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集合論的發(fā)展歷程

 先達(dá)zi4eva4m17 2019-09-23

古典集合論:說(shuō)到古典集合論,我們不得不先介紹一下其背后貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家——康托爾(為數(shù)學(xué)而“瘋”的數(shù)學(xué)家),,他是古典集合論的創(chuàng)始人,,完善了古典集合論的大部分基礎(chǔ)理論,對(duì)于集合論的產(chǎn)生,,占有舉足輕重的地位,。康托爾于1845年3月3日出生于俄國(guó)圣彼得堡,,從小對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的樂(lè)趣,,1863年進(jìn)入柏林大學(xué),,之后取得哈勒大學(xué)的教授職位,從此一直從事著集合論的創(chuàng)立工作,。

黎曼于1854年在論文《關(guān)于用三角級(jí)數(shù)表示函數(shù)的可能性》中提出函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示的唯一性問(wèn)題,,1870年,康托爾受邀海涅解決這一問(wèn)題,,他在1871-1872年間,,逐步把三角級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性條件推廣到允許例外值成為無(wú)窮的情況,認(rèn)識(shí)到了無(wú)窮集合的重要性,,這是集合論產(chǎn)生的一個(gè)直接原因,。

1873年,康托爾在于戴金德的來(lái)信中,,宣布證明了實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的,,這一年被稱為集合論的誕生年。1874年,,康托爾在論文中斷言:所有實(shí)代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的,,所有實(shí)數(shù)的集合是不可數(shù)的,因此非代數(shù)數(shù)的超越數(shù)是存在的,,而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于代數(shù)數(shù),。康托爾的證明引起了許多數(shù)學(xué)家的反駁,。但是康托爾冒著被稱為“神經(jīng)病”的稱號(hào),,依然堅(jiān)持著自己對(duì)于集合論的研究。

1878年,,康托爾提出一一對(duì)應(yīng)的概念,,作為判斷兩個(gè)集合對(duì)等的充要條件。所謂以一一對(duì)應(yīng),,可以理解為:兩個(gè)集合的元素通過(guò)映射,,可以建立滿射關(guān)系,一一對(duì)應(yīng)包含了集合元素基數(shù)(也稱勢(shì),,即元素個(gè)數(shù))相等,這是研究無(wú)窮集合的一個(gè)重要概念,。用阿列夫0代表自然數(shù)集的勢(shì),,用c代表實(shí)數(shù)集的勢(shì),運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)比較各種無(wú)窮集合的大小,,其中,,無(wú)窮集合與有限集合最大的區(qū)別在于:無(wú)窮集合可以與其子集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,例如整數(shù)與偶數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,,兩者的勢(shì)是相等的,。

1883年,,康托爾證明了康托爾定理:任何集合的勢(shì)都小于其冪集(由集合的子集組成的集合)的勢(shì),揭示了無(wú)窮有無(wú)窮多個(gè)層次,。并且提出了著名的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”:可數(shù)集的勢(shì)與不可數(shù)集的勢(shì)之間不存在其他勢(shì),。因?yàn)閷?shí)數(shù)軸上的數(shù)都是連續(xù)的,因此在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的集合的勢(shì),,又稱連續(xù)勢(shì),。再來(lái)說(shuō)一下關(guān)于可數(shù)集與不可數(shù)集的區(qū)別,可數(shù)集(又稱可列集),,一種最小的無(wú)窮集合,,與自然數(shù)集對(duì)等的集合,都是可數(shù)集,。不可數(shù)集,,與實(shí)數(shù)集對(duì)等的集合,都是不可數(shù)集,,例如實(shí)數(shù)軸上的區(qū)間,、無(wú)理數(shù)集等等。在連續(xù)統(tǒng)假設(shè)下,,實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的不可數(shù)集的勢(shì),,又稱連續(xù)統(tǒng)基數(shù),(例如實(shí)數(shù)集的勢(shì)),,因此,,連續(xù)統(tǒng)基數(shù)是最小的不可數(shù)基數(shù)。

1895—1897年,,康托爾發(fā)表了題為《關(guān)于超窮集合論的基礎(chǔ)》,,給出了超限基數(shù)和序數(shù)的定義,定義了基數(shù)與序數(shù)的加法,、乘法和乘方的運(yùn)算,,建立了集合論的基數(shù)理論和序數(shù)理論,自此,,康托爾關(guān)于集合論的建立工作基本完成,。

公理集合論:古典集合論建立之后,得到大多數(shù)數(shù)學(xué)家的肯定,,從自然數(shù)到集合論可以建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈,,集合論成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。希爾伯特,、龐加萊(當(dāng)時(shí)的兩位數(shù)學(xué)界的大家)曾在1900年的數(shù)學(xué)大會(huì)上高度贊揚(yáng)(古典)集合論的重大影響,,希爾伯特提出的著名的23個(gè)問(wèn)題中,更是把連續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為第一個(gè)問(wèn)題,,可見(jiàn)其對(duì)集合論的高度認(rèn)可,。讀者讀到這里,,可能就會(huì)想了:既然古典集合論已經(jīng)很完善,并且有著重要的數(shù)學(xué)地位,,為什么還會(huì)有公理集合論的產(chǎn)生呢,?

在數(shù)學(xué)的世界里,各種理論都是在不斷完善發(fā)展的,,集合論同樣如此,。盡管古典集合論解決了當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題,但是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們的研究,,古典集合論仍然存在著漏洞,。

1903年,英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出了著名的“理發(fā)師悖論”(規(guī)定只給不會(huì)給自己理發(fā)的理發(fā)師,,到底該不該給自己理發(fā)),,緊接著,各種悖論撲面而來(lái),,數(shù)學(xué)家們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到古典集合論的巨大漏洞,,間接引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。既然問(wèn)題已經(jīng)出現(xiàn),,就需要解決問(wèn)題,,數(shù)學(xué)家們紛紛需求解決方案,這就促使了數(shù)學(xué)家們用公理化方法和數(shù)理邏輯去重建集合論,。1908年,,策梅洛建立了第一個(gè)公理集合系統(tǒng),經(jīng)過(guò)弗倫迪克,、馮諾依曼等人的補(bǔ)充,,得到了策梅洛——弗倫迪克公理系統(tǒng),簡(jiǎn)稱ZF系統(tǒng),,加上選擇公理后,,又稱ZFC系統(tǒng),一直沿用至今,。從該系統(tǒng)中,,可以導(dǎo)出古典集合論中所有的結(jié)果,并且排除了羅素悖論等各種已知悖論,。

另外,,古典集合論中的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(CH)、選擇公理(AC)在20世紀(jì)得到重大突破,,1940年,,哥德?tīng)栕C明了CH,、AC對(duì)于ZF系統(tǒng)的相容性,。1963年,,科恩證明了CH、AC相對(duì)于ZF系統(tǒng)的獨(dú)立性,,即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在該系統(tǒng)中無(wú)法證明,,與平行公設(shè)不可證相同,也就是說(shuō),,可以同時(shí)存在使CH成立與不成立的系統(tǒng),,正如歐式幾何與非歐幾何一樣。哥德?tīng)栐?jīng)提出著名的哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?,打破了希爾伯特將?shù)學(xué)公理化的愿望,,任何兼容性的體系,無(wú)法用于證明它本身的兼容性,。也就是說(shuō),,在公理集合論中,總會(huì)存在屬于該系統(tǒng)本身,,卻又無(wú)法用該系統(tǒng)去證明的定理,、假設(shè)等。 

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