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例析隱零點問題的解題策略

毛曉偉 王 義

(安徽省宿州市碭山中學，235300)

我們把函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)存在零點但不可求出的問題稱之為隱零點問題.此類問題在近幾年各地高考,、?？季碇蓄l頻出現(xiàn),能有效考查函數(shù)的單調(diào)性與最值問題、函數(shù)與不等式證明,、求參數(shù)取值范圍等綜合問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用,提升學生的數(shù)學抽象,、直觀想象、邏輯推理,、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).本文針對隱零點問題給出三種求解策略.

一,、在恒等變形中優(yōu)化解析式

例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m的值,并討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當m≤2時,證明: f(x)>0.

解 (1)略.

(2)由m≤2,要證f(x)>0,只需證ex-ln(x+2)>0.

令g(x)=ex-ln(x+2),則得g′(x)在(-2,+∞)單調(diào)增.

又故存在x0∈(-1,0),使g′(x0)=0,即

故當-2<x<x0時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)減;當x>x0時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)增.所以得證.

評注 本解法先用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性,得到零點所在的區(qū)間,再將零點滿足的方程恒等變形、整體代入,優(yōu)化了g(x0)的解析表達式,方便了g(x0)非負性判別.

二,、在合理轉(zhuǎn)化中挖掘隱含條件

例2 已知函數(shù)

(1)求f(x)的最大值;

(2)若恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.

解 (1)略.

(2)由題設(shè)不等式,不難得到不等式在(0,+∞)恒成立.

令則令h(x)=x2ex+ln x,則在(0,+∞)單調(diào)增.又當x→0+時, h(0)→-∞,而h(1)=e>0,故存在x0∈(0,1),使于是當0<x<x0 時,g′(x)<0,g(x) 單調(diào)減;當x>x0 時,g′(x)>0,g(x) 單調(diào)增.所以

下面由基于不同視角,、采取四種變形技巧求出g(x0)的值.

視角1 利用同構(gòu)式構(gòu)造函數(shù)

解法1 利用指數(shù)同構(gòu)式

由h(x0)=0,可得令p(x)=xex,則p′(x)=(1+x)ex>0,p(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)增,且所以即有從而ln x0=-x0,進而

結(jié)合b≤g(x),得b≤2.

解法2 利用對數(shù)同構(gòu)式

由h(x0)=0,得 x0,兩邊取對數(shù)得2ln x0+x0=ln(-ln x0),即ln x0+x0=ln(-ln x0)+(-ln x0).

令q(x)=ln x+x,則q(x)在(0,+∞)單調(diào)增,且q(x0)=q(-ln x0),故下同解法1,得g(x0)=2,b≤2.

視角2 利用局部換元法構(gòu)造函數(shù)

解法3 由 ex0+ln x0=0入手,令 ex0=t>0,取對數(shù)得x0+2ln x0=ln t,又t+ln x0=0,故x0+ln x0=ln t+t.

令q(x)=ln x+x,下同解法2,可得g(x0)=2,b≤2.

解法4 由目標函數(shù)g(x0)入手,不妨設(shè)兩邊取對數(shù)得ln x0+x0=ln m,即x0(1-m)=ln m.

令r(m)=x0(1-m)-ln m,其中0<x0<1,則在(0,+∞)單調(diào)減.又r(m)=0,而r(1)=0,故m=1,即得x0ex0=1,ln x0=-x0.

下同解法1,可得g(x0)=2,b≤2.

評注 求解第(2)問的難點是求g(x)最小值的具體值. 本文通過對隱零點所在方程合理轉(zhuǎn)化,挖掘出方程背后的隱含條件,最終達到整體消元的目的,從不同視角使問題獲解.四種解法異曲同工,能有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維,體現(xiàn)核心素養(yǎng)的實際運用,從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

三、借助現(xiàn)代技術(shù),排除計算障礙

例3 已知函數(shù)f(x)=mex,g(x)=ln x+1.

(1)若函數(shù)f(x)與g(x)有公共點,求m的取值范圍;

(2)若不等式f(x)>g(x)+1恒成立,求整數(shù)m的最小值.

解 (1)略.

(2)解法1 依題意,m ex>ln x+2,即恒成立.

構(gòu)造函數(shù)則再令則在(0,+∞)單調(diào)減.又故存在使故當0<x<x0時,h′(x)>0,h(x)在(0,x0)單調(diào)增,當x0 <x時,h′(x)<0,h(x)在(x0,+∞)單調(diào)減,所以其中

令則s′(x)=在單調(diào)減,所以且由于區(qū)間 包含整數(shù)1,用二分法繼續(xù)縮小區(qū)間,由知存在使p(x0)=0.所以其中

由s(x)在單調(diào)減,且指數(shù)值由計算器計算).于是h(x0)∈(0,1),可得整數(shù)m的最小值為1.

四,、利用先猜后證,簡化問題難點

例4 題同例3第(2)問.

解法2 依題意,mex>ln x+2恒成立.

當x=1時,由me>ln 1+2,得又m∈Z,故此時m的最小值可取1.

再證m=1時,恒有ex>ln x+2.

令q(x)=ex-ln x-2,則易知q′(x)在(0,+∞)單調(diào)增,且所以存在使q′(x0)=0,即從而有x0=-ln x0.

于是,當0<x<x0時,q′(x)<0,q(x)單調(diào)減;當x>x0時,q′(x)>0,q(x)單調(diào)增.所以即ex>ln x+2.

綜上,所求整數(shù)m的最小值為1.

評注 第(2)問求解的關(guān)鍵是估計h(x)最小值的取值范圍.解法1利用零點定理,縮小隱零點所在的有解區(qū)間,保證在有解區(qū)間內(nèi)的值域不包含整數(shù),但因該最小值難以直接算出,需借助現(xiàn)代技術(shù)排除障礙,輔助計算.解法2轉(zhuǎn)換思路,通過“先猜后證”降低求解難度,也是解決此問題的一個通法.

參考文獻

[1]前萬會.對一道函數(shù)隱零點問題的思考[J].中學數(shù)學教學,2019(1):15-18.

[2]韓琦.“隱零點”問題的三探[J].中學數(shù)學研究,2021(5):24-25.