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本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情境,、提出問題引起學(xué)生關(guān)注,，采取活動探究的方式，由學(xué)生分組合作,、自行動手,、討論探究，通過拼擺或減拼的方式將三角形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的圖形,，探索三角形的面積計算公式,，始終確保學(xué)生活動是課程的主要和重要環(huán)節(jié)，讓學(xué)生形成對知識的深度認(rèn)識,，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和空間觀念,。
本節(jié)課是北京版第九冊的內(nèi)容，屬于圖形與幾何領(lǐng)域中圖形測量這一部分,。學(xué)生在前階段學(xué)習(xí)中首先對面積的含義有了基本認(rèn)識,，并且在三年級下學(xué)期探索學(xué)習(xí)了長方形和正方形的面積計算公式。在此基礎(chǔ)上,，本學(xué)期進一步學(xué)習(xí)了平行四邊形和梯形,，并推導(dǎo)了平行四邊形和梯形的面積計算公式。本次三角形面積的學(xué)習(xí)以平行四邊形和梯形的面積計算公式的推導(dǎo)和應(yīng)用為基礎(chǔ),，通過學(xué)生自主研究,，發(fā)現(xiàn)并運用三角形的面積計算公式。
在三角形的面積學(xué)習(xí)之前,，本學(xué)期,，學(xué)生已經(jīng)完成了平行四邊形和梯形面積的學(xué)習(xí)，通過割補或拼擺探究了平行四邊形和梯形面積計算公式,，并且能夠運用面積公式進行計算,。此次，通過探究三角形面積計算公式,，能夠考察學(xué)生對轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)研究方法的理解和運用,。為了進一步了解學(xué)生的具體情況，教師設(shè)計了前測題目,，對班級中48名學(xué)生進行了前期調(diào)研,。（2）請你說一說你的想法,。（請將你的思考過程盡量詳細(xì)的寫下來，確保其他人也能夠理解,。）題目 | 結(jié)果 | 百分比 | 第（1）題 | 三角形的面積 | 82.5%（42人） | 第（2）題 | 拼擺 | 平行四邊形 | 19人 | 長方形或正方形 | 5人 | 割補 | 平行四邊形 | 0人 | 長方形或正方形 | 1人 | 將三角形視為特殊的梯形 | 11人 | 只知道公式,，無法說明原理 | 9人 |
第（1）小題的正確率為82.5%,，說明班級中大部分同學(xué)能夠正確計算三角形的面積，有8位同學(xué)不能準(zhǔn)確計算,，并且對于三角形面積的推導(dǎo)毫無想法,。在第（2）小題中，大多數(shù)同學(xué)采取了拼擺的方法,，將兩個完全相同的三角形拼在一起,，其中有5位同學(xué)采用了特殊三角形，將其拼成了長方形或正方形,；僅1位學(xué)生采用1個三角形,，通過割補的方法，將三角形轉(zhuǎn)華為長方形進行計算,，說明學(xué)生不能很好地將割補的方梯形面積運用到三角形面積的探究中,；11位同學(xué)將三角形視為特殊的梯形，并推導(dǎo)出了三角形的面積計算公式,；但有9位同學(xué)僅僅知道三角形的面積公式,，并且能夠正確計算，但無法準(zhǔn)確闡述其推導(dǎo)過程,。此外,，有6位學(xué)生運用了兩種及以上方法闡述了思維過程，包括拼擺和將三角形視為特殊梯形的方法,。由此可見,，班級中大部分學(xué)生知道三角形的面積計算公式并能運用，但15%左右的學(xué)生不了解三角形面積計算公式的原理,，大部分學(xué)生無法將割補方法運用到三角形面積的探究中，還有少部分學(xué)生的方法局限于特殊三角形,，無法遷移到一半三角形中,。根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1.通過觀察,、比較,、操作，將轉(zhuǎn)化思想運用到三角形面積的推導(dǎo)中,，運用多種方法推導(dǎo)三角形面積計算公式,，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,、動手操作能力和類推遷移能力,；2.理解三角形面積公式的推導(dǎo)過程,，正確運用三角形面積計算公式進行計算；3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考,、積極探索的學(xué)習(xí)精神,。教學(xué)重點是：多種推導(dǎo)三角形面積的計算公式。教學(xué)難點是：理解三角形面積計算公式,，正確計算三角形的面積,。課堂自主性
一、復(fù)習(xí)舊知,，情景引入 1.回憶平行四邊形和梯形面積計算公式的推導(dǎo)過程 師：同學(xué)們,，在前面的學(xué)習(xí)中，我們剛剛結(jié)束了平行四邊形和梯形面積計算公式的學(xué)習(xí),，有誰能來說一說我們是怎么發(fā)現(xiàn)平行四邊形和梯形面積計算公式的呢,？師：那么通過這兩個圖形的學(xué)習(xí),，我們學(xué)會了一種特別重要的數(shù)學(xué)方法，你們知道是什么方法嗎,？預(yù)設(shè)：把新的圖形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形。2.情境引入 出示圖片 
師：同學(xué)們在哪里見過這個標(biāo)識呢,？師：你們有誰知道這個標(biāo)識是什么意思嗎,？預(yù)設(shè)：警告，提示我們有危險的意思,。師：你們知道這些標(biāo)識是用什么材質(zhì)做成的嗎,？師：那同學(xué)們，如果現(xiàn)在我們想要知道制作這個標(biāo)牌需要多少材料,，那么我們需要先知道什么呢,？師：非常棒，那么接下來,，就讓我們一起來探索三角形的面積應(yīng)該怎么計算吧,！
二、分組合作,，探索新知 活動一： 請同學(xué)們試著探究三角形的面積計算公式,，并將你的想法寫在學(xué)習(xí)單上。3.每次可以打開一個信封,，當(dāng)這個信封中的學(xué)具無法幫助你的時候,，你可以打開下一個信封；我可以把兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形,，而且我發(fā)現(xiàn)三角形的底和高與平行四邊形的底和高是一樣的，根據(jù)平行四邊形的面積是底×高,，三角形的面積應(yīng)該是底×高÷2,；我和剛才這位同學(xué)的想法是一樣的，而且我發(fā)現(xiàn)不僅是銳角三角形,，兩個一樣的鈍角三角形也拼成一個平行四邊形,，所以根據(jù)平行四邊形的面積是底×高，三角形的面積應(yīng)該是底×高÷2,；我發(fā)現(xiàn)把兩個相同的直角三角形拼在一起,，剛好是一個長方形，而且長方形的長和寬剛好是三角形的兩條直角邊,，既然長方形的面積是長×寬,，那么直角三角形的面積就是兩條直角邊相乘再除以2；師：那么同學(xué)們,，以上幾組的同學(xué)都展示了自己的想法,，你們能說說他們的想法有什么共同點嗎？預(yù)設(shè)1:都是用兩個一樣的三角形拼在一起來思考的,；師：非常好,，除了用兩個一樣的三角形拼在一起之外，那么我們還有別的辦法嗎,？預(yù)設(shè)：還可以用一個三角形,，剪完以后拼在一起。預(yù)設(shè)1:我們組將這個等腰三角形沿著它的對稱軸切開,，將切開的兩個三角形拼在一起變成了長方形,，那么原來三角形的面積和這個長方形一樣，而長方形的長就是原來三角形底的一半,，寬就是三角形的高，所以三角形的面積就是底×高÷2,。預(yù)設(shè)2:我也拼成了長方形,，但我用的是直角三角形，沿著三角形兩條鄰邊的中點切開,，將上面的三角形拼在下面的梯形旁邊,，它就能變成長方形了。通過多組同學(xué)的展示,，鞏固拼擺和割補的方法,，使學(xué)生能夠多角度學(xué)習(xí),、探究三角形面積公式；并且在學(xué)生討論中,，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊三角形存在的特殊方法,。三、總結(jié)歸納,，追蹤練習(xí) 通過以上的探究,，相信同學(xué)們對于三角形的面積計算公式已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，接下來,，請同學(xué)們說一說,，剛才同學(xué)們的方法有什么相同點和不同點。預(yù)設(shè)：都是將三角形轉(zhuǎn)化為了我們學(xué)過的圖形進行計算,；不同之處是有的同學(xué)用了一個三角形割補的方法,，有的同學(xué)用了兩個三角形拼擺的方法。師：非常好,，那么接下來,，請同學(xué)們完成學(xué)習(xí)單上的第2題。師：請同學(xué)們來說一說 ,，三角形的面積計算公式是什么,？師如果用S表示三角形的面積，用a和h分別表示三角形的底和高,，那么三角形的面積計算公式可以寫成什么樣子呢,？師：那么接下來，請同學(xué)們運用這節(jié)課的所學(xué)來試著解決學(xué)習(xí)單上的第3題吧,！題目：根據(jù)規(guī)定,，三角形路牌的底邊長70厘米，底邊上的高長83厘米,，請你算一算這個路牌的面積大約是多少,。通過總結(jié)歸納，使學(xué)生進一步回顧課堂環(huán)節(jié),，將同學(xué)們的探究成果進行分類和分析,，并且將字母表示數(shù)的方法嵌入到圖形學(xué)習(xí)中，最后通過實際練習(xí),，鞏固三角形面積公式的認(rèn)識和應(yīng)用,。四、追溯本源,，了解歷史 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),，我們學(xué)習(xí)并研究了三角形的面積計算公式。那么,，同學(xué)們一定思考過這樣一個問題,，這些公式是誰發(fā)現(xiàn)的,、為什么要計算面積等等問題。那么我們一起來看看黑板上的兩句話,，有誰能準(zhǔn)確的讀一讀嗎,？展示： “方田術(shù)曰，廣從步數(shù)相乘得積步,?！?/p> “圭田術(shù)曰，半廣以乘正從,?！?nbsp; ——《九章算術(shù)》 師：那么我們一起來了解一下這兩句話的含義吧。方是指長方形或正方形,，田就是田地,，方田就是指長方形或正方形的田地，廣是指長方形的長,，而從則指長方形的寬,，所以第一句話是指長方形的面積計算。第二句中的“圭田”在古代是指三角形的田地,，廣對應(yīng)三角形的底,，正從則是三角形的高，所以第二句話是在講三角形的面積計算,。通過解讀名篇,，使學(xué)生了解面積計算在中國的起源和中國古人的智慧，增加學(xué)生的傳統(tǒng)知識儲備,，增強學(xué)生的民族自豪感和文化自信心,。本節(jié)課從回顧平行四邊形和梯形面積推導(dǎo)過程開始，通過生活中常見的警示標(biāo)志提出問題,，由設(shè)問進入課堂主題,；然后通過小組合作，集眾人智慧,，對三角形面積進行推導(dǎo),；在小組匯報中，關(guān)注不同小組暴露出的問題,，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑并發(fā)問,，引導(dǎo)學(xué)生思考，從而完善學(xué)生思維路徑,，在最后解決課程開始時的問題,，從而形成完整的學(xué)習(xí)閉環(huán),；同時將九章算術(shù)中關(guān)于面積和三角形面積的內(nèi)容作為課程的最終環(huán)節(jié),，在豐富學(xué)生知識儲備的同時,，增加學(xué)生對傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)歷史的認(rèn)識。 學(xué)科知識總結(jié)（學(xué)科知識樹）
“三角形的面積”這節(jié)課屬于公式推導(dǎo)課,，具有一定抽象性,，所以本節(jié)課的難點是學(xué)生通過平行四邊形、梯形面積計算公式的推導(dǎo),，將轉(zhuǎn)化思想遷移到三角形面積的推導(dǎo)過程中,，運用拼擺和割補等多種方法推導(dǎo)三角形的面積計算公式。根據(jù)學(xué)生的學(xué)情差異,，本課程設(shè)計了三種不同層次的學(xué)具幫助學(xué)生學(xué)習(xí),。第一層次的學(xué)具涵蓋了銳角三角形、直角三角形,、鈍角三角形,、等腰三角形紙片若干，確保學(xué)生在無法抽象想象的情況下借助教具進行拼擺或割補,；第二層次的學(xué)具是平行四邊形,、長方形和正方形若干，并且為其連接了對角線,，引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形和這些圖形之間的面積關(guān)系,；第三層次的學(xué)具是透明方格紙，通過數(shù)放個數(shù)量,，引導(dǎo)學(xué)生回憶計算面積的本質(zhì),。 學(xué)生在展示將兩個相同的銳角三角形或鈍角三角形拼擺成平行四邊形時，教師引導(dǎo)其他學(xué)生發(fā)問,，但學(xué)生沒有提出有效問題或建議,，此時由教師發(fā)問，質(zhì)疑相同三角形拼擺成平行四邊形時是否只有一種擺法,，從而使學(xué)生進行思考,。【自主總結(jié)（自主課堂構(gòu)建策略）】“三角形的面積”這節(jié)課屬于公式推導(dǎo)課，具有一定抽象性,，所以本節(jié)課的難點是學(xué)生通過平行四邊形,、梯形面積計算公式的推導(dǎo)，將轉(zhuǎn)化思想遷移到三角形面積的推導(dǎo)過程中,，運用拼擺和割補等多種方法推導(dǎo)三角形的面積計算公式,。根據(jù)學(xué)生的學(xué)情差異，本課程設(shè)計了三種不同層次的學(xué)具幫助學(xué)生學(xué)習(xí),。第一層次的學(xué)具涵蓋了銳角三角形,、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形紙片若干,，確保學(xué)生在無法抽象想象的情況下借助教具進行拼擺或割補,；第二層次的學(xué)具是平行四邊形、長方形和正方形若干,，并且為其連接了對角線,，引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形和這些圖形之間的面積關(guān)系；第三層次的學(xué)具是透明方格紙,，通過數(shù)方格數(shù)量,，引導(dǎo)學(xué)生回憶計算面積的本質(zhì)。本節(jié)課從回顧平行四邊形和梯形面積推導(dǎo)過程開始,，通過生活中常見的警示標(biāo)志提出問題,，由設(shè)問進入課堂主題；然后通過小組合作,，集眾人智慧,，對三角形面積進行推導(dǎo)；在小組匯報中,，關(guān)注不同小組暴露出的問題,，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑并發(fā)問，引導(dǎo)學(xué)生思考,，從而完善學(xué)生思維路徑,，在最后解決課程開始時的問題，從而形成完整的學(xué)習(xí)閉環(huán),；同時將九章算術(shù)中關(guān)于面積和三角形面積的內(nèi)容作為課程的最終環(huán)節(jié),，在豐富學(xué)生知識儲備的同時，增加學(xué)生對傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)歷史的認(rèn)識,。
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