在平面幾何的學習中,“圓”是極其重要的一章,。它涉及的知識面廣,綜合性強,幾乎可以把其它平面中的內容都結合到有關圓的題目中去,因而難度大,在證明有關圓的題目時,常用到一些重要的定理,圓冪定理就是其中的一個,。它包括“相交弦定理”及推論;“切割線定理”及推論,熟悉圓冪定理的內容,深刻領會它的作用,靈活地應用這些定理是證明與圓有關的比例線段問題的前提和基礎,希望同學們在學習時引起高度的重視,下面就圓冪定理的學習及應用提出一些個人的認識,以期對同學們有所幫助。

弦切角定義：頂點在圓上,，一邊和圓相交,，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

滿足三個條件：（1）頂點在圓上,；（2）一邊和圓相交；（3）一邊和圓相切,。

判斷下列圖形中的∠ BAC 是不是弦切角：

圖 A 中,，缺少“頂點在圓上”的條件；

圖 B 中,，缺少“一邊和圓相交”的條件,；

圓 C 中,，缺少“一邊和圓相切”的條件；

圓 D 中,，缺少“頂點在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件,。

所以，圖中的∠BAC都不是弦切角,。

分類（以圓心的位置分）：

（1）圓心在角的外部,；（ 2）圓心在角的一邊上；（ 3）圓心在角的內部,。

弦切角的度理定理：

弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半,。

推論 1：弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

推論 2：在同圓或等圓中,，如果兩個弦切角所夾的弧相等,，那么這兩個弦切角也相等。

必刷好題

如圖 1（4）,， 有 PA2=PC·PD

當點 P 從圓內運動到圓上,、圓外時（從圖 1（1）到圖 1（3））， 總有 PA·PB＝PC·PD,，圖 1（2）中,，點 B、D 與點 P 重合,，PB＝PD＝0,，PA·PB＝PC·PD 同樣成立。

當割線 PBA 繞著點 P 旋轉到切線 PA 的位置時,，點 B 與 A 重合,，結論不變，仍有 PA·PB

＝PC·PD,，此時PA=PB,，所以PA2=PC·PD

當割線 PDC 也變?yōu)榍芯€ PC 時，總有 PA·PB＝PC·PD,，因為 PC＝PD,，PA＝PB，所以PA2=PC2,，即PA＝PC,，此為切線長定理。

當圖 1（1）中的兩條相交弦的位置調整為：其中一條為直徑,，另一條弦與直徑垂直,，

根據(jù)相交弦定理，同樣有 PA·PB＝PC·PD 又根據(jù)垂徑定理， 2＝PC·PD,。當圖 1（1）中的兩條相交弦的位置調整為：其中一條為直徑,，另一條弦與直徑垂直，根據(jù)相交弦定理,，同樣有 PA·PB＝PC·PD 又根據(jù)垂徑定理,，有PA=PB，所以PA2 ＝PC·PD,。

在上面的圖形變化中,，點 P 的位置和 AB、CD 的位置在不斷地變化,，而變化中有不變量,，即 PA·PB＝PC·PD 的關系是不變的。我們應抓住圖形的本質特征,，我們把相交弦定理,、割線定理、切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理,。

考點一 弦切角

1．如圖,，AB 是⊙O的直徑，C為圓周上一點,，BD 是⊙O的切線,，B為切點．

（1）在圖（1）中，∠ BAC＝30°,，求∠ DBC 的度數(shù),；

（2）在圖（2）中，∠ BA1C＝40°,，求∠ DBC 的度數(shù),；

（3）在圖（3）中，∠ BA2C＝α,，求∠ DBC 的度數(shù),；

（4）通過（1）（2）（3）的探究你發(fā)現(xiàn)了什么？用你自己的語言敘述你的發(fā)現(xiàn)．

2．如圖,，已知 AB 是圓 O的弦,，AC 是圓 O的切線，∠ BAC 的平分線交圓 O于 D,，連 BD

并延長交 AC 于點 C,，若∠ DAC＝40°，則∠ B＝（ ） 度,，∠ ADC＝（ ）度．

3．如圖為△ABC 和一圓的重迭情形,，此圓與直線 BC 相切于 C點,，且與 AC 交于另一點 D．若∠ A＝70°,，∠ B＝60°,，則CD 的度數(shù)為（ ）．

4．如圖，割線 PAB 過圓心 O,，PD 切⊙O于 D,，C是BD上一點，∠ PDA＝20°,，則∠ C的度數(shù)是（ ）度．

5．如圖,，已知 AB 是⊙O的直徑，PC 切⊙O于點 C,，∠ PCB＝35°,，則∠ B等于 度．

6．定義：由圓的切線和過切點的弦所組成的角叫做弦切角．如圖 1，已知 AB 切⊙O于 D

點,，CD 是⊙O的弦,，則圖中∠ BCD 與∠ ADC 都是弦切角．

（1）如圖 2，作出∠ BCD 所夾弧 CD 所對的圓周角∠ M,，求證：∠ BCD＝∠ M,；

（2）請用文字語言總結（1）中的結論 ；

（3）如圖 3,，PB 切⊙O于 B點,，PAB 交⊙O于A、B兩點,，利用（2）中的結論,，求證PC2＝PA· PB．

重點關注題

小明是個愛動腦筋的孩子，他在學完與圓有關的角圓周角,、圓心角后,，意猶未盡，又查閱到了與圓有關的另一種角﹣﹣﹣﹣﹣﹣弦切角．請同學們先仔細閱讀下面的材料,，再完成后面的問題．

材料：頂點在圓上,，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角．如圖 1,，弧AMB是弦切角∠ PAB 所夾的弧,，他發(fā)現(xiàn)弦切角與它所夾的弧所對的圓周角有關系．

問題 1：如圖 2，直線 DB 切⊙O于點 A,，∠ PCA 是圓周角,，當圓心 O位于邊 AC 上時，

求證：∠ PAD＝∠ PCA,，請你寫出這個證明過程．

問題拓展：

問題 1：如果圓心 O不在∠ PCA 的邊上,，∠ PAD＝∠ PCA 還成立嗎,？如圖 3，當圓心 O在∠ PCA 的內部時,，小明證明了這個結論是成立的．他的思路是：作直線 AE,，聯(lián)結 PE，由問題 1的結論可知∠ PAD＝∠ PEA,，而∠ PCA＝∠ PEA,，從而證明∠ PAD＝∠ PC．

問題 2：如圖 4，當圓心 O在∠ PCA 的外部時,，∠ PAD ＝∠ PCA 仍然成立．請你仿照小明

的思路證明這個結論．

運用：如圖 5,，AD 是△ABC 中∠ BAC 的平分線，經(jīng)過點 A的⊙O與 BC 切于點 D,，與 AB,、

AC 分別相交于 E、F．求證：EF∥ BC．（ 提示：可以直接使用本題中的結論）

數(shù)學思想在教學過程中的滲透有利于鍛煉學生的邏輯思維與創(chuàng)造性思維.圓冪定理揭示了過同一點的弦,切線及割線之間存在的比例關系.本文主要探討圓冪定理在中學平面幾何運用中的三類數(shù)學思想,旨在對圓冪定理的教學提供一些參考.