這是一道初中難度的幾何題。兩種解法,。

（一）初中方法

初讀這道題時(shí),，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)是正六邊形里面很隨機(jī)的一個(gè)點(diǎn)，沒有什么規(guī)律可言,，看來看去，感覺好難呀,，似乎沒有頭緒了,。

沒有突破口,，只能再仔細(xì)觀察圖形本身。突然發(fā)現(xiàn),，題干給我們的三個(gè)已知面積的三角形都集中在正六邊形的右側(cè),，那么根據(jù)作幾何輔助線的一般習(xí)慣——取中作平連對(duì)角延一倍（取中：取中線中位線,；作平：作平行線；連對(duì)角：連對(duì)角線,；延一倍：延長(zhǎng)某條線段一倍長(zhǎng)）,。那么，我們先找兩個(gè)點(diǎn)來連接一下對(duì)角線觀察觀察,。

我們就連接圖中正六邊形的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（畫紅線）,，這樣正六邊形的左半邊就構(gòu)成了一個(gè)梯形。這樣已知的3個(gè)三角形和一個(gè)面積未知的三角形就組成了一個(gè)梯形,，解題似乎迎來了轉(zhuǎn)機(jī)。

要想求梯形的面積,，我們必須知道梯形上底、下底,、高的長(zhǎng)度。根據(jù)正六邊形的圖形特點(diǎn),，我們不妨設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為 χ cm，再作左邊梯形的高AB如下：

正六邊形這個(gè)圖形太特殊了,，首先每條邊都相等,，其次由6個(gè)全等等邊三角形所組成（看淡藍(lán)線），等邊三角形的邊長(zhǎng)也與正六邊形的邊相等,。所以EF=χ，線段CD恰好等于2χ,，梯形的高AB正好也是其中一個(gè)等邊三角形的高，通過勾股定理計(jì)算得出是：√3/2 （二分之根號(hào)3）,。

現(xiàn)在,，梯形EFDC的上底EF、下底CD,、高AB都已經(jīng)可以用χ表示，顯而易見,，梯形面積也能根據(jù)梯形面積公式，再用χ來列出來了,。

而梯形EFDC恰又等于上、下,、左、右4個(gè)三角形的面積之和,，而上、下,、左這三個(gè)三角形的面積已知,，我們只要用χ來表示“右”這個(gè)三角形面積就行了?，F(xiàn)在的難點(diǎn)是三角形的高PB怎么表示,？很簡(jiǎn)單,，我們?cè)凇白蟆比切卫?，面積是9,，底邊EF是χ,，反向利用三角形面積公式,，就可以求出用χ表示的AP長(zhǎng)度,。然后，線段AB已知是√3/2,，于是AB-AP=PB,。這樣，我們根據(jù)三角形面積公式,，就能用χ來表示“右”這個(gè)三角形（ΔPCD）面積了,。

最后根據(jù)等量關(guān)系列方程：

梯形面積公式表示的梯形EFDC面積 = 11 + 9 + 8 + ΔPCD的面積

最后解方程，即可最終算出正六邊形的面積,，為60平方厘米。

（二）小學(xué)巧妙方法

前面（一）部分初中方法,，我們用的作輔助線方法是連接對(duì)角線。這里小學(xué)巧妙方法中,，我們用“延一倍”的作輔助線法,。如上圖,，延長(zhǎng)CE，延長(zhǎng)DF,，兩線段相交于M。三角形EFM是一個(gè)等邊三角形,，其面積等于正六邊形的1/6,。至于為什么得出這個(gè)結(jié)論,，朋友們可以帶娃一塊討論一下。

然后,，再連接點(diǎn)M和點(diǎn)P。我們很容易得出,，在三角形PMC中，EM=EC,，根據(jù)三角形面積計(jì)算中的等底同高性質(zhì)，所以三角形PEC的面積=三角形PEM的面積,。

同理,，我們可以得出：三角形PMF的面積=三角形PDF的面積,。

所以四邊形EMFP的面積=三角形PEC的面積+三角形PDF的面積=11+8=19

所以三角形EFM的面積=四邊形EMFP的面積-三角形PEF的面積=19-9=10

所以正六邊形的面積=10×6=60（平方厘米）