在高中數學學習過程中,，方程函數思想在其中發(fā)揮了十分重要的作用，通過對函數與方程的學習,，這不僅能夠讓學生靈活運用方程函數思想,，將復雜繁瑣的數學問題轉化為簡單易計算的問題，從而增強學生學習化學的熱情,，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維,，使得學生真正的了解數學、熱愛數學,。

通過對歷年高考數學試題的研究發(fā)現,，函數與方程有關的考點和試題大致分為三大類：

一是函數的性質與圖像；

二是函數與方程,、不等式,、數列、導數的綜合問題,；

三是函數的實際應用,。

值得注意的是涉及到的函數思想有分類討論思想、數形結合思想,、等價轉化思想等,。

具體高考試題設置，會出現客觀題和解答題,，如一道是很基礎的題目,，一般出現在前面的客觀題中，?？疾榛竞瘮档男再|或零點問題,，另一道常以壓軸的客觀題出現，常與方程的根或復合函數為背景考查,，有一定的難度和靈活性,。

最重要的是解答題常與導數,、不等式綜合考查，大多出現在最后兩道解答題中,，考查學生綜合運用函數,、導數、不等式的能力,。

什么是函數的零點,？

對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．

函數的零點與相應方程的根,、函數的圖象與x軸交點間的關系：

方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．

函數零點的判定(零點存在性定理)：

如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a,，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0,，那么,，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點,，即存在c∈(a,，b)，使得f(c)＝0,，這個c也就是方程f(x)＝0的根．

函數與方程有關的高考試題分析,，講解1：

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c.

(1)若a>b>c，且f(1)＝0,，試證明f(x)必有兩個零點,；

(2)若對x₁，x₂∈R,，且x₁<x₂，f(x₁)≠f(x₂),，方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]/2有兩個不等實根,，證明必有一個實根屬于(x₁，x₂)．

方程與函數是高考數學中非常重要的知識點,，方程函數思想是解決現實生活中數量關系和變化規(guī)律的重要思維方式,。函數思想指導我們運用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題,。

函數與方程有關的高考試題分析,，講解2：

對于定義域為D的函數f(x)，若存在區(qū)間M＝[a,，b]?D(a<b),，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M,，則稱區(qū)間M為函數f(x)的“等值區(qū)間”．給出下列四個函數：

①f(x)＝2^x,；②f(x)＝x³,；

③f(x)＝sin x；④f(x)＝log₂x＋1.

則存在“等值區(qū)間”的函數是________．(把正確的序號都填上)

解析：問題等價于方程f(x)＝x在函數的定義域內是否存在至少兩個不相等的實根,，由于2^x>x,，故函數f(x)＝2^x不存在等值區(qū)間；

由于x³＝x有三個不相等的實根x₁＝－1,，x₂＝0,，x₃＝1，故函數f(x)＝x³存在三個等值區(qū)間[－1,0],，[0,1],，[－1,1]；

由于sin x＝x只有唯一的實根x＝0,，結合函數圖象,，可知函數f(x)＝sin x不存在等值區(qū)間；

由于log₂x＋1＝x有實根x₁＝1,，x₂＝2,，故函數f(x)＝log₂x＋1存在等值區(qū)間[1,2]．

答案：②④

函數與方程有關的高考試題分析，講解3：

m為何值時,，f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4.

(1)有且僅有一個零點,；

(2)有兩個零點且均比－1大．

函數與方程常常會考查函數的零點、方程的根和兩函數圖像交點之間的等價轉化思想和數形結合思想,。有時與函數的單調性,、奇偶性、周期性結合研究方程根的分布區(qū)間或者零點的存在性,、零點的個數問題考查,；有時通過對方程根的分布情況的研究，綜合考查不等式的求解,、函數的圖像與性質等問題,。

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