例題：（初中數(shù)學綜合題）如圖,，△ABD內接于半徑為5的⊙O,，連結AO并延長交BD于點M，交⊙O于點C,，過點A作AE∥BD,，交CD的延長線于點E，且AB=AM．

（1）求證：△ABM∽△ECA．

（2）當CM=4OM時,，求BM的長.

知識回顧

平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截,，截得的對應線段的長度成比例,。

推論：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊（或兩邊延長線）所得的對應線段成比例,。

分析：（1）由AE∥BD，可得∠AMB=∠CAE,，又圓周角∠ABD=∠ACD,，根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似即可得證．

（2）根據(jù)AB=AM可以得出EA=EC，DM=DC,，在根據(jù)AE∥BD,，利用平行線分線段成比例定理以及勾股定理求出DM和DC，再利用相似三角形的性質即可求出BM的長．

請大家注意,，想要正確解答一道數(shù)學題,，必須先將大體思路弄清楚。下面,，我們就按照以上思路來解答此題吧,！

解答：（以下過程可以部分調整）

證明：（1）∵AE∥BD，

∴∠AMB=∠CAE,，

又∵∠ABD=∠ACD,，（圓周角）

∴△ABM∽△ECA.

（2）解：∵AB=AM，

∴∠AMB=∠ABD,，

∠CAE=∠ACE,，

∴AE=CE，

∵CM=4OM，設OM=k,，則CM=4k,，

∴OA=OC=5k=5，

∴k=1,，

∴CM=4,，AM=6，CA=10,，

∵DM∥AE,，

∴DM：AE=CM：CA=4：10，

設DM=4a,，則EA=EC=10a,，

∵AB=AM，

∴∠ABM=∠AMB,，

∵∠AMB=∠DMC,，∠ABM=∠C，

∴∠DMC=∠C,，

∴DM=DC=4a,，

∴DE=EC-DC=6a，

∵AC是直徑,，

∴∠ADE=∠ADC=90°,，

∴AD^2=AE^2?DE^2，

∴AD=8m,，

∵AD^2+CD^2=AC^2,，

∴（8m）^2+（4m）^2=10^2

∵a＞0，

∴a=√5/2,，

∴DM=2√5,，

∵△AMB∽△DMC，

∴BM/CM=AM/DM,，

∴BM/4=6/（2√5）,，

∴BM=12√5/5.

（完畢）

這道題屬于綜合題，考查了平行線分線段成比例定理,，相似三角形的判定和性質,，勾股定理等知識，解題的關鍵是巧妙利用參數(shù)構建方程解決問題,。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法,，歡迎大家留言討論。