一 定點整數(shù)與定點小數(shù)

    定點數(shù)表示小數(shù)點位置固定的數(shù)，當小數(shù)點放置在最尾部時表示定點整數(shù),，當小數(shù)點放在在符號位右邊時位定點小數(shù),。

    二進制 0111. 表示定點整數(shù)，其十進制值為 ,；

    二進制 1111. 表示定點整數(shù),，其十進制值為 ；

    二進制 0.111 表示定點小數(shù),，其十進制值為  ,；

    二進制 1.111 表示定點小數(shù)，其十進制值為 ,；

    以上使用原碼表示定點數(shù),，在計算機系統(tǒng)中，使用補碼表示定點數(shù),，這樣將減法運算轉(zhuǎn)換為加法運算,，具體如下：

    原碼 0111. 的補碼仍然為 0111.，原碼 1111. 的補碼為 10000. - 0111. = 1001.,；

    如求十進制數(shù) -7 的補碼表示,，其步驟如下：

    1）求對應(yīng)正數(shù)的補碼表示為 0111；

    2）對 0111 取反得 1000,；

    3）對 1000 加 1 得到 -7 的補碼表示為 1000 + 1 = 1001,；

    應(yīng)用以上規(guī)則，可以推導(dǎo)出 7 的補碼,，其結(jié)果與正數(shù)補碼定義保持一致,，如下：

    1）對 -7 的補碼 1001 取反得 0110,；

    2）對 0110 加 1 得 0111，結(jié)果與正數(shù)補碼定義保持一致,；

    針對定點小數(shù),，其補碼求解方式與定點整數(shù)一致，如下：

    1）原碼1.111 其補碼為：0.111 取反得 1.000 加 1 得 1.001,； 

     2）1.001 取反得 0.110 加 1 得 0.111,，結(jié)果與正數(shù)補碼保持一致；

    當對定點數(shù)（定點整數(shù)或定點小數(shù)）進行加法運算時,，如果兩個運算數(shù)符號不一致（最高位符號）,，其運算結(jié)果不會溢出；如果兩個運算數(shù)符號一致,，當運算結(jié)果符號發(fā)生改變,，則溢出?？梢酝ㄟ^比較運算前后符號變化來判斷是否溢出,，示例如下：

    7 + 7 = 0111 + 0111 = 1110，最高位符號發(fā)生改變,，則溢出,。

    一個更方便得方法是使用兩位符號判斷是否溢出，當兩位符號不同時,，表示溢出,；當兩位符號相同時，表示無溢出,。

二 浮點數(shù)表示

    浮點數(shù)使用科學(xué)計數(shù)法,，將特定長度得連續(xù)字節(jié)（32位 或者  64位）分割成不同區(qū)域，分別表示符號,，指數(shù),，尾數(shù)三個部分，具體如下：

    單精度（float）    符號位（1位）+ 指數(shù)（8位）+ 尾數(shù)（23位）

    雙精度 (double)   符號位（1位）+ 指數(shù)（11位）+ 尾數(shù)（52位）

    1）符號位使用 0 表示數(shù)據(jù)為正,，使用 1 表示數(shù)據(jù)為負,；

    2）尾數(shù)一般情況下取值范圍為 [1.0, 2）,，由于整數(shù)部分始終為 1 ,，故省略掉；

    3）指數(shù)部分取值范圍為 [-126, 127]（針對單精度）,，使用偏置量表示負數(shù),，如指數(shù) -1 表示為 -1 + 127 = 126；

    下面使用單精度浮點表示 -158.4：

    1）正整數(shù)部分 158 表示為二進制 1001 1110,；

    2）小數(shù)部分 .4 可表示為 0110 0110 0110 0110...,，方法如下：

         .4 * 2 = .8    0

         .8 * 2 = 1.6  1

         .6 * 2 = 1.2  1

         .2 * 2 = .4    0

         .4 * 2 = .8    0

         ... ...

    3）連接正整數(shù)部分與小數(shù)部分得 1001 1110. 0110 0110 0110 0110...,；

    4）規(guī)格化尾數(shù)得 1.001 1110 0110 0110 0110 0110...，其指數(shù)為 0111(十進制數(shù) 7),；

    5）對指數(shù)使用偏置得 127 + 7 = 0111 1111 + 0111 = 1000 0110,；

    7）整合符號位，規(guī)格化尾數(shù),，偏置后指數(shù)得到單精度浮點表示為：1,，1000 0110，001 1110 0110 0110 0110 0110,；

    將單精度浮點數(shù)  1,，1000 0110，001 1110 0110 0110 0110 0110 轉(zhuǎn)換為10進制得 -158.39990234375,，這是浮點運算中誤差來源之一,。通過使用雙精度浮點，可以減小表示誤差,，但同樣無法消除表示誤差,。計算機表示得浮點數(shù)實際上是整個實數(shù)集得一個有限子集，雙精度只是比單精度能夠表示得浮點數(shù)更加多一些而已,。

三 浮點數(shù)誤差

    浮點數(shù)誤差來源包括：

    1）浮點表示時與真實值之間存在誤差,，雙精度浮點誤差小于單精度浮點；

    2）浮點數(shù)計算時,，小階浮點需要與大階浮點對階,，右移小階尾數(shù)可能產(chǎn)生舍入誤差；

    在程序中,，應(yīng)該避免浮點數(shù)誤差所產(chǎn)生得負面影響,。一般策略包括：

    1）控制兩相加數(shù)得階差，避免舍入誤差,；

    2）必要時使用雙精度浮點以減少表示誤差,；

    3）避免雙精度浮點轉(zhuǎn)換到單精度浮點所產(chǎn)生的表示誤差；

    在 float.h 中定義了 

    #define FLT_EPSILON      1.192092896e-07F        // smallest such that 1.0+FLT_EPSILON != 1.0

    #define DBL_EPSILON      2.2204460492503131e-016 // smallest such that 1.0+DBL_EPSILON != 1.0

    當某個浮點數(shù)小于 FLT_EPSILON 或者 DBL_EPSILON 時,，該浮點數(shù)無法對相加結(jié)果產(chǎn)生影響,，因此，可以使用該方法來判斷浮點相等,，如：

    if(fabs(num - .1) < FLT_EPSILON) 表示浮點變量 num 與 .1 相等,；

    當然，由于任意實數(shù)被最終轉(zhuǎn)換為一個計算機可表示的浮點值,，對于相同轉(zhuǎn)換規(guī)則,，直接使用 == 判斷浮點相等是可行的；在不同硬件體系結(jié)構(gòu)中,，是否存在差異,，可能需要進一步討論,。