一,、利用“二分法”思想巧證不等式

例1. 已知三個(gè)正數(shù)a,、b,、c，滿足,，求證,。

解析：從所要證的目標(biāo)的結(jié)構(gòu)上看，可把,、看作一元二次方程的兩個(gè)根,，同時(shí)構(gòu)造一個(gè)區(qū)間。

設(shè)   

利用“二分法”思想,，要證目標(biāo),，只需證a在區(qū)間內(nèi)即可。

如圖1所示,，由于二次函數(shù)的圖象開口方向向上,，只需證

因

所以a在區(qū)間內(nèi)，即

圖1

二,、利用“二分法”思想巧證一元二次方程根的分布

例2. 已知函數(shù),，，,，求證：

（1）且,；

（2）方程在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根

證明：（1）利用及,，容易證明（略）,。

（2）一般地，要證方程在（0,，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,，只需證明：

①△

②對(duì)稱軸落在區(qū)間（0，1）內(nèi)

③區(qū)間（0,，1）端點(diǎn)f(0),，f(1)的符號(hào)。

而采用“二分法”,，其解法簡(jiǎn)潔明快,，只需證明：

①區(qū)間（0，1）兩個(gè)端點(diǎn)f(0),，f(1)的符號(hào)都為正（題目已知條件已給定）

②在區(qū)間（0,，1）內(nèi)尋找一個(gè)二分點(diǎn)，使這個(gè)二分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0,，它保證拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（因a>0拋物線開口方向向上）,。

如圖2所示，由①②可知方程在（0,，1）內(nèi)必有兩個(gè)不同實(shí)根,。

圖2

在區(qū)間（0,，1）內(nèi)選取二等分點(diǎn)，因

所以結(jié)論得證,。

若不成立可看是否為負(fù)

若還不成立,，再看是否為負(fù)。

總之,，在區(qū)間（0,，1）內(nèi)存在一個(gè)分點(diǎn)，使對(duì)應(yīng)函數(shù)值為負(fù)即可,。

例3. 已知函數(shù),，，求證方程至少有一個(gè)根在（0,，1內(nèi),。

證明：用“二分法”來證明。首先在區(qū)間（0,，1）內(nèi)尋找一個(gè)分點(diǎn),，使這個(gè)分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0。在區(qū)間（0,，1）內(nèi)選二分點(diǎn),，

其次證明區(qū)間（0，1）兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值,，至少有一個(gè)為正

因?yàn)?sub>

所以中至少有一個(gè)為正,，由函數(shù)的圖象可知方程至少有一個(gè)根在（0，1）內(nèi),。

注意：證方程在區(qū)間（m,，n）內(nèi)有兩個(gè)不同的解，只需證,，的符號(hào)相同,，以及在區(qū)間（m，n）找一個(gè)二分點(diǎn)t所對(duì)應(yīng)函數(shù)值的符號(hào)（它與f(m),，f(n)的符號(hào)相反）。要證方程在區(qū)間（m,，n）內(nèi)至少有一個(gè)解,，只需證f(m)，f(n)中至少有一個(gè)的符號(hào)與區(qū)間（m,，n）內(nèi)的一個(gè)二分點(diǎn)t所對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(t)的符號(hào)相反,。

三、利用“二分法”思想巧求最值

例4. 函數(shù)的最小值為（    ）

A. 190

B. 171

C. 90

D. 45

解析：因表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到點(diǎn)n之間的距離,。

當(dāng)最小時(shí),，x為區(qū)間［1,，19］內(nèi)的任意一個(gè)分點(diǎn)；

當(dāng)最小時(shí),，x為區(qū)間［2,，18］內(nèi)的任意一個(gè)分點(diǎn)；

當(dāng)最小時(shí),，x為區(qū)間［3,，17］內(nèi)的任意一個(gè)分點(diǎn)。

依次類推,，

當(dāng)最小時(shí),，x為區(qū)間［9，11］內(nèi)的任意一個(gè)分點(diǎn),；

當(dāng)最小時(shí),，

利用“二分法”思想，當(dāng)x是區(qū)間［1,，19］,，［2，18］,，［3,，17］，……,，［9,，11］共同二等分點(diǎn)，即x=10時(shí),，f(x)取得最小值,，所以

故選C。