上大學(xué)的時(shí)候,，我非常喜歡編程,，不喜歡待在教室里聽數(shù)學(xué)老師講那些枯燥的數(shù)學(xué)理論和定理。再到后來,，我讀了碩士和博士,，開始接觸更多的算法和機(jī)器學(xué)習(xí)，猛然間才發(fā)現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)表面上是“寫程序”,，剝?nèi)ネ獗恚?strong>本質(zhì)上是在研究數(shù)學(xué),。”

數(shù)學(xué)不僅僅是程序員的工具,，更是從低端向高端進(jìn)階的黑魔法,。那么如何學(xué)好數(shù)學(xué)給自己夯實(shí)好進(jìn)階的臺(tái)階呢？在《程序員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課 從理論到Python實(shí)踐》這本書中,，你一定可以找到答案,！

在V2EX論壇上有一個(gè)帖子一直掛著一個(gè)帖子，這個(gè)帖子的問題是“數(shù)學(xué)對(duì)程序員來說真的很重要嗎,？”這個(gè)帖子下經(jīng)常有人來更新,，回答的內(nèi)容幾乎都是說數(shù)學(xué)對(duì)于程序員來說十分重要。

其中,，有一位網(wǎng)友的回答令我記憶尤深,。

“懂?dāng)?shù)學(xué)的才能叫程序員，不懂的只能停留在碼農(nóng)級(jí)別,，這不是說你編碼用不用數(shù)學(xué),，數(shù)學(xué)本身就是邏輯思維的能力?！边@個(gè)回答說得太好了,！不僅一針見血地指出了程序員之間出現(xiàn)的等級(jí)差距，還進(jìn)一步揭示了造成這種差距的原因——缺乏數(shù)學(xué)思維,。

顯而易見,，程序員如果缺乏數(shù)學(xué)思維會(huì)使自己處于劣處，造成天平的失衡,。

正如本書中,，以作者黃申多年的工作經(jīng)歷來看，數(shù)學(xué)學(xué)得好不好將會(huì)直接決定一個(gè)程序員有沒有發(fā)展?jié)摿?。往大了說,，數(shù)學(xué)是一種思維模式，考驗(yàn)的是一個(gè)人歸納,、總結(jié)和抽象的能力,。 

將這個(gè)能力放到程序員的世界里，其實(shí)就是解決問題的能力,。往小了說,，不管是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法還是程序設(shè)計(jì)，其實(shí)底層很多原理或者思路都源自數(shù)學(xué),，所以很多大公司在招人時(shí)也會(huì)優(yōu)先考慮數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生,，因?yàn)檫@些人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很好，學(xué)起編程來也容易上手,。

如果編程語言是血肉,，那么數(shù)學(xué)的思想和知識(shí)就是靈魂。它可以幫助你選擇合適的數(shù)據(jù)結(jié) 構(gòu)和算法,，提升系統(tǒng)效率,，并且賦予機(jī)器智慧。在大數(shù)據(jù)和智能化的時(shí)代更是如此,。

總而言之,，數(shù)學(xué)決定了一個(gè)人技術(shù)上能發(fā)展的上限,，它對(duì)程序員來說意義非凡！

既然程序員的數(shù)學(xué)思維如此重要,，那么程序員學(xué)數(shù)學(xué)需要掌握哪些基礎(chǔ)思想呢,？

二進(jìn)制

（二進(jìn)制）

余數(shù)

（求余數(shù)）

布爾代數(shù)

（布爾代數(shù)）

迭代

迭代是重復(fù)反饋過程的活動(dòng),，其目的通常是為了接近并到達(dá)所需的目標(biāo)或結(jié)果,。每一次對(duì)過程的重復(fù)被稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結(jié)果會(huì)被用來作為下一次迭代的初始值,。

數(shù)學(xué)中的迭代可以指函數(shù)迭代的過程,，即反復(fù)地運(yùn)用同一函數(shù)計(jì)算，前一次迭代得到的結(jié)果被用于作為下一次迭代的輸入,。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中,，迭代是程序中對(duì)一組指令（或一定步驟）的重復(fù)。它既可以被用作通用的術(shù)語（與“重復(fù)”同義）,，也可以用來描述一種特定形式的具有可變狀態(tài)的重復(fù),。

將迭代法和計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的處理能力相結(jié)合，我們能創(chuàng)造出很有價(jià)值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法,。

（一個(gè)五邊形的迭代,。將對(duì)角用直線段連起來得到一個(gè)五角星，后者中心圍成了一個(gè)倒過來的小五邊形,。迭代地執(zhí)行這一過程會(huì)產(chǎn)生一系列嵌套的五邊形和五角星,。）

遞歸

遞歸（Recursion），在數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)中,，是指在函數(shù)的定義中使用函數(shù)自身的方法,。遞歸一詞還較常用于描述以自相似方法重復(fù)事物的過程。例如,，當(dāng)兩面鏡子相互之間近似平行時(shí),，鏡中嵌套的圖像是以無限遞歸的形式出現(xiàn)的。也可以理解為自我復(fù)制的過程,。

程序調(diào)用自身的編程技巧稱為遞歸,。遞歸做為一種算法在程序設(shè)計(jì)語言中廣泛應(yīng)用。一個(gè)過程或函數(shù)在其定義或說明中有直接或間接調(diào)用自身的一種方法,，它通常把一個(gè)大型復(fù)雜的問題層層轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原問題相似的規(guī)模較小的問題來求解,，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復(fù)計(jì)算，大大地減少了程序的代碼量。

遞歸的能力在于用有限的語句來定義對(duì)象的無限集合,。一般來說,，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進(jìn)段和遞歸返回段,。當(dāng)邊界條件不滿足時(shí),，遞歸前進(jìn)；當(dāng)邊界條件滿足時(shí),，遞歸返回,。

（德羅斯特效應(yīng)是遞歸的一種視覺形式。圖中女性手持的物體中有一幅她本人手持同一物體的小圖片,，進(jìn)而小圖片中還有更小的一幅她手持同一物體的圖片,，依此類推。）

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法（Mathematical Induction,、MI、ID）是一種數(shù)學(xué)證明方法,，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立,。除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基結(jié)構(gòu),，例如：集合論中的樹,。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法,。

（多米諾骨牌效應(yīng)：骨牌一個(gè)接一個(gè)倒下,，

就如同一個(gè)值到下一個(gè)值的過程）

迭代和遞歸，以及與它們相關(guān)的數(shù)學(xué)歸納,，是和基礎(chǔ)編程關(guān)系非常緊密的,。迭代法和遞歸都是通過不斷反復(fù)的步驟，計(jì)算數(shù)值或進(jìn)行操作的方法,。迭代一般適合正向思維,，而遞歸一般適合逆向思維。而遞歸回溯的時(shí)候,，也體現(xiàn)了正向遞推的思維,。它們本身都是抽象的流程，可以由不同的編程實(shí)現(xiàn),。

排列和組合

排列（permutation）,，一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素,，按照一定的順序排成一列,，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。特別地，當(dāng)m=n時(shí),，這個(gè)排列被稱作全排列(all permutation),。

組合（combination），是一個(gè)數(shù)學(xué)名詞,。一般地,，從n個(gè)不同的元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素為一組,，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,。我們把有關(guān)求組合的個(gè)數(shù)的問題叫作組合問題。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

動(dòng)態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming,，DP）,，是一種在數(shù)學(xué)、管理科學(xué),、計(jì)算機(jī)科學(xué),、經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物信息學(xué)中使用的，通過把原問題分解為相對(duì)簡(jiǎn)單的子問題的方式求解復(fù)雜問題的方法,，是求解決策過程最優(yōu)化的過程,。

20世紀(jì)50年代初，美國數(shù)學(xué)家貝爾曼等人在研究多階段決策過程的優(yōu)化問題時(shí),，提出了著名的最優(yōu)化原理,，從而創(chuàng)立了動(dòng)態(tài)規(guī)劃。動(dòng)態(tài)規(guī)劃能減少不必要的排列 和組合,，最終大幅提升算法的性能,。

（算法中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題）

樹

樹是圖論中最重要的概念之一，也是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),，它是由n(n>=1)個(gè)有限結(jié)點(diǎn)組成一個(gè)具有層次關(guān)系的集合,。把它叫做“樹”是因?yàn)樗雌饋硐褚豢玫箳斓臉洌簿褪钦f它是根朝上,，而葉朝下的,。

它具有以下的特點(diǎn)：每個(gè)結(jié)點(diǎn)有零個(gè)或多個(gè)子結(jié)點(diǎn)；沒有父結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)稱為根結(jié)點(diǎn),；每一個(gè)非根結(jié)點(diǎn)有且只有一個(gè)父結(jié)點(diǎn),；除了根結(jié)點(diǎn)外，每個(gè)子結(jié)點(diǎn)可以分為多個(gè)不相交的子樹,。

（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的樹存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)）

圖

在數(shù)學(xué)的分支圖論中,，圖（Graph）用于表示物件與物件之間的關(guān)系，是圖論的基本研究對(duì)象,。一張圖由一些小圓點(diǎn)（稱為頂點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)）和連結(jié)這些圓點(diǎn)的直線或曲線（稱為邊）組成,。

圖是一種多對(duì)多的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，比線性表和樹更復(fù)雜，它由頂點(diǎn)的有窮非空集合和頂點(diǎn)之間邊的集合組成,，通常表示為：G（V,，E），其中,，G表示一個(gè)圖,，V是圖G中頂點(diǎn)的集合，E是圖G中邊的集合,。

（一個(gè)有六個(gè)頂點(diǎn),，七個(gè)邊的圖）

......

可能有的人看到上面那些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思想,，就開始感到煩躁,。

畢竟數(shù)學(xué)是個(gè)博大精深的學(xué)科，有些數(shù)學(xué)名詞光是耳聞或目睹就開始令人撤退,，但我們的目標(biāo)不是成為數(shù)學(xué)集大成者,，只要學(xué)好程序員所需要的數(shù)學(xué)，就足以培養(yǎng)好數(shù)學(xué)思維,，逐步跨越等級(jí)鴻溝,。

為此，本書的作者黃申也在書中,，循序漸進(jìn)，巧立重點(diǎn)——“程序員需要學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”,，讓數(shù)學(xué)變得更加容易學(xué)習(xí),，程序員們也更快理解數(shù)學(xué)思維。

首先,，他梳理了編程中常用的數(shù)學(xué)概念,， 由淺入深剖析它們的本質(zhì)，希望能夠幫程序員讀者徹底掌握這些基礎(chǔ),、核心的數(shù)學(xué)知識(shí),。這其中包括那些曾經(jīng)熟悉的數(shù)學(xué)名詞，如數(shù)學(xué)歸納法,、迭代法,、遞歸、排列,、組合等,。

其次，他將線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)中的抽象概念,、公式,、定理都由內(nèi)而外地講了出來，并分析它們?cè)诰幊讨械膽?yīng)用案例，幫助程序員讀者提升編程的高階能力,。對(duì)于這些內(nèi)容,，他從基本的概念入手，結(jié)合生活和工作中的實(shí)際案例,，讓程序員讀者更輕松地理解概念的含義,。

按照這樣的講解路線，既能讓程序員讀者鞏固基礎(chǔ)的概念和知識(shí),，同時(shí)又能讓他們明白這些基礎(chǔ)性的內(nèi)容,，對(duì)計(jì)算機(jī)編程和算法究竟意味著什么。

總而言之,，這本書的內(nèi)容從概念到應(yīng)用,，再到本質(zhì)，層層深入,，不但注重培養(yǎng)讀者養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維,，而且努力使讀者的編程技術(shù)實(shí)現(xiàn)進(jìn)階，非常適合希望從本質(zhì)上提升編程質(zhì)量的中級(jí)程序員閱讀和學(xué)習(xí),。

值得一提的是,，這本書的作者黃申之前在網(wǎng)站上開過一堂以本書內(nèi)容為主的課程，贏得好聲一片,。網(wǎng)友們紛紛評(píng)論：

而其中，也有一位讀者的留言讓我頗為感動(dòng)：

“可能我一輩子也沒法成為頂級(jí)程序員,，可我現(xiàn)在就想開始改變了,。”再渺小的人物也有遠(yuǎn)大的志向,，不論我們身處程序員哪一等級(jí),，只要我們心中有光，并為之努力奮斗,，便都是頂級(jí)人才,！就讓這本程序員補(bǔ)數(shù)學(xué)的絕佳伴侶《程序員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課 從理論到Python實(shí)踐》陪伴著我們一同前行，創(chuàng)造黑魔法,，成為優(yōu)秀的程序魔導(dǎo)師吧,！

加油！相信自己,！

（圖靈獎(jiǎng)）