|
第35講 摘要：“算兩次”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，又稱為“富比尼原理”,。它的基本思想是：將同一個量從兩個不同角度計算兩次,，從而建立等量關(guān)系,。減法運算完后用加法運算檢驗其結(jié)果,，除法運算完后用乘法運算檢驗其結(jié)果,，都屬于“算兩次”.通過兩個角度去思考問題,，從而達(dá)到尋找解題思路,、進(jìn)行相關(guān)驗算的目的。 “算兩次” 又稱為富比尼原理.它的解題形式,，單墫教授將其比喻成“三步舞曲”,，即從兩個方面考慮一個適當(dāng)量,，“一方面…,，另一方面…,，綜合起來可得…”.如果兩個方面都是準(zhǔn)確的結(jié)果,綜合起來得到一個等式;如果至少有一個方面采用了估計,，那么綜合起來可得到一個不等式。 證明題中,用兩種方法計算同一個量,，更是一種行之有效的基本方法。立體幾何中求距離常用的等體積法,，就是利用三梭錐可換底的特點,，兩次計算體積建立等式求高(即距離)。又如在解析幾何中求某些動點軌跡,，常根據(jù)動點滿足的兩個條件列出等式. 數(shù)學(xué)中的一些公式,、定義有多種表達(dá)方式，正是這些公式,、定義表達(dá)的多樣性,，使得它們的應(yīng)用具有很強(qiáng)的靈活性。而“算兩次”正是靈活運用,、理解公式和定義的一種重要手段. 對于一些等量關(guān)系不太明顯的定理證明,“算兩次”思想幫助我們找到了隱藏的相等關(guān)系,，巧妙地、“無”中生有地建立等式.事實上,，”算兩次”可用來證明高中數(shù)學(xué)中的一些定理如正弦定理,、余弦定理,、兩角和與差的正,、余弦公式等,。兩個角度審視同一個向量,、一條切線斜率的兩種算法,、線段具有的兩個表達(dá)形式,、不同線段攝影的合二為一.......這些都是借用了“算兩次”的數(shù)學(xué)方法,。 “算兩次”不僅體現(xiàn)了從兩個方面去計算的解題方法,更重要的是蘊(yùn)含著換一個角度看問題的轉(zhuǎn)換思想.波利亞對此十分推崇.“算兩次”,是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造發(fā)明的法寶,當(dāng)然也應(yīng)當(dāng)成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),、研究數(shù)學(xué)的一種極其重要的探索方式。 
課件制作 | 張葉倩 責(zé)任編輯 | 張葉倩 審核指導(dǎo) | 段志貴
|
