《高等代數(shù)與解析幾何》書評(píng)

朱善軍

【作者簡(jiǎn)介】同濟(jì)大學(xué)研一學(xué)生，目前攻讀偏微分方程方向,。

眾所周知,，“數(shù)學(xué)分析”和“高等代數(shù)”是數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課程，一般都要教授兩個(gè)學(xué)期以上,。傳統(tǒng)上認(rèn)為,，現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系大體上分為分析、代數(shù)與幾何,，因此“高等代數(shù)”這門課程更是有著舉足輕重的作用,。盡管市面上有著各式各樣的教科書，但是質(zhì)量高的,、具有啟發(fā)意義的高代教材卻是鳳毛麟角,。編書者總是可以從不同的視角去剖析“高等代數(shù)”課程里的內(nèi)容和思想方法，并且將其中凸顯出來的部分當(dāng)作是其教材的寫作特色,。誠(chéng)然,，現(xiàn)如今的大多數(shù)高代教材往往注重講授知識(shí)本身，似乎有想將所有知識(shí)全都寫入教材的傾向,，但是卻很少談及一些基本概念包括定理的來源以及引入的必要性,。筆者近期閱讀的《高等代數(shù)與解析幾何上、下》,，是由上海師范大學(xué)陳躍老師和裴玉峰老師所編著的新教材,。

（陳躍、裴玉峰編著，科學(xué)出版社2019 年出版）

該本教材正是立足于希望能夠解釋清楚相關(guān)概念和理論來源的高代教材,，并且試圖將高等代數(shù)與解析幾何有機(jī)地結(jié)合起來,。

筆者在閱讀此書的過程中，有諸多感想,，另外也發(fā)現(xiàn)本書有不少特色之處,。除了與編者在前言里所談到的特色之處，在此我也想談?wù)勛陨韺?duì)本書寫作手法和內(nèi)容編排上的理解,。

1,、寫作細(xì)節(jié)處理簡(jiǎn)要剖析

（1）與傳統(tǒng)的高代教材內(nèi)容編排方式不同，新教材將矩陣的相似與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型放在一起進(jìn)行講解,。比如在文獻(xiàn)[1]中,，作者是將矩陣的相似放在上冊(cè)講解，而把矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型放在下冊(cè)講授,。新教材利用這樣的安排方式,，是為了將矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型講解得更加透徹。傳統(tǒng)上我們會(huì)知道對(duì)角化矩陣總是可以相似于對(duì)角陣,，但是對(duì)于非對(duì)角化矩陣情況如何呢,？那么，對(duì)于一般的矩陣總是可以相似于一個(gè)“最簡(jiǎn)”矩陣,，即矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,。 

   （2）本書在處理行列式等內(nèi)容時(shí),，有意將2,、3階行列式與n階行列式分開寫作。將2,、3階行列式放在第一章最開頭位置,，是為了給平面和空間解析幾何提供工具，比如二維向量共線,、三維向量共面,、外積,、混合積等都需要行列式作為計(jì)算工具，否則將很難展開敘述,。對(duì)于n階行列式的一般定義（見文獻(xiàn)[1]、[3]）,，比較繁瑣,，學(xué)生往往很難記憶。因此作者本人處理n階行列式的基本定義時(shí),，是從“按行,、列展開法則”出發(fā)來給出定義的。

盡管定義方式有所區(qū)別,，但是作者嘗試著從新的行列式定義出發(fā)去證明傳統(tǒng)的等價(jià)定義,。值得注意的是，為什么作者會(huì)想到用“行列式按行和按列展開法則”作為其定義方式,？事實(shí)上,，這正是由第一章介紹的2、3階行列式的計(jì)算公式推廣而來,，因此對(duì)學(xué)生來說這樣的定義方式顯得不那么突兀,。另外需要指出的是，作者在用新的行列式定義對(duì)行列式一系列性質(zhì)展開證明時(shí),，最常使用的證明方法是數(shù)學(xué)歸納法,。實(shí)際上，作者在第二章這正是為后面大量使用歸納法埋下了伏筆,。

（3）本書在處理齊次線性方程組,、克拉默法則、多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系,、正采用了從特殊到一般的寫作技法n 2.6

2,、對(duì)一些基本概念的引入給與了必要的解釋

新教材與大多數(shù)教材（如文獻(xiàn)[1]、[2],、[3]）與眾不同的一點(diǎn)是,，其將一些

（1）本書巧用“為什么”開頭展開文章小節(jié)

例 1：為什么要把特征矩陣化為對(duì)角矩陣？

例 2：為什么要引入線性空間,？

對(duì)于函數(shù)而言,，我們把一個(gè)函數(shù)寫成其他函數(shù)線性表示的形式，將會(huì)把復(fù)雜的計(jì)算都?xì)w結(jié)為簡(jiǎn)單的加法與乘法運(yùn)算,。比如,，我們可以計(jì)算及e²的估計(jì)

（2）借助數(shù)學(xué)史來解釋重要概念來源

現(xiàn)如今大多數(shù)高等代數(shù)教材的編寫者或者代數(shù)能力很強(qiáng),，或者幾何水平很高，因此常以居高臨下的視角來寫作基礎(chǔ)教材

陳躍老師研究的方向是代數(shù)幾何史

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4：逆矩陣,。19

而言,，可以看成是一元一次方程ax=b的推廣。在a≠0 情況下,，對(duì)于后者而言,， 其方程解為

凱萊發(fā)現(xiàn)對(duì)于矩陣方程 AX =β，其解也具有上面的類似表達(dá)式,。

3,、本書注重課程交叉并結(jié)合多門課程知識(shí)點(diǎn)展開敘述

涉及為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了鋪墊；其二,，通過其他學(xué)科知識(shí)的介紹,，也能幫助學(xué)生更好地體會(huì)高等代數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實(shí)際應(yīng)用

（1“初等數(shù)論”的引進(jìn)為多項(xiàng)式理論教學(xué)打好基礎(chǔ)

（如文獻(xiàn)[2]

（2“常微分方程”的引入為相似矩陣提供應(yīng)用依據(jù)

（見文獻(xiàn)[1]（5.4

“求解線性常微分方程組的基本思路也和解線性方程組一樣：先設(shè)法消元,， 形成只含一個(gè)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一階微分方程,，然后再用分離變量法求解，而這個(gè)消元過程正是通過相似矩陣來完成的,?！?/span>

4、代數(shù)與幾何相得益彰,，二者結(jié)合再顯神威

平面高等代數(shù)與解析幾何關(guān)聯(lián)的方式是將高等代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)與上述主要內(nèi)容搭建起利用行列式來闡述向量共線和共面,；借助行列式來表示外積進(jìn)而求體積；行列式也用于平面方程的一系列計(jì)算,；利用正交矩陣來實(shí)現(xiàn)對(duì)二次曲面方程的化簡(jiǎn)是獨(dú)到之處在于作者卻將一些代數(shù)對(duì)象賦予了更加深刻的幾何解釋,。

引入根子空間的概念來闡述若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的幾何解釋Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型而言我們是從純代數(shù)的相似角度下進(jìn)行考慮。通過對(duì)? ? 矩陣作初等行列Jordan標(biāo)準(zhǔn)

讀一本書要將自己想象成作者本人,，如果是你來寫你能寫得出來嗎,？為什么要這樣寫？” 

【參考文獻(xiàn)】

[1]樊惲,，劉宏偉. 線性代數(shù)與解析幾何教程（上,，下）.北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]姚慕生,，吳泉水,，謝啟鴻.高等代數(shù)學(xué)（第三版）.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2016.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)與解析幾何（第二版）.北京：高等教育出版社,2016.

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