女士們，先生們,，老少爺們兒們,！在下張大少。

無邊的奇跡源于簡單規(guī)則的無限重復(fù),。

——本華·曼德博(Benoit Mandelbrot)

分形改變了人們觀察世界的方式,，也改變了藝術(shù)家們描繪自然的手法。他們無需再對著錯綜復(fù)雜的現(xiàn)實世界循規(guī)蹈矩地精雕細(xì)刻,，相反,，他們清空萬物，一切從頭開始,，滿懷著一種試圖扮演上帝七天創(chuàng)造萬物的沖動和自信,。在空白的畫布上勾勒自己心中理想的秩序。此時,，藝術(shù)家儼然就是造物主,，再不受傳統(tǒng)繪畫技術(shù)的教條的禁錮。更何況懂分形的藝術(shù)家自信已經(jīng)掌握了數(shù)學(xué),。正如俗語所云,，"眾葉成枝，眾枝成木,，眾木成林",，他們只需要描繪出一片樹葉或是一截樹杈，然后反復(fù)迭代很多次,，就能畫成一片森林,。故而，分形樹一直是分形領(lǐng)域一個的重要話題,。

最常見的一種分形樹模型是對稱二叉樹,。如下圖6.2.1，以長度為1的垂直線段作為樹干,，頂部分叉成兩個分支,，每一個分支與樹干的延長線所加角度都為θ（0°< θ < 180°），每一個分支的長度都是r （0 < r < 1）,。這兩個分支又構(gòu)成了子樹的主干,，子樹又按照同樣的規(guī)則分成兩個更小分支。夾角仍然為θ,，4個新分支的長度則都是r^2,。根據(jù)這個規(guī)則不斷地添加更小的分支，便得到了對稱二叉樹,。

圖6.2.1 對稱二叉樹模型

顯然,，在這個模型中，對樹的形態(tài)起決定性作用的是θ和 r,。

我們先把θ固定為45°,，改變r的取值。下圖6.2.2a-c是r分別取0.5,、0.6,、0.7，然后迭代10次的情況,?？梢钥吹剑瑀=0.5時,，樹的樣子稀稀落落,，像棵枯樹；r=0.6時,，樹的形態(tài)比較正常,；r=0.7時，樹顯得異常枝繁葉茂,。

圖6.2.2a θ=45°,，r=0.5

圖6.2.2b θ=45°，r=0.6

圖6.2.2c θ=45°,，r=0.7

接下來,，我們把r固定0.6，觀察θ的改變對二叉樹形態(tài)的影響,。下圖6.2.3a-g是θ取不同數(shù)值時迭代10次的情況,。可以看到,，當(dāng)θ<90°時,，樹的形態(tài)基本正常。當(dāng)θ≥90°時,，樹的樣子就有些不合常規(guī)了,。不過,，自然界中確實也有些樹的樹枝是水平生長或向下生長的，比如松樹,、垂枝梅,、龍爪槐……

圖6.2.3a θ=30°，r=0.6

圖6.2.3b θ=45°,，r=0.6

圖6.2.3c θ=60°,，r=0.6

圖6.2.3d θ=90°，r=0.6

圖6.2.3e θ=120°,，r=0.6

圖6.2.3f θ=135°,，r=0.6

圖6.2.3g θ=150°，r=0.6

想必你已經(jīng)發(fā)現(xiàn),，如果比例因子r太小,，樹的分支就會稀稀落落，整棵樹形如枯木朽株,。如果r太大,，分支就會彼此重疊，綠蓋如陰,，遮天蔽日,。如果左右兩邊分支剛好接觸且不重疊，這棵樹就一定非常特殊,。研究表明,，對于每個角θ，都有一個唯一的比例因子rsc,，使得對稱二叉樹剛好能夠左右接觸且不重疊,。而如果比例因子rsc又剛好等于黃金比例0.618，那么這棵樹就又擁有了極其獨特的美學(xué)特征,，我將之稱為"黃金對稱二叉樹",。計算可知，黃金對稱二叉樹一共有4種,，分別對應(yīng)于θ為60°,、108°、120°和144°,，如下圖6.2.4,。

圖6.2.4 四種黃金對稱二叉樹

如圖6.2.5，以θ=60°的黃金對稱二叉樹的樹根為旋轉(zhuǎn)中心,，一個逆時針轉(zhuǎn)120°,，另一個順時針轉(zhuǎn)120°。3棵樹在樹枝尖端相交，整體恰好可以放入一個正三角形中,。

圖6.2.5

如圖6.2.6,，仍然是θ=60°的黃金對稱二叉樹，6個拼在一起,，可以放進正六邊形之中,，6棵樹的樹根構(gòu)成了正六邊形的頂點,。

圖6.2.6

108°跟五邊形和五角星有不解之緣,。如圖6.2.7，5棵θ=108°的黃金對稱二叉樹可以被放置在正五邊形內(nèi),，5棵樹彼此接觸,，但不會重疊。

圖6.2.7

如圖6.2.8,，5棵二叉樹也可以被放置在正五邊形外側(cè),。按這種方式擺放，一棵樹的頂部邊緣與相鄰樹的側(cè)邊緣共線,。將這五條線延長至彼此相交,，便可以得到黃金五角星。

圖6.2.8

如圖6.2.9~10,，θ=120°的黃金對稱二叉樹與60°類似,，同樣可以放進正三角形和正六邊形中。

圖6.2.9

圖6.2.10

θ=144°的黃金對稱二叉樹就比較有意思了,，如圖6.2.11,，以樹根為旋轉(zhuǎn)中心，每隔72°放置一棵樹,，此時它們的樹枝尖端恰好彼此相連,，形成一片"五角科赫雪花"。

圖6.2.11

關(guān)于分形樹的另一種常見構(gòu)造是畢達哥拉斯樹,，從一個正方形開始,。構(gòu)造一個直角等腰三角形，它的斜邊是正方形的頂邊,。沿著這個等腰三角形的另外兩邊各構(gòu)造一個正方形,。在兩個新方塊上重復(fù)這個構(gòu)造。圖6.2.12是經(jīng)過10次迭代的家畢達哥拉斯樹,。這種構(gòu)造以古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯命名,，因為它的構(gòu)造驗證了畢達哥拉斯定理，即直角三角形兩邊的正方形面積之和等于直角三角形斜邊的正方形面積,。

圖6.2.12

將畢達哥拉斯樹與前文中的對稱二叉樹構(gòu)造相比可以發(fā)現(xiàn),，盡管兩種樹的樹干不同，但這兩棵樹的葉子看起來非常相似,。

附在正方形的三角形未必僅限于等腰直角三角形,，可以是任意角度的直角三角形,。下圖6.2.13顯示了30°、60°,、90°的直角三角形迭代10次的結(jié)果,，樹冠明顯朝一側(cè)傾斜，同時出現(xiàn)了大大小小很多螺旋,。

圖6.2.13

現(xiàn)實中的樹木也是如此,，并不完全左右對稱，也并非總是兩個分支,。如圖6.2.14,，信手畫幾根線，迭代若干次之后,，一棵足以以假亂真的大樹便躍然紙上,。當(dāng)然，你說這是一片樹葉亦無不可,。

圖6.2.14

正如本華·曼德博所言,，"無邊的奇跡源于簡單規(guī)則的無限重復(fù)"，萬物的生長密碼或許盡在于此,。

青山不改,，綠水長流，在下告退,。

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