偏微分方程這門數(shù)學(xué)學(xué)科,，對于廣大中學(xué)生來說,，恐怕是完全陌生的，難免會感到高不可攀,；至于說它是一門揭示宇宙奧秘,、改變世界面貌的科學(xué)，恐怕更顯得匪夷所思了,。盡管如此,，這篇短文仍希望能對此做一個簡單的說明和介紹。
1. 什么是偏微分方程,？中學(xué)里的數(shù)學(xué),，已講過函數(shù)，并涉及到一點簡單的微積分,。說 是自變量 的一個函數(shù),，記為，是指當自變量 在一給定的范圍中變動時,，函數(shù) 的值也按一定的規(guī)則相應(yīng)地變動,。例如，以勻速 運動的物體,，其位移 是時間 的一次函數(shù)：, 而自由落體的位移 則是時間 的二次函數(shù)：（其中 為重力加速度）,，等等。函數(shù) 的變化率,，表示函數(shù)值 隨著自變量 變化的速率,，則用其對 的導(dǎo)數(shù) <span role="presentation" data-formula="f" (x)'="" data-formula-type="inline-equation"> 來表示。在勻速運動的情形,，位移對時間的導(dǎo)數(shù)就是速度 ,；而在自由落體運動的情形，位移對時間的導(dǎo)數(shù)是 ,它也是一個 的函數(shù),。上面這些函數(shù)都只有一個自變量,，統(tǒng)稱為一元函數(shù)，是比較簡單的情形,。 在眾多的實際應(yīng)用中,，一個函數(shù)所依賴的自變量往往不止一個。例如,，一個矩形的面積 等于其長 與寬 的乘積,，即 ,。當 或 變動時， 的值都要相應(yīng)的變化,， 就是 及 的一個二元函數(shù),。當自變量的個數(shù)更多時，類似地有多元函數(shù),。對一個多元函數(shù),，可以相應(yīng)地考慮其對某個自變量的變化率，即當其他自變量暫時固定時,、該函數(shù)對此自變量的變化率,，稱為該函數(shù)對此自變量的偏導(dǎo)數(shù)(在經(jīng)濟學(xué)中,稱之為邊際效益!),它一般也是已有一切自變量的函數(shù)。例如,，矩形的面積 對其長 的偏導(dǎo)數(shù),，記為 ，其值為 ,；而對其寬 的偏導(dǎo)數(shù),，則記為 ，其值為 ,。對于一個多元函數(shù) 而言,，不僅可以有一階的偏導(dǎo)數(shù) 及 ，而且由于一階偏導(dǎo)數(shù)仍是一個多元函數(shù),，還可以繼續(xù)求偏導(dǎo)數(shù),，從而還有二階的偏導(dǎo)數(shù) ， 及,，等等,。由于多元函數(shù)在應(yīng)用中的重要性,，對其研究必然會引起極大的重視,。這比研究一元函數(shù)要困難得多，對數(shù)學(xué)也提出了新的發(fā)展機遇與挑戰(zhàn),。在一元函數(shù)的情形,，如果在決定未知函數(shù)的方程中包括其某些導(dǎo)數(shù)，則稱其為常微分方程,。求解相應(yīng)的常微分方程得到其解,，即得到所求的未知函數(shù)，已經(jīng)對解決很多應(yīng)用問題帶來了極大的推動與幫助,。在多元函數(shù)的情形,，如果在決定未知函數(shù)的方程中包含其某些偏導(dǎo)數(shù)，則稱其為偏微分方程,。例如就是一個偏微分方程,，其中 為未知函數(shù),，而及則分別為其對 及 的二階偏導(dǎo)數(shù)。這是一個非常有名的偏微分方程,，稱為拉普拉斯(Laplace)方程,。一個函數(shù) 如果滿足這個方程，即將這個函數(shù)代入方程兩端能使其化為恒等式,，就稱為該方程的解,。通過求解相應(yīng)的偏微分方程，得到所要求的未知多元函數(shù)解,，是很多應(yīng)用領(lǐng)域中的迫切需要,，具有重要的意義。 2. 對偏微分方程的研究要重視其個性如前所述,，包括多元未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的方程,，統(tǒng)稱為偏微分方程。它有兩個特點,，一是未知函數(shù)為一個多元函數(shù)(否則,，若未知函數(shù)只是一個一元函數(shù)，就是一個常微分方程!),，二是方程中要包含未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)(否則,，就是一個函數(shù)方程!)。這樣來界定偏微分方程,，其研究的目標和對象就太寬泛了,，很難得到深入的結(jié)果。其實,，偏微分方程這門數(shù)學(xué)學(xué)科的出現(xiàn)和興起,，并不是從偏微分方程的上述廣泛的定義出發(fā)的，恰恰相反,，是源于實踐及應(yīng)用需要的驅(qū)動,，才使少數(shù)一些具特殊類型的偏微分方程引起了人們普遍的關(guān)注，成了反復(fù)深入研究的對象,，從而逐漸形成了氣候,，而對其他種種 “可能” 出現(xiàn)的偏微分方程卻根本置之不顧。 自18世紀中葉開始對偏微分方程開展研究以來,，人們的興趣長期集中在下面幾種典型的偏微分方程上,。其中 為以時間t及空間位置坐標 為自變量的未知函數(shù),，方程左端為u對t的二階偏導(dǎo)數(shù),，右端的 稱為弦振動方程。它描述一個彈性弦的橫向振動過程,，可成功地刻畫弦樂器發(fā)生的機理,，也正是由于這一需要的推動，才引起當時一批數(shù)學(xué)家的廣泛重視,。這應(yīng)該是最早得到研究的一個偏微分方程,，它的求解公式通稱達朗貝爾(D'Alembert)公式，以紀念達倫貝爾開創(chuàng)性的研究工作,。其實,，在達朗貝爾于1746年發(fā)表了有關(guān)的論文后不久,，歐拉(Euler),丹尼爾·貝努里(Daniel Bernoulli)以及拉格朗日(Lagrange)均展開了相應(yīng)的研究,，他們相互間對如何理解這個方程的解,，曾進行了長期激烈的爭論，推動了對相關(guān)問題的深入認識,。 與波動方程不同，這個方程的左端是未知函數(shù)u對t的一階偏導(dǎo)數(shù),。這個方程描述了由傅立葉(Fourier)在其1822年出版的名著《熱的解析理論》中深入闡述的熱的傳導(dǎo)現(xiàn)象,，揭示了一系列有關(guān)熱傳導(dǎo)的規(guī)律。在這一研究中,，傅里葉提出了現(xiàn)今以其命名的傅里葉級數(shù)及傅里葉積分,，為偏微分方程的研究開創(chuàng)性地建立了傅里葉分析這一重要的方法和工具。 其中 是一個與時間 無關(guān)的未知函數(shù),。這個方程可用來描述具有穩(wěn)定狀態(tài)的波動過程或熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，其解通稱為調(diào)和函數(shù),，在數(shù)學(xué)內(nèi)部及其他科學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,。 在眾多可能的偏微分方程中，只關(guān)注這幾類特殊的方程,， 其原因除了對偏分方程極少有非常一般性的結(jié)論外,，根本在于：不同的物理來源與背景,，會歸結(jié)出不同類型的偏微分方程,，其解有不同的特性，其問題的提法和求解的方法因而也各不相同,，換言之,，偏微分方程的研究充分顯示了其個性。只有根據(jù)實踐中的迫切需要,，分門別類地進行研究,，才能充分展現(xiàn)有關(guān)偏微分方程的豐富內(nèi)涵,，深入揭示問題的本質(zhì)，取得深刻的成果,。正因為如此,，在大學(xué)里開設(shè)的偏微分方程課程，往往稱之為數(shù)學(xué)物理方程,，重點強調(diào)那些與物理世界密切聯(lián)系,、有鮮明個性的特殊類型的偏微分方程。這樣做,，才真正反映了這門課程的本質(zhì)特點,，充分顯示了其作用與優(yōu)勢。當然,，隨著科技的不斷進步與發(fā)展,，經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理方程，除了上面列舉的最典型的三類方程外,，其范圍也在不斷的擴大?，F(xiàn)在，描述電磁理論的麥克斯韋(Maxwell)方程組,，描述流體運動的歐拉方程組和納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程組,，描述彈性體運動的彈性力學(xué)方程組，描述量子力學(xué)基本規(guī)律的薛定鍔(Schr?dinger)方程,，描述孤立波的KdV方程, 廣義相對論的愛因斯坦(Einstein)方程,，等等，都已成為引起廣泛重視和深入研究的重要的數(shù)學(xué)物理方程,?？梢灶A(yù)見，隨著人類對世界的認識越來越深入,，還將會有一些新的重要的數(shù)學(xué)物理方程進入人們的視野,，促使人們對其進行深入的研究，充分顯示數(shù)學(xué)物理偏微分方程這一學(xué)科蓬勃發(fā)展,、與時俱進的特征和面貌,。但不管怎樣，結(jié)合一些重要的物理模型,，對偏微分方程的某些特殊類型開展深入的研究,，將是很長一段時期中偏微分方程發(fā)展的特點和主流；呈現(xiàn)出強烈的個性,，將會一直是偏微分方程研究的一個重要的特征,。對偏微分方程的這種顯示出強烈個性的研究方式，不僅體現(xiàn)了偏微分方程的特點，而且充分顯示了它的優(yōu)越性,。以波動方程為例,，它雖然只是眾多偏微分方程中的一個特殊的類型，具有明顯的個性,，但正因為此,，才可以深入反映種種波動現(xiàn)象（如聲波，電磁波,，彈性波…）的共性,，從而在信息通訊、石油勘探,、半導(dǎo)體器件,、電子顯微鏡、激光制導(dǎo)等等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,，真正改變了人們的生活,。不僅如此，以拉普拉斯方程為例,，它不僅可以用來表示穩(wěn)定的溫度場,，也可以用來表示靜電場、靜磁場,、定常擴散現(xiàn)象,、柱形桿的扭轉(zhuǎn)、流體力學(xué)及勢論,，還可以用來刻畫復(fù)變解析函數(shù)的實部與虛部,。從各種現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程的“驚人的類似”中，可以清楚地顯示出自然界的統(tǒng)一性,，也使某一偏微分方程的研究成果可以在很多看似截然不同的領(lǐng)域中發(fā)揮重要的作用,。正因為如此，偏微分方程的基礎(chǔ)理論成果一旦有所突破,，其在應(yīng)用方面的巨大推動作用因而可以是無窮無盡的,。3. 偏微分方程是打開世界大門的金鑰匙前面所列舉的一些數(shù)學(xué)物理方程，都是一些重要物理,、力學(xué)學(xué)科的基本方程,，例如，麥克斯韋方程組是描述電磁場規(guī)律的電動力學(xué)的基本方程,，歐拉方程組及納維-斯托克斯方程組是流體力學(xué)的基本方程,，彈性力學(xué)方程組是描述彈性體運動規(guī)律的彈性力學(xué)的基本方程，薛定鍔方程是量子力學(xué)的基本方程,，愛因斯坦方程是廣義相對論的基本方程,，等等。這些基本方程,，形式不同,，難易程度各異，但都是在很多物理,、力學(xué)觀察,、實驗及思考的基礎(chǔ)上建立起來的、抓住相應(yīng)學(xué)科本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型,，是物理世界的基本方程,，是有關(guān)學(xué)科的基本理論框架，由此可以演繹出該學(xué)科的一切核心內(nèi)容和基本事實,。這樣,，用于揭示宇宙奧秘、改變世界面貌的這些重要物理,、力學(xué)學(xué)科,，它們的基本方程就是偏微分方程。抓住了這些基本方程,，就抓住了這些物理,、力學(xué)學(xué)科的本質(zhì)；根據(jù)需要,，在各種情況下求解這些方程并闡明其解的物理,、力學(xué)本質(zhì)與內(nèi)涵，不僅可以透徹地掌握這些物理,，力學(xué)學(xué)科,，更可以打開世界的大門，逐步認識宇宙的奧秘,。偏微分方程在人類認識世界和改變世界中的獨特而關(guān)鍵性的作用由此可見一斑,。在《歷史上最偉大的10個方程》（美國Robert P. Crease 著）這本書中，就至少直接列出了三個重要的偏微分方程,，相應(yīng)章節(jié)的小標題分別是“19世紀最重要的事件——麥克斯韋方程組”,，“金蛋：愛因斯坦的廣義相對論方程”及“量子論的基本方程薛定鍔方程”。下面對偏微分方程的作用再舉幾個例子加以具體說明,。 麥克斯韋方程組描述了電磁場運動的一般規(guī)律,。它是以電場強度 及磁場強度 為未知函數(shù)的一個偏微分方程組。麥克斯韋據(jù)此預(yù)言了電磁波的存在,，并斷言其在真空中的傳播速度為光速,，從而光也是一種電磁波。20年后,，赫茲（Hertz）用實驗證明了電磁波的存在,，使麥克斯韋的預(yù)言變成了現(xiàn)實,，從而在人類的歷史上先后出現(xiàn)了電話、無線電通訊,、電視,、手機，迎來了現(xiàn)今豐富多彩的信息時代,。地震是人類面臨的一個重大的自然災(zāi)害,。一旦發(fā)生地震，需要在第一時間確定震心的位置,，以便及時掌握情況、組織救援,。彈性力學(xué)的基本方程——彈性動力學(xué)方程組在這方面發(fā)揮了重要的作用,。是以彈性體在 三個方向上的位移 為未知函數(shù)的偏微分方程組，將它應(yīng)用于地球這個彈性體,，可以發(fā)現(xiàn)在其震動時要形成兩個波,，一個是膨脹波,，其波速為另一個是畸變波，其波速為 其中 為彈性體的密度,而 和 兩為兩個彈性常數(shù),。顯然,，膨脹波的速度 恒大于畸變波的速度 ： 如果一個地方發(fā)生了地震,，從震中傳出的膨脹波會首先到達觀測站,，過一些時候，才會收到震中傳來的畸變波。由這個時間差,，就可以計算出震中到觀測站的距離,。這樣,，利用好幾個觀測站的測量結(jié)果，就可以確定地震中心的位置,，從而給出及時而準確的預(yù)報,。 利用彈性波的理論,，還可以用人工造成的地震所接受的信息來確定地下礦藏的位置及儲量,，稱之為地震勘探,。（3）薛定鍔方程成為量子力學(xué)的基本數(shù)學(xué)模型是量子力學(xué)中描述單個微觀粒子運動規(guī)律的基本方程,，其中 為一個物理常數(shù),， 為微觀粒子的質(zhì)量,， 為虛數(shù)單位,，而 (稱為波函數(shù))是一個復(fù)值的未知函數(shù),。這個偏微分方程的推導(dǎo)并沒有已有物理規(guī)律的支撐,，其中還意外地出現(xiàn)了虛數(shù)單位 ，它究竟是不是描述微觀世界粒子運動規(guī)律的一個正確的數(shù)學(xué)模型呢,？,！ 把這個方程用于一個很簡單的微觀粒子——氫原子，用求解偏微分方程的方法算出氫原子的光譜線,，發(fā)現(xiàn)和實測的結(jié)果完全一致,，使這個方程成功地經(jīng)受了實踐的檢驗,，從而牢固地確立了其為量子力學(xué)基本方程的地位,。從薛定鍔方程中可以看出，量子力學(xué)的基本方程中本質(zhì)地出現(xiàn)了虛數(shù)單位i,，這深刻地意味著“虛數(shù)不虛”,，自然界實際上是用復(fù)數(shù)而不是用實數(shù)來運作的！（4）為高速飛行器的設(shè)計及運行提供依據(jù)“飛天”曾是人類的一個美麗的夢想,，為了征服藍天,、走向太空，要成功地設(shè)計超音速飛機,、人造地球衛(wèi)星及宇宙飛船這些航空,、航天的利器，必須精確地了解飛行器周圍的流場,，包括氣體的流速及壓強等有關(guān)情況,，這就要求解理想（無粘性）或粘性流體力學(xué)方程組。這涉及到對這些基本方程組的深入了解,，以及相應(yīng)的數(shù)值求解方案的深入開發(fā)與研究,。愛因斯坦方程是廣義相對論的基本方程，它具有深刻的物理與幾何背景,，是一個很復(fù)雜的非線性偏微分方程組,，對宇宙的形成與演化有重要的啟示作用。由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜,，對愛因斯坦方程的具體求解是很困難的,，1915年Schwarzschild 給出了它的一個球?qū)ΨQ的特解，現(xiàn)稱為Schwarzschild解,。這個解看上去雖比較簡單,，但當半徑r等于某個值（稱為Schwarzschild半徑）時，其值趨于無窮,，解出現(xiàn)了奇性,；而在半徑r小于該值時，人們由此猜測天體將發(fā)生坍塌，解將是一個黑洞,。這在當時只是從愛因斯坦方程的一個特解所提出的一個猜測,，而在現(xiàn)在宇宙空間中黑洞的存在，已經(jīng)是物理學(xué)家,、天文學(xué)家的一個共識了,。最后，對偏微分方程這一學(xué)科做一個簡短的補充和小結(jié),。偏微分方程,，根據(jù)它的特點和任務(wù)，除了本身是一門博大精深的數(shù)學(xué)學(xué)科外,，還應(yīng)有左,，右兩翼和它比翼齊飛、展翅翱翔,。這兒所說的左右兩翼,，一是物理模型，它是提供有意義的偏微分課題的不竭源泉,；一是科學(xué)計算,，它不僅可以對偏微分方程提供足夠精確的近似解，而且可以對偏微分方程的理論研究提供新的思路和方法,。 從偏微分方程出發(fā),，還可以進一步衍生出一些重要的數(shù)學(xué)學(xué)科和方向，例如,，分布參數(shù)系統(tǒng)的控制理論,，偏微分方程的數(shù)值解，數(shù)學(xué)物理反問題,，無窮維動力系統(tǒng),，幾何分析，隨機偏微分方程,，等等。從研究偏微分方程的角度,，由于它是一門分析性的學(xué)科,，很多分析工具，例如微積分,、常微分方程,、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù),、泛函分析,、調(diào)和分析、廣義函數(shù)論及微局部分析等固然會經(jīng)常用到；就是分析外的學(xué)科,，如幾何,、代數(shù)、拓撲,、數(shù)論等等也會不時起到重要的作用,。另一方面，偏微分方程的研究也有力地促進了這些學(xué)科的進一步發(fā)展,。 總而言之,，偏微分方程不僅意義重大，且是一門兼收并蓄,、極度開放包容的學(xué)科,，為一切有志于研究偏微分方程的學(xué)人提供了極大豐富自己的學(xué)養(yǎng)、同時又充分展示自己才華的無限可能性,。前景燦爛輝煌,，讓我們共同努力。
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