現(xiàn)實保持沉默了十幾年,，大家都不知道量子計算機能用來干什么。直到1994年,，Peter Shor提出了質(zhì)數(shù)分解算法,。將RSA加密算法依賴的大數(shù)分解問題從原來的指數(shù)解法降低到只需要多項式的時間。RSA之所以安全就是打賭人們下輩子也解不出來這個算法,，可是Shor說,，我這輩子就可以解出來。Shor算法一出,，其他各種算法也層出不窮,，紛紛證明了量子計算機的優(yōu)勢和潛能。理論上的進步可喜可賀,，可是這些算法都是理想算法,，基于可以無限供應的完美的量子比特。實驗室里是造不出來的,，其實理論上也做不出來,。噪聲是量子控制的必然產(chǎn)物，那怎么克服上文提到的三個障礙來進行糾錯呢,？英雄再次登場,，在接下來的1995年Shor提出來Shor's 9-qubit Code。Shor把一個邏輯量子比特的信息編碼在九個物理量子比特的糾纏中,。九個量子比特的希爾伯特空間的維度是,，Shor從中選取以下兩個態(tài)來作為邏輯量子比特的基態(tài)。
測量這些算符不會改變邏輯態(tài)的信息,。比如測量Z_1Z_2,，也就是測量前兩個物理比特的Pauli Z，它只會告訴我們這兩個物理比特是否是一致的,。而不管是000還是111,，前兩個都是一致的，因此所有的邏輯態(tài)都會給出一樣的結(jié)果,。假設錯誤出現(xiàn)了呢,？比如一個X error出現(xiàn)在第二個比特上。那邏輯態(tài)就會變成
這時如果我們測量Z_1Z_2,，它就會告訴我們前兩個比特是不一致的,。進一步測量Z_2Z_3，我們發(fā)現(xiàn)第二個和第三個比特也是不一致的,。根據(jù)少數(shù)服從多數(shù)的原則,，我們推測第二個比特發(fā)生了翻轉(zhuǎn),，也就是X_2 error，并予以糾正,，恢復原來的邏輯態(tài),。初步了解了Shor's code的儲存、測量,、和糾錯過程?，F(xiàn)在我們復盤一下，它是如何克服之前提到的三個困難的,。復盤在量子態(tài)里,，任何微小的變化都意味著出錯了。但是在上面的例子里,，我們只糾正了翻轉(zhuǎn)錯誤X,。另外還有沒提到的相位錯誤Z。只要能糾正X和Z錯誤,，我們就能糾正所有的錯誤,。因為，,，和構成了一組完備的基,，足以描述的任何演化。這可以認為是一個數(shù)字化量子計算機的過程：系數(shù)的連續(xù)演化變成了離散的態(tài),。（我想說明這只是數(shù)字化糾錯的過程,，量子態(tài)還是連續(xù)的。）Shor也實現(xiàn)了測量,，為什么態(tài)不塌縮呢,？嚴格來說，這是因為選取的邏輯態(tài)本身就是本征態(tài),。別的態(tài)會塌縮成本征態(tài),，可本征態(tài)不會再次塌縮。也可以用形象的話來說明,，用測量算符舉一個例子,。通過測量，我們只能知道前兩個比特是否一致,，這對邏輯態(tài)和來說是沒有區(qū)別的,。也就是說，不管測量結(jié)果如何,，不管前兩個比特是否一致，我們都無法區(qū)分邏輯態(tài)是處于邏輯態(tài)還是邏輯態(tài),。因為我們沒有得到任何關于邏輯態(tài)的信息,，因此這個測量不會損壞信息,。我們只是測量是否出錯，并予以糾正,。最后,，Shor也沒有克隆量子態(tài)。雖然使用了9個物理比特,，這里也只有一個邏輯態(tài),，只是它儲存在了九個物理比特的糾纏中。Shor's Code打開了量子糾錯的大門,，也給量子計算提供了希望和動力,。隨后各種糾錯碼如雨后春筍般出現(xiàn)，比如玻色子碼,，穩(wěn)定子碼等等,。穩(wěn)定子碼又包括拓撲碼和低密度奇偶驗證碼（LDPC code）。實驗上也迅速發(fā)展,，近期已經(jīng)實現(xiàn)了Bacon Shor Code,，是Shor Code的變種，可以同時糾正X和Z錯誤并儲存一個邏輯態(tài),。文章篇幅有限,，敬請期待下期“toric code：甜甜圈如何成為網(wǎng)紅”
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