不做作業(yè)母慈子孝,一做作業(yè)雞飛狗跳,!孩子難,,家長更難 近日,家長因為批改作業(yè)退群事件引發(fā)廣泛的關(guān)注和討論 青海中考數(shù)學(xué)考試的題目類型比較固定,,整體的考察難度和創(chuàng)新在西部地區(qū)還是非常值得肯定的,,對于幾何綜合的考察,青海則借助探究的基本形式進行拓展和創(chuàng)新,,對于孩子的啟發(fā)還是很有一定的幫助,,在幾何的探究過程中,相似,,全等,,勾股幾何工具涉及的比較全面,大家可以感受青海題目的綜合幾何難度,。 實操真題講解 1.(2020·青海)在△ABC中,,AB=AC,CG⊥BA交BA的延長線于點G. 特例感知: (1)將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放,,該三角尺的直角頂點為F,,一條直角邊與AC重合,另一條直角邊恰好經(jīng)過點B.通過觀察,、測量BF與CG的長度,,得到BF=CG.請給予證明. 猜想論證: (2)當(dāng)三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時,一條直角邊仍與AC邊重合,另一條直角邊交BC于點D,,過點D作DE⊥BA垂足為E.此時請你通過觀察,、測量DE、DF與CG的長度,,猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系,,并證明你的猜想. 聯(lián)系拓展: (3)當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置(點F在線段AC上,,且點F與點C不重合)時,請你判斷(2)中的猜想是否仍然成立,?(不用證明) 【分析】(1)證明△FAB≌△GAC即可解決問題. (2)結(jié)論:CG=DE+DF.利用面積法證明即可. (3)結(jié)論不變,,證明方法類似(2). 【解答】(1)證明:如圖1中, ∵∠F=∠G=90°,,∠FAB=∠CAG,AB=AC,, ∴△FAB≌△GAC(AAS), ∴FB=CG. (2)解:結(jié)論:CG=DE+DF. 理由:如圖2中,,連接AD. ∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,,DE⊥AB,DF⊥AC,,CG⊥AB,, ∴·AB·CG=·AB·DE+·AC·DF,, ∵AB=AC, ∴CG=DE+DF. (3)解:結(jié)論不變:CG=DE+DF. 理由:如圖3中,,連接AD. ∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,,DE⊥AB,DF⊥AC,,CG⊥AB,, ∴1/2·AB·CG=1/2·AB·DE+1/2·AC·DF,, ∵AB=AC,, ∴CG=DE+DF. 【點評】本題屬于三角形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),,三角形的面積等知識,,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法證明線段之間的關(guān)系,,屬于中考常考題型. 2.(2019·青海)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”,,三斜即指三角形的三條邊長,,可以用該方法求三角形面積.若改用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示,其形式為:設(shè)a,,b,,c為三角形三邊,S為面積,,則S= 這是中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶之一. 而在文明古國古希臘,,也有一個數(shù)學(xué)家海倫給出了求三角形面積的另一個公式,若設(shè)p=(a+b+c)/2(周長的一半),,則S=√p·√(p-a)·√(p-b)·√(p-c) ② (1)嘗試驗證.這兩個公式在表面上形式很不一致,,請你用以5,7,,8為三邊構(gòu)成的三角形,,分別驗證它們的面積值; (2)問題探究.經(jīng)過驗證,,你發(fā)現(xiàn)公式①和②等價嗎,?若等價,請給出一個一般性推導(dǎo)過程(可以從①?②或者②?①),; (3)問題引申.三角形的面積是數(shù)學(xué)中非常重要的一個幾何度量值,,很多數(shù)學(xué)家給出了不同形式的計算公式.請你證明如下這個公式:如圖,△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,,三角形三邊長為a,,b,c,,仍記p=(a+b+c)/2,,S為三角形面積,則S=pr. 【分析】 (1)由公式①得:S= =10,, 由②得:p=(5+7+8)/2=10,,S=√10×√(10-5)×√(10-7)×√(10-8)=10√3; (2)求出2p=a+b+c,,把①中根號內(nèi)的式子可化為:1/4(ab+(a2+b2-c2)/2)·(ab﹣(a2+b2-c2)/2)=1/16(a+b+c)(a+b﹣c)(c+a﹣b)(c﹣a+b)=1/16×2p×(2p﹣2c)(2p﹣2b)(2p﹣2a)=p(p﹣a)(p﹣b)(p﹣c),,即可得出結(jié)論; (3)連接OA,、OB,、OC,S=S△AOB+S△AOC+S△BOC,由三角形面積公式即可得出結(jié)論. 【解答】解:(1)由①得:S= =10√3,, 由②得:p=(5+7+8)/2=10,, S=√10×√(10-5)×√(10-7)×√(10-8)=10√3; (2)公式①和②等價,;推導(dǎo)過程如下: ∵p=(a+b+c)/2 ∴2p=a+b+c,, ①中根號內(nèi)的式子可化為: 1/4(ab+(a2+b2-c2)/2)·(ab﹣(a2+b2-c2)/2) =1/16(2ab+a2+b2﹣c2)(2ab﹣a2﹣b2+c2) =1/16[(a+b)2﹣c2][c2﹣(a﹣b)2] =1/16(a+b+c)×(a+b﹣c)×(c+a﹣b)×(c﹣a+b) =1/16×2p×(2p﹣2c)(2p﹣2b)(2p﹣2a) =p(p﹣a)(p﹣b)(p﹣c), ∴ =√p·√(p-a)·√(p-b)·√(p-c) ,; (3)連接OA,、OB、OC,,如圖所示: S=S△AOB+S△AOC+S△BOC=1/2rc+1/2rb+1/2ra=(a+b+c)/2×r=pr. 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓,、數(shù)學(xué)常識以及三角形面積公式;熟練掌握三角形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵. 3.(2018·青海)請認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列,,完成所提出的問題: (1)探究1:如圖1,,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,,BC=a,,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證:△BCD的面積為a2.(提示:過點D作BC邊上的高DE,,可證△ABC≌△BDE) (2)探究2:如圖2,在一般的Rt△ABC中,,∠ACB=90°,,BC=a,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,,連接CD.請用含a的式子表示△BCD的面積,,并說明理由. (3)探究3:如圖3,在等腰三角形ABC中,,AB=AC,,BC=a,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,,連接CD.試探究用含a的式子表示△BCD的面積,,要有探究過程. 【分析】 (1)如圖1,過點D作BC的垂線,,與BC的延長線交于點E,,由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a.進而由三角形的面積公式得出結(jié)論,; (2)如圖2,,過點D作BC的垂線,與CB的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE,,就有DE=BC=a.進而由三角形的面積公式得出結(jié)論,; (3)如圖3,過點A作AF⊥BC于F,,過點D作DE⊥BC,,與CB的延長線于點E,由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=1/2BC,,由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,,由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論. 【解答】解:(1)如圖1,過點D作DE⊥CB交CB的延長線于E,, ∴∠BED=∠ACB=90°,, 由旋轉(zhuǎn)知,AB=BD,,∠ABD=90°,, ∴∠ABC+∠DBE=90°, ∵∠A+∠ABC=90°,, ∴∠A=∠DBE,, 在△ABC和△BDE中, ∠ACB=∠BED ∠A=∠DBE AB=BD,, ∴△ABC≌△BDE(AAS) ∴BC=DE=a. ∵S△BCD=1/2BC·DE ∴S△BCD=1/2a2,; 解:(2)△BCD的面積為1/2a2. 理由:如圖2,過點D作BC的垂線,,與CB的延長線交于點E. ∴∠BED=∠ACB=90°,, ∵線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE, ∴AB=BD,,∠ABD=90°. ∴∠ABC+∠DBE=90°. ∵∠A+∠ABC=90°. ∴∠A=∠DBE. 在△ABC和△BDE中,, ∠ACB=∠BED ∠A=∠DBE AB=BD, ∴△ABC≌△BDE(AAS) ∴BC=DE=a. ∵S△BCD=1/2BC·DE ∴S△BCD=1/2a2,; (3)如圖3,,過點A作AF⊥BC于F,過點D作DE⊥BC交CB的延長線于點E,, ∴∠AFB=∠E=90°,,BF=1/2BC=1/2a. ∴∠FAB+∠ABF=90°. ∵∠ABD=90°, ∴∠ABF+∠DBE=90°,, ∴∠FAB=∠EBD. ∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,, ∴AB=BD. 在△AFB和△BED中, ∠AFB=∠E ∠FAB=∠EBD AB=BD,, ∴△AFB≌△BED(AAS),, ∴BF=DE=1/2a. ∵S△BCD=1/2BC·DE=1/2·1/2a·a=1/4a2. ∴△BCD的面積為1/4a2. 【點評】 此題是幾何變換綜合題,,主要考查了直角三角形的性質(zhì)的運用,等腰三角形的性質(zhì)的運用,,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,,三角形的面積公式的運用,判斷出△ABC≌△BDE是解本題的關(guān)鍵. 4.(2017·青海)請完成如下探究系列的有關(guān)問題: 探究1:如圖1,,△ABC是等腰直角三角形,,∠BAC=90°,點D為BC上一動點,,連接AD,,以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF,連接CF,,則線段CF,,BD之間的位置關(guān)系為 ,數(shù)量關(guān)系為 . 探究2:如圖2,,當(dāng)點D運動到線段BC的延長線上,,其余條件不變,探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立,?為什么,?(請寫出證明過程) 探究3:如圖3,如果AB≠AC,,∠BAC≠90°,,∠BCA仍然保留為45°,點D在線段BC上運動,,請你判斷線段CF,,BD之間的位置關(guān)系,并說明理由. 【分析】 探究1:(1)只要證明△BAD≌△CAF(SAS),,推出CF=BD,推出∠B=∠ACF,,推出∠B+∠BCA=90°,,推出∠BCA+∠ACF=90°即可; 探究2:結(jié)論不變.證明方法與探究1類似,; 探究3:當(dāng)∠ACB=45°時,,過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G,則∠GAC=90°,,可推出∠ACB=∠AGC,,所以AC=AG,于是得到CF⊥BD. 【解答】 解:探究1:∵∠BAC=90°,, ∴∠BAD+∠CAD=90°,, ∵四邊形ADEF為正方形,, ∴∠DAF=90°, ∴∠CAD+∠CAF=90°,, ∴∠BAD=∠CAF. ∴在△ABD和△ACF中,, AB=AC, ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△ABD≌△ACF(SAS),, ∴CF=BD,,∠ACF=∠B=45°, ∴∠BCF=90°,, ∴CF⊥BD,; 故答案為:CF⊥BD,CF=BD,; 探究2:探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立. 理由如下: ∵∠BAC=90°,, ∴∠BAD=90°+∠CAD, ∵四邊形ADEF為正方形,, ∴∠DAF=90°,,∠CAF=90°+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAF. ∴在△ABD和△ACF中,, AB=AC,, ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴∠PAD=∠CAF, ∴△APD≌△ACF(SAS),, ∴∠ACF=45°,, ∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°, ∴線段CF,,BD之間的位置關(guān)系是CF⊥BD. ,, ∴△ABD≌△CAF(SAS), ∴CF=BD,,∠ACF=∠B=45°,, ∴∠BCF=90°, ∴CF⊥BD. 探究3:線段CF,,BD之間的位置關(guān)系是CF⊥BD. 理由如下: 如圖,,過點A作AP⊥AC,交BC于點P. ∵∠BCA=45°,,∴∠APD=45°,,AP=AC. ∵四邊形ADEF為正方形, ∴AD=AF,, ∵∠CAP=∠DAF=90°, 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì),,全等三角形的判定和性質(zhì),,余角的性質(zhì),,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵. 5.(2016·青海)如圖1,2,,3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形(等邊三角形),、正四邊形(正方形)、正五邊形,,BE和CD相交于點O. (1)在圖1中,,求證:△ABE≌△ADC. (2)由(1)證得△ABE≌△ADC,由此可推得在圖1中∠BOC=120°,,請你探索在圖2中,,∠BOC的度數(shù),并說明理由或?qū)懗鲎C明過程. (3)填空:在上述(1)(2)的基礎(chǔ)上可得在圖3中∠BOC= (填寫度數(shù)). (4)由此推廣到一般情形(如圖4),,分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形,,BE和CD仍相交于點O,猜想得∠BOC的度數(shù)為 (用含n的式子表示). 【分析】 (1)根據(jù)等邊三角形證明AB=AD,,AC=AE,,再利用等式性質(zhì)得∠DAC=∠BAE,根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADC,; (2)根據(jù)正方形性質(zhì)證明△ABE≌△ADC,,得∠BEA=∠DCA,再由正方形ACEG的內(nèi)角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°,; (3)根據(jù)正五邊形的性質(zhì)證明:△ADC≌△ABE,,再計算五邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為108°,由三角形外角定理求出∠BOC=72°,; (4)根據(jù)正n邊形的性質(zhì)證明:△ADC≌△ABE,,再計算n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為180°﹣360°/n,由三角形外角定理求出∠BOC=360°/n. 【解答】 證明:(1)如圖1,,∵△ABD和△ACE是等邊三角形,, ∴AB=AD,AC=AE,,∠DAB=∠EAC=60°,, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE,, ∴△ABE≌△ADC; (2)如圖2,,∠BOC=90°,,理由是: ∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形, ∴AB=AD,,AC=AE,,∠DAB=∠EAC=90°,, ∴∠BAE=∠DAC, ∴△ADC≌△ABE,, ∴∠BEA=∠DCA,, ∵∠EAC=90°, ∴∠AMC+∠DCA=90°,, ∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA,, ∴∠BOC=90°; (3)如圖3,,同理得:△ADC≌△ABE,, ∴∠BEM=∠DCA, ∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC,, ∵正五邊形ACIGE,, ∴∠EAC=180°﹣360°/5=108°, ∴∠DCA+∠AMC=72°,, ∴∠BOC=72°,; 故答案為:72°; (4)如圖4,,∠BOC的度數(shù)為360°/n,,理由是: 同理得:△ADC≌△ABE, ∴∠BEA=∠DCA,, ∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC,, ∵正n邊形AC…E, ∴∠EAC=180°﹣360°/5,, ∴∠DCA+∠AMC=180°﹣(180﹣360°/5)°,, ∴∠BOC=360°/5. 【點評】 本題是四邊形的綜合題,考查了全等三角形,、等邊三角形,、正四邊形等圖形的性質(zhì),關(guān)鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩三角形全等,,運用了類比的方法,,同時還要熟練掌握正n邊形每一個內(nèi)角的求法:可以利用外角和求,也可以利用內(nèi)角和求,;根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和列式并綜合對頂角相等分別得出結(jié)論. |
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