中考數(shù)學壓軸題分析：旋轉(zhuǎn)面積最值

昵稱47813312 2020-12-26

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中考中手拉手問題出現(xiàn)的頻率還是比較高的。本文內(nèi)容選自2020年山東濰坊市中考數(shù)學的倒數(shù)第2題,?？疾閮蓚€共直角頂點的等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的問題。套路模型題,，難度不大,，但也值得研究。

【中考真題】

（2020·濰坊）如圖1,，在△ABC中,，∠A＝90°，AB＝AC1,，點D,，E分別在邊AB，AC上,，且AD＝AE＝1,，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）,，如圖2,，連接CE，BD,，CD．
（1）當0°＜α＜180°時,，求證：CE＝BD；
（2）如圖3,，當α＝90°時,，延長CE交BD于點F，求證：CF垂直平分BD,；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中,，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

【分析】

題（1）證明兩線段相等,，只需要把線段進行加減運算即可,。

題（2）證明CF垂直平分BD,，只需要證明CD=CB，且DE=BE即可,，利用垂直平分線的判定可求,。

題（3）要求△BCD的面積最大值,，由于點D在以A為圓心,，AD為半徑的圓上進行運動，只需過點A作BC的垂線段即可,，當DA垂直BC時,，高度最大或最小，此時△BCD的面積取到最大值或最小值,。

【答案】（1）證明：如圖2中,，根據(jù)題意：AB＝AC，AD＝AE,，∠CAB＝∠EAD＝90°,，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD,，
在△ACE和△ABD中,，

，∴△ACE≌△ABD（SAS）,，
∴CE＝BD,；
（2）證明：如圖3中，根據(jù)題意：AB＝AC,，AD＝AE,，∠CAB＝∠EAD＝90°，
在△ACE和△ABD中,，

,，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD,，
∵∠ACE+∠AEC＝90°,，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°,，
∴∠EFB＝90°,，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC,，AD＝AE＝1,，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BCAB,，CD＝AC+AD,，
∴BC＝CD,，
∵CF⊥BD，
∴CF是線段BD的垂直平分線,；
（3）解：△BCD中,，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時△BCD的面積有最大值,，
∴當點D在線段BC的垂直平分線上時,，△BCD的面積取得最大值，如圖4中：