上次我們簡要分析了數(shù)學(xué)中的“▽”到底是干嘛用的，并最后通過表格對梯度,、散度和旋度進(jìn)行了對比,。

沒關(guān)系，我直接在下面貼出來供大家復(fù)習(xí),。

有了上面的基礎(chǔ),，今天就以不可壓縮流體為例來看看，流體力學(xué)里面的連續(xù)性方程和Navier-Stokes方程到底是啥意思,？

連續(xù)性方程

Navier-Stokes方程

連續(xù)性方程

簡單來說,，連續(xù)性方程就是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表述形式。

如上圖所示,，假設(shè)流體流動速度為v且與平面AB垂直,，考慮圖中的平面AB，則在dt的時間內(nèi),，通過平面AB的質(zhì)量流量dΦ為

其中的ρ表示流體密度,。

進(jìn)一步，如果速度v和平面AB的方向不垂直,，而是存在一個夾角θ,，則在dt的時間內(nèi)，通過這個平面的質(zhì)量流量dΦ就成了

對于一個閉合曲面而言,，我們只需對每一個平面微元的質(zhì)量流量進(jìn)行求和,，即可得到在dt時間內(nèi)流體通過該閉合曲面的質(zhì)量流量Φ為

也就是說：

因為流體流動,，流出閉合曲面的流體質(zhì)量為Φ。反之,，流入閉合曲面的流體質(zhì)量為-Φ,。

此外，閉合曲面內(nèi)流體的質(zhì)量為

在dt的時間內(nèi),，閉合曲面內(nèi)流體的質(zhì)量增加量dm為

由于流體質(zhì)量守恒,，流體的質(zhì)量增加量dm就應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹魅腴]合曲面的流體質(zhì)量-Φ。

變形整理一下就是

根據(jù)散度的定義,，有

因此

因為流體密度ρ除了是時間t的函數(shù)以外,，還是位置x,y,z的函數(shù)，所以這里用偏導(dǎo)數(shù)代替導(dǎo)數(shù),，得到

也就是說,，對于任意區(qū)域來說，流體質(zhì)量的增加量就等于流入該區(qū)域的流體質(zhì)量,。

換算到單位體積（其實就是去掉積分符號）,，自然就得到了

這就是我們平時見到的連續(xù)性方程。

進(jìn)一步,，如果流體不可壓縮,，那流體密度ρ就成了常數(shù)且不隨時間發(fā)生變化，因此連續(xù)性方程就簡化為了

Navier-Stokes方程

類比連續(xù)性方程,，我們自然也可以知道,，對于任意區(qū)域來說，流體動量的增加量就等于流入該區(qū)域的流體動量,。

質(zhì)量表達(dá)式為

動量表達(dá)式為

也就是說,，動量與質(zhì)量相比，也就是多乘了個v而已,。

所以動量守恒方程就變成了

的確,，以上情況只在流體完全不受力的情況下成立,。

牛頓爵士告訴我們，動量為p的質(zhì)點,，在外力F的作用下,，其動量隨時間的變化率等于該質(zhì)點所受的外力。

牛頓

也就是說,，除了流入該區(qū)域的流體動量,，流體區(qū)域內(nèi)所受的力也會造成流體動量的變化。

其中一定存在的力有兩個,，一個是壓力,，而另一個就是粘性力,。壓力主要用于平衡流體之間的受力，而粘性力則是由于流體的流動而引起的,。對于不可壓縮流體而言,，它們的大小就等于

由于推導(dǎo)實在是太過復(fù)雜，這里就不詳細(xì)推導(dǎo)了,。我們直接把前人的結(jié)果拿來用就好了,。想具體了解的同學(xué)可以參考周光坰流體力學(xué)上冊的1.6和4.5節(jié)。

至于其他力,，比如說重力,，電磁力等等，既然沒有表達(dá)式,，不妨直接把它們寫到一起,，記做

力的存在效果和流入該區(qū)域的動量是等價的，因此N-S方程最終就成了

也就是說,，對于任意區(qū)域來說,，流體動量的增加量就等于流入該區(qū)域的流體動量加上該區(qū)域所受的力。

換算到單位體積（其實就是去掉積分符號）,，自然就得到了

這就是我們平時見到的Navier-Stokes方程,。

萬物流量皆相等（我瞎編的）

事實上，以上推導(dǎo)邏輯可以應(yīng)用到任何關(guān)于流動的場景,。

對于任意變量Φ，最終的方程基本上都可以寫成：

物理量的增加量=物理量的流入量+引起物理量增加的其他原因,。

變成公式（其實就是把連續(xù)性方程的密度ρ換成變量Φ）就是

里面的U表示unkown,，意思是我也不知道它是個啥。

是不是還挺有意思的,，大家快都來學(xué)習(xí)流體力學(xué)吧,！