事實(shí)上,，三角形有五心，但 旁心并不常用,。因此常被稱為四心,。

旁心不與其他四心重合。

三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(或三角形 外接圓的圓心) ,。

三角形的四心已知：△ABC中,，AB,AC的垂直平分線DO,EO相交于點(diǎn)O

求證：O點(diǎn)在BC的垂直平分線上

證明：連結(jié)AO,BO,CO,，∵DO垂直平分AB,，∴AO=BO

∵EO垂直平分AC，∴AO=CO

∴BO=CO

即O點(diǎn)在BC的垂直平分線上

1.三角形三條邊的 垂直平分線交于一點(diǎn),，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心 .

2三角形的 外接圓有且只有一個(gè),，即對于給定的三角形，其外心是唯一的,，但一個(gè)圓的 內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè),，這些三角形的外心重合。

3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi),；鈍角三角形的外心在三角形外,；直角三角形的外心與 斜邊的中點(diǎn)重合

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB,，∠COA=2∠CBA

6.S△ABC=abc/4R

三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)(或 內(nèi)切圓的圓心),。

三角形的三條角平分線必交于一點(diǎn)

己知：在△ABC中，∠A與∠B的角平分線交于點(diǎn)O,，連接OC

求證：OC平分∠ACB 三角形的四心

證明：過O點(diǎn)作OD,OE,OF分別垂直于AC,BC,AB, 垂足分別為D,E,F

∵AO平分∠BAC,∴OD=OF,；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF

∴O在∠ACB角平分線上 ∴CO平分∠ACB

1.三角形的三條 角平分線交于一點(diǎn),，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心

2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,，都等于內(nèi)切圓半徑r

3.r=2S/(a+b+c)

4.在Rt△ABC中,，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內(nèi)切圓半徑)

三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn)(通常用H表示),。

已知：△ABC中,，AD、BE是兩條高,，AD,、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長交AB于點(diǎn)F 三角形的四心求證：CF⊥AB

證明：連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁,，

∴A,、B、D,、E 四點(diǎn)共圓 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的 圓周角相等）

∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90°

∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC

∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB

1. 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi),； 直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上； 鈍角三角形的垂心在三角形外

2.三角形的垂心是它 垂足三角形的內(nèi)心,；或者說,，三角形的內(nèi)心是它 旁心三角形的垂心

3. 垂心O關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在△ABC的 外接圓圓上,。

4.△ABC中,，有六組 四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形,，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF

5. H,、A、B,、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組),。

6.△ABC，△ABO,，△BCO,，△ACO的外接圓是 等圓。

7.在非直角三角形中,，過O的直線交AB,、AC所在直線分別于P、Q,，則 AB/AP ·tanB+ AC/AQ ·tanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離,，等于外心到 對邊的距離的2倍。

9.設(shè)O,，H分別為△ABC的外心和垂心,，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC,，∠BCO=∠HCA,。

10.銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與 外接圓半徑之和的2倍,。

11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的 內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中,，以垂足三角形的周長最短,。（ 施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)現(xiàn)）

12.西姆松(Simson)定理（西姆松線）：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上

13.設(shè)銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,，那么P是垂心的 充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA,。

14.設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D,、E,、F分別為H在BC，CA,，AB上的射影,，H1，H2,，H3分別為△AEF,，△BDF，△CDE的垂心,，則△DEF≌△H1H2H3,。

15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線,。

三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn),。 三角形的四心

已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O,，連結(jié)并延長BO,，交AC于點(diǎn)E。 三角形的四心求證：AE=CE

證明：延長OE到點(diǎn)G,，使OG=OB

∵OG=OB,∴點(diǎn)O是BG的中點(diǎn) 又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴OD是△BGC的一條 中位線 ∴AD∥CG

∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn) ∴OF是△BGA的一條中位線　∴CF∥AG

∵AD∥CG,，CF∥AG,∴四邊形AOCG是平行四邊形　∴AC,、OG互相平分,∴AE=CE

1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等,。

3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的 平方和最小,。

4.在 平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是 頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均,，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3),； 空間直角坐標(biāo)系—— 橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。

6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn),。

三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn),，是 旁切圓的圓心,，稱為旁心。

旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起,，旁心還與三角形的 半周長關(guān)系密切,，三角形有三個(gè)旁心。

^[1]

1,、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn),，該點(diǎn)即為三角形的旁心。

2,、每個(gè)三角形都有三個(gè) 旁心,。 三角形的四心

3、旁心到三邊的距離相等,。

如圖,，點(diǎn)A就是△BCD的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn),。一個(gè)三角形有三個(gè) 旁心,，而且一定在三角形外。

非等邊三角形的外心,、重心,、 垂心，依次位于同一直線上,，這條直線就叫三角形的歐拉線,。其中，重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,。

作△ABC的 外接圓,，連結(jié)并延長BO，交外接圓于點(diǎn)D,。連結(jié)AD,、CD、AH,、CH,、OH。作中線AM,，設(shè)AM交OH于點(diǎn)G’

∵ BD是直徑

∴ ∠BAD,、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB，DC⊥BC

∵ CH⊥AB,，AH⊥BC

∴ DA‖CH,，DC‖AH

∴ 四邊形ADCH是平行四邊形

∴ AH=DC

∵ M是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)

∴ OM= 1/2DC

∴ OM= 1/2AH

∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’

∴AG/GM=2/1

∴ G’是△ABC的重心

∴ G與G’重合

∴ O、G,、H三點(diǎn)在同一條直線上

如果使用向量,證明過程可以極大的簡化,運(yùn)用向量中的坐標(biāo)法,分別求出O G H三點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

設(shè)H,G,O,分別為△ABC的垂心,、重心、外心,。連接AG并延長交BC于D, 則可知D為BC中點(diǎn),。 三角形的四心連接OD ，又因?yàn)镺為外心,，所以O(shè)D⊥BC,。連接AH并延長交BC于E,因H為垂心,所以 AE⊥BC。所以O(shè)D//AE,，有∠ODA=∠EAD,。由于G為重心，則GA:GD=2:1,。

連接CG并延長交BA于F,則可知F為AB中點(diǎn),。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

連接FD,，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2,。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA,，∠FDA=∠CAD,，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD,，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以O(shè)D:HA=DF:AC=1:2,；又GA:GD=2:1所以O(shè)D:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA,。所以∠OGD=∠AGH,又連接AG并延長,，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O,、G,、H 三點(diǎn)共線。

設(shè)H,G,O,分別為△ABC的垂心,、重心,、外心.

則 向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC

向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，

向量OG*3=向量OH

所以O(shè),、G、H三點(diǎn)共線