今天早上看到《數(shù)學通訊》期刊分享的這篇文章：向量投影結(jié)果究竟是數(shù)量還是向量,？第一感覺是很難得，期刊愿意圖片全文分享,，應(yīng)該也有作者的支持,，這里非常感謝這種無私奉獻（該文知網(wǎng)等數(shù)據(jù)庫還沒法搜到）。文章整體寫得還是很不錯的,，有些地方我再深入談一點淺薄看法,。不對之處，請不吝賜教,。

查閱最新第7版的《現(xiàn)代漢語詞典》,，中文的“投影”一詞的詞性可以為動詞，光學上指在光線的照射下物體的影子投射到一個面上,，數(shù)學上指將圖形的形狀投射到一個面或一條線上,，均指代一個操作。學過立體幾何,，我們知道投影有正投影和斜投影,。因為數(shù)學關(guān)心幾何體的空間形狀和性質(zhì)，在平面上刻畫幾何體三視圖時就需要用到正投影,。

用得久而久之,，當只有一個投影結(jié)果且不會引起混淆時，我們習慣簡稱投影結(jié)果為投影,。所以詞典也注明“投影”一詞可以作為名詞,，解釋為投射在一個面或一條線上的物體的影子或圖形,。因此，舊教材把投影用作名詞,，新教材將投影用作動詞,，從語言學原理來說，是完全合乎語法的,，沒有問題的,。

現(xiàn)實生活中，對于投影我們一點也不陌生,，物體在陽光下形成的影子,。用物體的三視圖等二維平面圖來描述三維幾何體。從這我們可以知道,，投影的最主要作用之一是降低維數(shù),。同時附帶的一個非常好的功能是，高維可以用低維表出,。相比于非線性表出,，數(shù)學家通常更喜歡線性表出（也叫線性表示），因為它具備許多優(yōu)良的性質(zhì),。

需要注意的一個地方是投影保持了保持元素屬性的不變性,，也就是該文所說的同素性（估計是相同的元素屬性的意思）。用數(shù)學的語言來說,，投影實際上就是一種變換,，而且是線性的。幾何圖形映射之后幾何圖形,，向量投影之后仍然是向量,。但并非直線一定投影為直線，也可以投影成點,。橢圓也不一定投影成橢圓,，還可以是圓，線段等,。 這里我誠摯向各位推薦看看并思考這一個知乎上有趣的問題：橢圓可以投影成拋物線或雙曲線嗎,？網(wǎng)址鏈接如下：https://www.zhihu.com/question/289082828

解釋了這么多，就是想說明什么叫做投影,。人教版高中數(shù)學教材的向量投影,，無論是新版還是舊版，熟悉的朋友應(yīng)該知道,，這投影不是一般的投影,，有點特殊，是正投影,。然而教材并沒有說明,。直接投正來,。如果我是教材編寫者，為了不給讀者挑刺,，我可能就將其寫作正投影,，簡稱投影。為什么可以簡稱呢,？根本原因是數(shù)學上不怎么關(guān)心向量的斜投影,，就像高中數(shù)學只將向量正投影而已。這里詳細解釋一下為什么,，這個很重要,，至少我覺得。（開個玩笑,，就是因為斜投影妃子太多,，而正投影皇后只有一個）

很多人都喜歡樹是筆直的，垂直于地面的,。當然也有人喜歡比薩斜塔那樣獨特的傾斜美,。可能前者垂直還是占據(jù)多數(shù),，數(shù)學家也是類似的,。因此，如果投影是正的,，即投影方向垂直于投影線或面,，數(shù)學上叫做正投影。自然而然的有直角三角形,，由勾股定理或三角函數(shù)計算很方便。幾何上,，三個不同方向的正投影就是中學需要學習的三視圖,。

平面向量部分，在平面直角坐標系中,，向量起點平移至原點,，分別向兩條坐標軸作正投影，從而得到兩個x軸和y軸上新的分向量,，這就是平面向量的正交分解,，與物理所學的力的正交分解原理一致。從這里,，我們可以很直觀地看到,，平面向量與平面的點是一一對應(yīng)的。如果是給定任意兩個不共線的平面向量,，那么平面內(nèi)的任何向量只需要往已知的兩個方向做平行四邊形分解即可,，即可以由它們線性表示,，而且這種表示是唯一的，這就是平面向量基本定理的內(nèi)容,。如果是一個向量 a 往另外一個向量 b 作投影,，投影結(jié)果叫做投影向量。投影向量與向量 b 作內(nèi)積,，這就是高中所學的數(shù)量積的幾何意義,。

這篇文章很可惜的一個地方是，沒有說到為什么要對向量要做投影,？ 為了降維和線性表示嗎,？為了引出數(shù)量積的定義？那么一個很自然的問題,，那為什么要做正投影,？因為漂亮簡潔！是的,，數(shù)學追求簡單美簡潔美,。那為什么正投影最簡單？因為正投影有垂直,，很好,，此時兩個垂直向量的內(nèi)積為0。線性代數(shù)更喜歡的一個稱呼是正交,。我們把向量看成一個點,，最終正交投影到線或面上的那個投影點和原先的點的歐式度量距離是最短的！這才是做投影的主要原因：希望求出距離它最短的“點”,，尤其到一般的向量空間甚至是度量空間,、賦范空間。

最后想說一下“射影”一詞,，學過平面幾何的很多老師和學生都知道射影定理,。射影自然是一個名詞。最新第7版的《現(xiàn)代漢語詞典》對它的解釋是：從一點向一條直線或一個平面作垂線,，垂足叫做這個點在這條直線或平面上的射影,。一條線段上的各點在一條直線或一個平面上射影的連線叫做這條線段在這條直線或平面上的射影。 從這里來看,，射影的對象比較單一,，一般是點或者線段，當然也可以是直線,，廣義上可以是任何圖形,。射影我們可以認為是點向線或面作正投影，自帶垂直和最短屬性,。正投影的結(jié)果就是射影,。一個有趣的問題是高中的平面向量有沒有射影,？（箭頭能不能投影出來）。如果可以,，那么教材用射影一詞是不是更加的合適呢,？比較有意思的是百度百科對射影的解釋，讀者不妨一覽看看,。其網(wǎng)址鏈接如下：

https://baike.baidu.com/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1

不對之處,，請不吝賜教,，歡迎共同交流學習與進步,。

以本文結(jié)束2021年最后一天,，感謝各位的關(guān)注、閱讀與分享,。提前祝各位2022年元旦快樂,，2022年再見。