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生平簡介  1870年康托爾 康托爾愛好廣泛,，極有個性,，終身信奉宗教,。早期在數(shù)學(xué)方面的興趣是數(shù)論，1870年開始研究三角級數(shù)并由此導(dǎo)致19世紀末,、20世紀初最偉大的數(shù)學(xué)成就——集合論和超窮數(shù)理論的建立,。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)立過程中所涉及的數(shù)理哲學(xué)問題.1888-1893年康托爾任柏林數(shù)學(xué)會第一任會長,，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國數(shù)學(xué)家聯(lián)合會并任首屆主席,。 主要貢獻 文獻綜述 康托爾對數(shù)學(xué)的貢獻是集合論和超窮數(shù)理論。  康托爾圖冊 建立集合論 19世紀由于分析的嚴格化和函數(shù)論的發(fā)展,，數(shù)學(xué)家們提出了一系列重要問題,，并對無理數(shù)理論、不連續(xù)函數(shù)理論進行認真考察,，這方面的研究成果為康托爾后來的工作奠定了必要的思想基礎(chǔ),。 康托爾是在尋找函數(shù)展開為三角級數(shù)表示的唯一性判別準則的工作中，認識到無窮集合的重要性,，并開始從事無窮集合的一般理論研究,。早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文,，證明了函數(shù)f(x)的三角級數(shù)表示的唯一性定理,，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立,。1872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表了一篇題為《三角級數(shù)中一個定理的推廣》的論文,，把唯一性的結(jié)果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點,，然后引進了點集的導(dǎo)集和導(dǎo)集的導(dǎo)集等有關(guān)重要概念,。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，并為點集論奠定了理論基礎(chǔ),。以后,，他又在《數(shù)學(xué)年鑒》和《數(shù)學(xué)雜志》兩刊上發(fā)表了許多文章。他稱集合為一些確定的,、不同的東西的總體，這些東西人們能意識到并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體,。他還指出,，如果一個集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對應(yīng)，它就是無窮的,。他又給出了開集,、閉集和完全集等重要概念，并定義了集合的并與交兩種運算,。 為了將有窮集合的元素個數(shù)的概念推廣到無窮集合,，他以一一對應(yīng)為原則，提出了集合等價的概念,。兩個集合只有它們的元素間可以建立一一對應(yīng)才稱為是等價的,。這樣就第一次對各種無窮集合按它們元素的“多少”進行了分類。他還引進了“可列”這個概念,，把凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)的任何一個集合都稱為可列集合,。1874年他在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表的論文中，證明了有理數(shù)集合是可列的,，后來他還證明了所有的代數(shù)數(shù)的全體構(gòu)成的集合也是可列的,。至于實數(shù)集合是否可列的問題，1873年康托爾給戴德金（Dedkind,，Julins Wilhelm Richard,，1831.10.6-1916.2.12）的一封信中提出過，但不久他自己得到回答：實數(shù)集合是不可列的,。由于實數(shù)集合是不可列的,，而代數(shù)數(shù)集合是可列的，于是他得到了必定有超越數(shù)存在的結(jié)論,，而且超越數(shù)“大大多于”代數(shù)數(shù),。同年又構(gòu)造了實變函數(shù)論中著名的“康托爾集”,給出測度為零的不可數(shù)集的一個例子。他還巧妙地將一條直線上的點與整個平面的點一一對應(yīng)起來,，甚至可以將直線與整個n維空間進行點的一一對應(yīng),。從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無窮線形點流形”,，其中前四篇同以前的論文類似,，討論了集合論的一些數(shù)學(xué)成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應(yīng)用,。第五篇論文后來以單行本出版,，單行本的書名《一般集合論基礎(chǔ)》。第六篇論文是第五篇的補充,?？低袪柕男艞l是：“數(shù)學(xué)在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對他的概念限制只在于：必須是無矛盾的,，并且與由確切定義引進的概念相協(xié)調(diào),。……數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由,?！?/span> 超窮數(shù)理論 《一般集合論基礎(chǔ)》（以下簡稱《基礎(chǔ)》）在數(shù)學(xué)上的主要成果是引進超窮數(shù)，在具體展開這一理論的過程中,，康托爾應(yīng)用了以下幾條原則： 第一生成原則：從任一給點的數(shù)出發(fā),，通過相繼加1（個單位）可得到它的后繼數(shù)。 第二生成原則：任給一個其中無最大數(shù)的序列,，可產(chǎn)生一個作為該序列極限的新數(shù),，它定義為大于此序列中所有數(shù)的后繼數(shù)。 第三（限制）原則：保證在上述超窮序列中產(chǎn)生一種自然中斷,，使第二數(shù)類有一個確定極限,，從而形成更大數(shù)類。 反復(fù)應(yīng)用三個原則,，得到超窮數(shù)的序列 ω,，ω1，ω2,，… 利用先前引入的集合的勢的概念,，康托爾指出，第一數(shù)類（Ⅰ）和第二數(shù)類（Ⅱ）的重要區(qū)別在于（Ⅱ）的勢大于（Ⅰ）的勢,。在《基礎(chǔ)》的第十三章,，康托爾第一次指出，數(shù)類（Ⅱ）的勢是緊跟在數(shù)類（Ⅰ）的勢之后的勢,。 在《基礎(chǔ)》中,，康托爾還給出了良序集和無窮良序集編號的概念，指出整個超窮數(shù)的集合是良序的,，而且任何無窮良序集,，都存在唯一的一個第二數(shù)類中的數(shù)作為表示它的順序特性的編號。康托爾還借助良序集定義了超窮數(shù)的加法,、乘法及其逆運算,。 《對超窮數(shù)論基礎(chǔ)的獻文》是康托爾最后一部重要的數(shù)學(xué)著作，經(jīng)歷了20年之久的艱苦探索,，康托尓希望系統(tǒng)地總結(jié)一下超窮數(shù)理論嚴格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),。《獻文》分兩部分,，第一部分是“全序集合的研究”,，于1895年5月在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表。第二部分于1897年5月在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表,，是關(guān)于“良序集的研究”,。《獻文》的發(fā)表標志集合論已從點集論過渡到抽象集合論,。但是，由于它還不是公理化的,，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當?shù)南拗票銜?dǎo)出悖論,，所以康托爾的集合論通常成為古典集合論或樸素集合論。 不公遭遇 由康托爾首創(chuàng)的全新且具有劃時代意義的集合論,，是自古希臘時代的二千多年以來,，人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統(tǒng)和確定的運算，它從本質(zhì)上揭示了無窮的特性,，使無窮的概念發(fā)生了一次革命性的變化,，并滲透到所有的數(shù)學(xué)分支，從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu),，促進了數(shù)學(xué)的其他許多新的分支的建立和發(fā)展,，成為實變函數(shù)論、代數(shù)拓撲,、群論和泛函分析等理論的基礎(chǔ),，還給邏輯和哲學(xué)帶來了深遠的影響。不過康托爾的集合論并不是完美無缺的,，一方面,，康托爾對“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面,，19和20世紀之交發(fā)現(xiàn)的布拉利－福蒂悖論,、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產(chǎn)生了嚴重的懷疑,。加之集合論的出現(xiàn)確實沖擊了傳統(tǒng)的觀念,，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數(shù)學(xué)家所接受，遭到了許多人的反對,，其中反對的最激烈的是柏林學(xué)派的代表人物之一,、構(gòu)造主義者克羅內(nèi)克?？肆_內(nèi)克認為,，數(shù)學(xué)的對象必須是可構(gòu)造出來的，不可用有限步驟構(gòu)造出來的都是可疑的,，不應(yīng)作為數(shù)學(xué)的對象,，他反對無理數(shù)和連續(xù)函數(shù)的理論，同樣嚴厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數(shù)理論不是數(shù)學(xué)而是神秘主義,。他說康托爾的集合論空空洞洞毫無內(nèi)容,。除了克羅尼克之外，還有一些著名數(shù)學(xué)家也對集合論發(fā)表了反對意見,。法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Poincare,，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）說：“我個人，而且還不只我一人,，認為重要之點在于,，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當作一個有趣的“病理學(xué)的情形”來談,，并且預(yù)測說：“后一代將把（Cantor）集合論當作一種疾病,，而人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了”。德國數(shù)學(xué)家外爾（Weyl,，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）認為,，康托爾關(guān)于基數(shù)的等級觀點是“霧上之霧”?？巳R因（Klein,，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不贊成集合論的思想,。數(shù)學(xué)家H．A．施瓦茲原來是康托爾的好友,，但他由于反對集合論而同康托爾斷交。集合論的悖論出現(xiàn)之后,，他們開始認為集合論根本是一種病態(tài),，他們以不同的方式發(fā)展為經(jīng)驗主義、半經(jīng)驗主義,、直覺主義,、構(gòu)造主義等學(xué)派，在基礎(chǔ)大戰(zhàn)中,，構(gòu)成反康托爾的陣營,。 1884年,，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克的尖銳對立,，精神上屢遭打擊,，5月底，他支持不住了,，第一次精神崩潰,。他的精神沮喪，不能很好地集中研究集合論,，從此深深地卷入神學(xué),、哲學(xué)及文學(xué)的爭論而不能自拔。不過每當他恢復(fù)常態(tài)時,，他的思想總變得超乎尋常的清晰,，繼續(xù)他的集合論的工作。 康托爾的集合論得到公開的承認和熱情的稱贊應(yīng)該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上表現(xiàn)出來,。瑞士蘇黎世理工大學(xué)教授胡爾維茨（Hurwitz,，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的綜合報告中,，明確地闡述康托爾集合論對函數(shù)論的進展所起的巨大推動作用,，這破天荒第一次向國際數(shù)學(xué)界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學(xué)，而是真正對數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具,。在分組會上，法國數(shù)學(xué)家阿達瑪（Hadamard Jacques,，1865.12.8－1963.10.17）,，也報告康托爾對他的工作的重要作用。隨著時間的推移,，人們逐漸認識到集合論的重要性,。希爾伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度贊譽康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”,，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”,，“是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上,，希爾伯特高度評價了康托爾工作的重要性,，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀初有待解決的23個重要數(shù)學(xué)問題之首。當康托爾的樸素集合論出現(xiàn)一系列悖論時,，克羅內(nèi)克的后繼者布勞威爾（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章,，希爾伯特用堅定的語言向他的同代人宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來”。 免責聲明 意見反饋 ?2021 baike.com |
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