難倒整個(gè)議題委員會(huì)、四位數(shù)論專家,，還有數(shù)學(xué)天才陶哲軒的傳奇奧數(shù)題目到底有多難,？

撰文 | 史丹福狂想曲

玩過(guò)奧數(shù)或者其他數(shù)學(xué)競(jìng)賽的朋友大概都會(huì)聽(tīng)過(guò)”傳奇的第6題”,。這條題目出自1988年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（International Mathematical Olympiad,，簡(jiǎn)稱IMO）的第6題，是公認(rèn)的史上最精彩,、也是最困難的其中一道競(jìng)賽題目,。

題目如下：

1 傳奇的第6題

這題目究竟有多困難呢？ 我們先簡(jiǎn)介一下IMO的題目來(lái)源，好讓大家對(duì)這比賽有更多的認(rèn)識(shí),。

IMO競(jìng)賽是讓全世界不同國(guó)家的中學(xué)生參與的數(shù)學(xué)比賽,，共有6道題目，比賽分兩天,，每天做三題,，總共時(shí)間為9小時(shí)。題目基本上都是證明類題目,，每題值7分,，共42分。試題大致上會(huì)分為簡(jiǎn)單,、中等與困難三個(gè)等級(jí),，第1與第4題屬簡(jiǎn)單，第2與第5題屬中等,，第3與第6題屬困難,。題目由主辦國(guó)外的各參賽國(guó)提供，由主辦國(guó)組成擬題委員會(huì),，從提交題目中挑選候選題目。各國(guó)領(lǐng)隊(duì)先于隊(duì)員提前數(shù)天抵達(dá),，共同商議問(wèn)題及官方答案,。

話說(shuō)當(dāng)年西德是奧數(shù)的超級(jí)強(qiáng)隊(duì)，曾經(jīng)于1982與1983年獲得總分第一,。但之后幾年卻被蘇聯(lián),、羅馬尼亞及美國(guó)超越了，搶奪了第一的寶座,。有人認(rèn)為也許是出于復(fù)仇心態(tài),，西德數(shù)學(xué)家就出了這道精心設(shè)計(jì),、極盡困難的題目,。澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克議題委員會(huì)的六個(gè)成員都未能解決這道由西德數(shù)學(xué)家提供的問(wèn)題，于是他們只好向主辦國(guó)澳大利亞的4位最好的數(shù)論專家求肋,，委員會(huì)希望專家能于6小時(shí)內(nèi)解決問(wèn)題,，令人尷尬的是，專家經(jīng)過(guò)一輪苦戰(zhàn)都未能解出題目,。于是,，議題委員竟然夠勇氣把問(wèn)題寄往國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)，不過(guò)他們特意在問(wèn)題旁加上兩顆星,，代表這是超難題目——也許難到不應(yīng)用作競(jìng)賽題目,。委員會(huì)作了長(zhǎng)時(shí)間的考慮后，又竟然真的斗膽敢采用此題，結(jié)果這個(gè)題目就成了第29屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的第6題,。

委員會(huì)有人覺(jué)得這可能會(huì)成為破紀(jì)錄的沒(méi)有選手解出的國(guó)際奧數(shù)問(wèn)題,。然而事實(shí)上結(jié)果卻并不是那么悲觀：雖然268名選手在這道題目上的平均得分只有0.6分，為IMO舉辦29年以來(lái)平均得分最低的一題,，但這個(gè)難倒4位數(shù)論專家的題目,，卻被11位中學(xué)生以7分滿分的成績(jī)解答出來(lái)。

陶哲軒被譽(yù)為當(dāng)今世上最出色的年輕數(shù)學(xué)家之一,。他自小已是數(shù)學(xué)天才,，于10歲、11歲及12歲參加了三次國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽,，分別得了銅獎(jiǎng),、銀獎(jiǎng)與金獎(jiǎng)，是銅獎(jiǎng),、銀獎(jiǎng)與金獎(jiǎng)的最年輕得獎(jiǎng)紀(jì)錄保持者,。他于16歲得到學(xué)士學(xué)位，21歲得到普林斯大學(xué)博士學(xué)位,，并在24歲成了加州大學(xué)洛杉磯分校（University of California, Los Angeles,，簡(jiǎn)稱UCLA）數(shù)學(xué)系的終身教授，是該校史上最年輕的終身教授,。 他于31歲獲得菲爾茲獎(jiǎng),。菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)界最高的榮譽(yù)，由于諾貝爾獎(jiǎng)不設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng),，所以菲爾茲獎(jiǎng)基本上就是等同于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng),。

為何我突然花這么多的時(shí)間介紹陶哲軒呢？因?yàn)樗麉⑴c了1988年的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽并獲得金獎(jiǎng),，他于頭5題都全取7分,，最后的第6題卻只有1分。這條超級(jí)難題連當(dāng)今世上其中一位最出色的數(shù)學(xué)家都破解不了,，令題目更添傳奇色彩,。

當(dāng)年12歲的陶哲軒獲得1988年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽金獎(jiǎng)。| 來(lái)源：國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽網(wǎng)站

有一位參賽者,，保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎(jiǎng),。特別獎(jiǎng)的得獎(jiǎng)?wù)弑仨氁靡环N非常漂亮、精彩獨(dú)到的方法解題,，答案比標(biāo)準(zhǔn)答案更精彩,，常常也更簡(jiǎn)潔，才有機(jī)會(huì)得獎(jiǎng),，可以說(shuō)是比得到滿分更困難,。而他用到的方法叫“韋達(dá)跳躍”（Vieta jumping）。筆者找不到文獻(xiàn)記載中，在這道奧數(shù)問(wèn)題出現(xiàn)以前有沒(méi)有人用過(guò)此方法解數(shù)學(xué)題,，不過(guò)可以肯定的是,，這方法在該屆IMO之后變得聲名大噪，現(xiàn)今已是參加數(shù)學(xué)比賽者訓(xùn)練時(shí)必定會(huì)學(xué)到的技巧,。

2 韋達(dá)跳躍

“韋達(dá)跳躍”的概念其實(shí)都只是來(lái)自高中數(shù)學(xué),，沒(méi)有什么高深的，只不過(guò)是利用了極盡巧妙的方法,，把初等數(shù)學(xué)的威力發(fā)揮得淋漓盡致而已,。這技巧牽涉到兩個(gè)重要數(shù)學(xué)知識(shí)：一是韋達(dá)定理（Vieta’s theorem），一是無(wú)窮遞降法（method of infinite descent）,。

韋達(dá)定理其實(shí)就是二次方程中根的和與積及系數(shù)的關(guān)系：

這應(yīng)該是DSE（香港中學(xué)文憑考試）高中數(shù)學(xué)第一課的內(nèi)容,，是廣為人知的（雖然課程沒(méi)有用到韋達(dá)定理這個(gè)很專業(yè)的名稱）。

至于無(wú)窮遞降法則是一種反證法,，用的是“沒(méi)有最小,，只有更小”的概念。如果我們假設(shè),，一方程式如果有一正整數(shù)解,，那么應(yīng)該有一最小的解。然后我們?cè)僮C明“如果有一解,，必有另一個(gè)更小的解”,，也就是說(shuō)“沒(méi)有最小，只有更小”,，這與方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我們的假設(shè)出錯(cuò),，方程式根本上沒(méi)有解,。

3 破解難題

言歸正傳，我們就試試用這種方法解開(kāi)傳奇的第6題吧,！

這個(gè)題目令“韋達(dá)跳躍”聲名大噪,，現(xiàn)在不少數(shù)學(xué)競(jìng)賽的書籍，甚至是大學(xué)的教科書都會(huì)用這“傳奇的第6題”為例子,，所以以現(xiàn)今的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看這題目不算太困難,。如果現(xiàn)在的IMO再出一道有關(guān)“韋達(dá)跳躍”的數(shù)論題目，參加者們也大概會(huì)有不錯(cuò)的成績(jī),。不過(guò)它在當(dāng)年難倒整個(gè)議題委員會(huì),、四位數(shù)論專家、數(shù)學(xué)天才陶哲軒及很多數(shù)學(xué)好手,，稱這傳奇題目為史上最難的奧數(shù)題目絕不為過(guò),。

后 記

by 文小剛

具體實(shí)驗(yàn)又給我們帶來(lái)新的問(wèn)題，讓我們可以繼續(xù)探索。如何理解這第3類看似不規(guī)則的解,，有興趣的讀者接下來(lái)可以進(jìn)一步考慮,，看能不能系統(tǒng)地構(gòu)造出所有的解。

本文除“后記”外轉(zhuǎn)載自博客“史丹?？裣肭?，原文題目為“史上最難的奧數(shù)題目”，原文鏈接https://drstanford./2020/02/blog-post.html ,。

想要繼續(xù)挑戰(zhàn)嗎,？1988年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的完整試題在這里：

https://www./year_info.aspx?year=1988

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