【題記】

什么是深刻？所謂深刻就是面對真問題,，堅持答案不標新立異,，而在于合情合理，這就是我眼中的深刻,。一句話,，簡單即深刻。

以當下把握未來,，以課程超越課堂,。我們要做的是豐富學生學習過程的知識；對學生的需求里當下的困難保持敏感性,；在互動中產生豐富的細節(jié)和故事,；對詩和遠方的追求。

德行即知識,。——蘇格拉底

多年前,，華應龍老師在杭州舉辦大型公開教學活動中執(zhí)教的是《神奇的莫比烏斯圈》，很多拿到會議材料的老師（當然包括我）都感到詫異：這是一節(jié)什么課,？莫比烏斯圈是什么,？它又神奇在哪兒呢？

帶著這樣的心情,，我們一同欣賞了這節(jié)課,。以下是幾個實錄片斷：

片斷一：做紙圈

師：同學們喜歡看魔術嗎？今天老師就給大家表演一個小魔術,。（表演）

師：怎么樣,？今天我們也一起來玩一個魔術。請同學們拿出桌上的一張紙條,，說說這張紙條有幾個面,？幾條邊？

生：有兩個面,，4條邊,。

師：現在，我們能把它變成兩個面,，兩條邊嗎,？請在小組中討論，并嘗試操作一下,。（小組活動后交流）

生：我們只要把這張紙條對接起來,，用膠水粘好,，就變成兩個面，兩條邊了,。（邊說邊比劃,，做成了如下圖所示的樣子）

師：請同學們摸一摸兩條邊和兩個面……這里的兩條邊有什么特點？兩個面是平面還是曲面呢,？

生：兩條邊都變成曲線了,。

生：兩個面都是曲面，一個在里面,，一個在外面。

師：（又拿出一張同樣的紙條）現在我這里有一張同樣的紙條,，我先扭一扭,，旋轉180°，再對接粘貼起來（教師的操作如下圖所示）,。

請同學們想一想,，這里的紙圈會是幾條邊、幾個面呢,？

（同學們思考片刻）

生：還是兩條邊,，兩個面。

生：我想,，可能是兩條邊,，一個面。

生：既然老師要我們猜想,，說明可能和原來完全不一樣,。我想可能是一條邊、一個面吧,。

（這時下面聽課的老師也禁不住撕下記錄本上的一頁紙,，做成紙圈，比劃著,，議論著,，場上場下議論紛紛。）

師：好,，現在請同學們跟我做一個這樣的紙圈,，然后沿著它的曲面的中線位置用筆畫一條線，請大家試試,，你發(fā)現什么啦,？

（同學們做成莫比烏斯圈，并沿著中線畫線）

生：我發(fā)現這條線一直畫下去,，與起點匯合了,，說明它只有一個面。

生：我還發(fā)現我把這個紙圈的邊上做了一個記號，并從這個記號開始一直用手摸下去,，繞了一圈又到了做記號的地方,，說明這個紙圈只有一條邊。

師：為什么這個紙圈會變成一條邊,、一個面呢,？

生：因為把紙條扭轉180°后，兩條邊對接上了,，正反兩個面也連在一起了,。

師：對!我們把原來沒有扭轉而對接起來的曲面叫做雙側面。而把這種扭轉后對接的曲面叫做單側面,，這種單側面的紙圈,，叫做“莫比烏斯圈”，是由法國數學家莫比烏斯在1858年發(fā)現的,。你可別小瞧這個紙圈,，它的奇妙之處可不少喲。下面就一起來研究……

片斷二：剪紙圈

師：現在,，如果用剪刀沿莫比烏斯圈的中線剪開,，猜一猜將變成什么樣呢？

生：我想它會變成兩個紙圈吧,。

生：可能會變得一張長紙條了,。

生：我想也是兩個紙圈，而且兩個紙圈套在一起,。

生：是一個紙圈,。

師：同學們很積極地進行猜想，值得表揚?，F在大家一起剪一剪,，看看到底是什么樣子？

（學生早已躍躍欲試了,，迫不及待地開始剪起來,。下面的聽課老師也饒有興趣地嘗試著。））

師：發(fā)現了什么,？有什么感受,？

生：我猜對了！原來真是變成了一個更大的紙圈,！

生：不可思議,，怎么會是這樣的呢？,！

……

師：好玩吧,，還有更奇妙的呢,。大家想不想試一試？

生：老師,，快說吧,，怎么玩呢？

師：好,，今天我們就來上一堂瘋狂的數學課,！現在同學們的桌子還有一個紙條，現在我們把它沿縱向三等分,，并把中間的一格涂上不同的顏色,。（如下圖）

然后像剛才一樣，把它做成一個“莫比烏斯圈”,。如果沿著它的其中一條等分線剪開,，請你們猜一猜，要剪幾次,？結果會是怎樣的呢,？

……

（同學們又一次被激發(fā),，結果變成了大小兩個紙圈,，而且套在一起！意料之外,，匪夷所思?。?！同學們始終沉浸在猜想與探求的快樂中,，并數學的神奇魔力深深吸引著，不知不覺一堂課就這樣過去了,。）

數學課原來可以這樣上,！這是我聽完課的第一感受。

這是一堂不同尋常的課,！整堂課中,，學生在“猜想―驗證―驚奇―猜想―驗證－驚奇……”中一次又一次感受著數學的神奇魅力。

這是一次大膽的嘗試,！把這樣的內容設計成一堂數學活動課,，我佩服華老師敢于挑戰(zhàn)新課程、新課堂,、新教學的勇氣!

英國教育家帕梅拉．利伯克所說：“人們偏愛數學是因為它非常有用,，然而更重要是，對于我們特別是對于孩子來說其吸引力在于智力或美學上的滿足,?！?/span>

學生在數學學習過程中,，學生在智力上或美學上真正理解了數學，體驗了數學,，保持對數學的濃烈興趣,，不斷增強學習探索的內驅力。整堂課中,，學生的學習興趣被激發(fā)了,，我們可以試想一下，學生感興趣了,，有欲罷不能的探求欲望了,，我們還用發(fā)愁學生學不好數學，在課堂沒有什么收獲嗎,？

于是我想說：“沒有學不好的學生,，只有不好的教學設計！”

透過這堂課,，它還告訴我們這樣的信息,；新課程、新教學,、新課堂對教師提出了更高的要求,，要求教師們廣聞博覽，用文化學的思想來觀照數學教學,，以心理學的思想來把握學生的學習心向,，用“以人為本”的教育理念重視審視課堂，同時又要與新課程理念相吻合,，這樣才能設計出令學生喜歡,、驚奇的數學活動課，讓學生徜徉其中,，收獲多多,。

由于對此課比較感興趣，禁不住它的誘惑,，我就華老師的教學進行一些小的改進和充實,，并進行了教學嘗試。

我改進的部分有開始部分,、中間部分和結尾部分,。開始部分是這樣的：

①把那個長紙條的兩面分別分成12個格子，正面從左到右依次寫上：“從前有座山,，山上有座廟,，”。

②保持紙條下沿不離開桌面,，手持紙條上沿將它從上面翻下來,，在它的背面依次寫：“廟里有個老和尚,，他在講：”。如下圖：

正面：

背面：

③把這張紙條扭轉180°,，然后首尾對接,，粘成莫比烏斯圈。如下圖：

④把紙圈套在右手的食指上,，向左邊捋一捋,，念一念，就成了：

“從前有座山,，山上有座廟,，廟里有個老和尚，他在講：從前有座山,，山上有座廟……”

師：請告訴我,你發(fā)現了什么,？

生：我發(fā)現：順著紙條上的字念下去，永遠也念不完,。

師：這說明什么,？

生：這說明原來紙條的正面和反面連接起來了，就成了一個面,！

師：對,，以上所做的這個紙圈，是數學家名字命名的“莫比烏斯圈”,?？蓜e小看這個小小的紙帶,，雖然制作起來十分簡單,，卻奇特得叫人不可思議。例如,，放一只螞蟻到紙帶上,，讓它沿著圖中紙帶上所寫字的路線爬行（不經過紙的邊沿），這只螞蟻就可以一起爬遍紙帶的兩個面,，而在普遍的沒有旋轉180度而粘貼的紙帶上是不可能做到的?，F在卻可以輕而易舉地做到了。請同學們重新做一個“莫比烏斯圈”,，拿起筆,，用筆尖代表螞蟻，先在紙圈上做一個記號,，再沿著紙圈的中線一直畫下去,，畫完后告訴老師，你發(fā)現了什么,？

生：（操作后）我發(fā)現螞蟻兜了一圈,，又回到了原來做記號的地方,，也就是起點。

師：如果沿著這條中線剪下來,，又會發(fā)現什么奇妙之處呢,？請同學們先猜想一下，再剪一剪……

中間部分我補充了一個探究性操作：

按下圖一在紙上剪下兩個十字形,，紙帶寬約3厘米,，長可15厘米左右，再在十字上分別畫上兩條虛線,，并在有陰影的部分涂上膠水,。然后，把兩個十字形分別粘成圖二,、圖三形狀,。注意圖三中有一個紙圈扭了180°。如果把它們沿虛線剪開,，想想看會是 什么樣子,，然后再剪剪看。

結束部分,，華老師讓學生說說“莫比烏斯圈”在日常生活中有哪些應用,，同學們在課堂上說了不少，如有學生說可以利用它來做過山車,，這樣兜了一圈又會回到起點了,；有的說……最后是華老師介紹了中國科學院門前的三葉結。

我要補充的是——

現在,，這一成果已經在科技上得到了應用,。如有一種電腦打印機（如AR－3200＋）用來打印文稿的色帶就是根據這一原理做成的，這種色帶是經過180度旋轉后進行對接,，這樣可以使色帶在打印中兩面都得到充分利用,，從而成倍地延長其使用壽命，大大節(jié)省了耗材（用實物投影儀展示的內部結構,，突出顯示扭轉對接的部分）,。你看它的設計多么巧妙啊,！

有興趣的同學可以自行猜想“莫比烏斯圈”的用途,，再大膽設計，說不定還可以申請到專利呢,。（本文曾發(fā)表于國家級刊物《中小學教材教學》）