第9招：偷梁換柱 - 換元構造函數(shù)證明不等式

(天津卷)已知函數(shù),為的導函數(shù).

(Ⅰ)當時,

(i)求曲線在點處的切線方程;

(ii)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;

(Ⅱ)當時,求證:對任意的,且,有.

【答案】(Ⅰ)(i);(ii)單調遞減區(qū)間為(0,1),單調遞增區(qū)間為(1,+∞),的極小值為,無極大值;(Ⅱ)證明見解析、

【解析】(Ⅰ) (i) 當k=6時,,、可得,,

所以曲線在點處的切線方程為,即、

(ii) 依題意,,、

從而可得,

整理可得:,

令,解得、

當x變化時,的變化情況如下表:

所以,函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1),單調遞增區(qū)間為(1,+∞);

g(x)的極小值為g(1)=1,無極大值,、

(Ⅱ)證明:由,得

對任意的,且,令,則

,、 ①

令,、

當x>1時,,

由此可得在單調遞增,所以當t>1時,,即、

因為,,,

所以

,、 ②

由(Ⅰ)(ii)可知,當時,,即,

故 ③

由①②③可得,、

所以,當時,任意的,且,有

、

令法:要證明原不等式成立,只要證,、又,下證,令,,,所以函數(shù)在上遞增,則,。

【點評】本題第(2)問是多元變量證明不等式問題,基本方法是運用換元法進行消元構造新函數(shù),整理發(fā)現(xiàn)多項式含有,進而對式子提取,進而令,構造函數(shù)證明,結合進行放縮,進而把多元不等式問題轉化為單變量問題進行解決、含雙變量的問題,常常構建或的關系,再利用換元法,把二元問題轉化為一元問題,最后結合導數(shù)證明不等式,。

換元法構造函數(shù)證明不等式的運用

1.適用題型

綜合性很強的導數(shù)解答題中,不等式的證明中有兩個變量,這兩個變量可能是極值點,、零點、兩函數(shù)交點,、極值等,。

2.換元的實質

若兩個變元之間聯(lián)系“親密”,我們可以通過計算、化簡,將所證明的不等式整體轉化為關于的表達式(其中為組合成的表達式),進而使用換元令,使所要證明的不等式轉化為關于的表達式,進而用導數(shù)法進行證明,換元的實質是轉化,構造元和設元是關鍵,。

1.換元構造的類型

(1)表達式形式為齊次式時,我們常利用構造比值式,再整體代換的方法完成消元;

(2)非齊次式的消元構造復雜一些,思路可以分為兩大步,即先消元再構造;

(3)當研究的雙變量是二次函數(shù)的零點時,此時可認為兩零點的關系是明確的,可根據(jù)韋達定理得到兩零點之間滿足的關系,消元后進一步求解;

(4)當研究的雙變量關系不明確時,利用降元思想,將雙元不等式轉化為單元不等式,具體方法如下:一般選取為主元,將,,,,建立關于的函數(shù),用函數(shù)思想建立數(shù)量關系,借助導數(shù)證明不等式,。

2.解題步驟

第一步:找到要證明的不等式中的兩個變量的內在聯(lián)系,如兩個極值點就可以利用導數(shù)等于零,如果導數(shù)是二次函數(shù)或與二次函數(shù)相關,就可以利用韋達定理處理;

第二步:化簡不等式,將變量直接代入函數(shù)不等式結合變量間的關系化簡,將不等式轉成只含一個變量或能夠整體換元的變量組合形式的表達式;

第三步:通過換元構建新函數(shù),分析單調性求解最值,將不等式的證明轉成求解函數(shù)最值問題,從而將一個無從下手的不等式證明問題轉成一個常規(guī)的導數(shù)問題。

1.（2021屆黃岡市黃梅國際育才高級中學期中）已知函數(shù).

(1)若只有一個極值點,，求的取值范圍.

(2)若函數(shù)存在兩個極值點,，記過點的直線的斜率為，證明：.

2.（2021屆昆明市第一中學月檢測）已知函數(shù).

（1）若在其定義域內不是單調函數(shù),，求實數(shù)的取值范圍,；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，,，且,，設，不等式恒成立,，求實數(shù)的取值范圍.

3.（2021屆泰州市期中聯(lián)考）已知函數(shù),，．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若是的切線,，求實數(shù)的值,；

（3）若與的圖象有兩個不同交點，求證：．