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本文授權(quán)轉(zhuǎn)載自：知行鋰電,，作者：中德睿企業(yè)管理咨詢 文武齊龍老師 在日常工作中,，正態(tài)分布是我們最為常見的數(shù)據(jù)分布類型。但很多時候,，我們會發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)據(jù)分布樣式 ”千奇百怪“ ,，與正態(tài)分布相比相去甚遠(yuǎn)。 那么,，一組數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布,，正常嗎？如果不服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)暗示著某些異常的話,，發(fā)生的又是什么問題呢,？ 為了回答這些問題，先要從正態(tài)分布的產(chǎn)生原理說起......
現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)脫胎于古典概率論,，而后者，則起源于賭博,。 假設(shè)我們有一粒骰子，每次將其拋出并記錄朝上的數(shù)字,，當(dāng)我們拋了非常多次之后,，就會得到從1到6的整數(shù)均勻分布： 
如果我們每次投兩粒骰子，并統(tǒng)計兩粒骰子和出現(xiàn)的次數(shù),，我們會發(fā)現(xiàn)兩粒骰子和的取值是2~12之間的整數(shù),，得到2（1+1）和12（6+6）點數(shù)的可能性最低，得到中位數(shù)7（有1+6,、6+1,、2+5、5+2,、3+4,、4+3六種情況）的概率最高，作圖如下： 
如果我們拋三粒骰子,，就會發(fā)生數(shù)據(jù)的分布更加類似于我們所熟知的 “中間多,、兩邊少,、左右對稱” 的正態(tài)分布樣式： 
拋四粒骰子很多次，求和的分布,，則與正態(tài)分布擬合的更好： 
經(jīng)過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)多組均勻分布求和后,，就會產(chǎn)生正態(tài)分布。 其實不光均勻分布求和會得到正態(tài)分布,，多個正態(tài)分布求和,，不論每個正態(tài)分布之間的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差差異有多大，得到的還是正態(tài)分布,。 也就是說,，正態(tài)分布擁有類似于生物的 “繁殖” 功能，從而生生不息,，成為自然界中最為常見的分布,，并被冠以 “normal distribution” （直譯為正常分布）的名字。 如果將上述結(jié)果進(jìn)一步演繹,，我們就能得到正態(tài)分布的產(chǎn)生原因：當(dāng)一組數(shù)據(jù)同時受多個因素影響,，且每一個影響因素對這組數(shù)據(jù)的影響都是基本對稱的、同時影響幅度又都不大時,，這組數(shù)據(jù)就會服從正態(tài)分布,。 哪些制程數(shù)據(jù)應(yīng)該服從正態(tài)分布？ 從上面的分析我們可以知道,，如果一個制程數(shù)據(jù)同時被多個對稱因素影響,，并且每一個影響因素都無法起到?jīng)Q定性作用時，這個制程數(shù)據(jù)就會服從正態(tài)分布,。 在鋰電行業(yè)中,，常見的服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)有： 容量分布 —— 影響容量的因素有很多，例如正極涂布重量,、負(fù)極涂布重量,、正極壓實密度、負(fù)極壓實密度,、保液量,、分容柜精度等。在這些因素中,，雖然正極重量,、正極來料影響程度很大，但是由于這兩個因素往往也是服從正態(tài)分布的,，因此,，并不影響電池容量服從正態(tài)。 自放電分布 —— 影響自放電的因素包括原材料磁性雜質(zhì)含量,、極片切割的效果,、車間的粉塵影響,、測試條件等。這些因素每一個都像一粒拋出的骰子,，合在一起的結(jié)果,，就是自放電的正態(tài)分布。 內(nèi)阻分布 —— 受原材料導(dǎo)電性能,、導(dǎo)電劑添加量,、涂布重量、電解液電導(dǎo)率,、焊接效果等影響,。 輥壓厚度 —— 受來料粉體壓實、攪拌的均一性,、涂布厚度,、輥壓機(jī)震動等的影響。 ...... 找到一個本該服從正態(tài)分布的制程能力數(shù)據(jù),，要比找到一個不該服從正態(tài)分布的制程數(shù)據(jù),，簡單的太多太多。但我們實際遇到的情況卻是：生產(chǎn)車間導(dǎo)出的上述制程數(shù)據(jù),，很少會真的服從正態(tài)分布,。這又是為什么呢？
為什么我的制程數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布,？ 很多時候,，我們會遇到這種情況：
自己家的制程數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布也就罷了，同時還會像規(guī)格限一邊偏移（上圖樣式為正偏）,，從而造成大量制程數(shù)據(jù)的不合格,，這是為什么呢？ 中德睿黑帶大師唐征老師在向?qū)W員們解釋該類問題時曾說：對于這類問題的分析,，首先要回歸到正態(tài)分布的本質(zhì)上來,，正態(tài)分布到底是如何產(chǎn)生的呢？ 正態(tài)分布產(chǎn)生的原理,，在于一組數(shù)據(jù)同時受多個影響因素影響，且每一個影響因素對這組數(shù)據(jù)的影響都是對稱的,、又都不至于占主導(dǎo)作用,，此時就會產(chǎn)生正態(tài)分布。 上述描述中,，一共有三個關(guān)鍵要求： 1）多個影響因素 2）每個因素對數(shù)據(jù)的影響都是對稱的 3）沒有哪個非對稱的因素占據(jù)著主導(dǎo)影響 以自放電制程數(shù)據(jù)正偏為例,，自放電有很多影響因素，以正極磁性雜質(zhì)含量為例,，如果磁性雜質(zhì)含量在一個比較合理的范圍,，那么來料磁性雜質(zhì)的波動,，就會近乎于左右對稱的影響自放電大小：雜質(zhì)少一點,，自放電低一點,；雜質(zhì)多一點，自放電高一點,。這時的波動屬于過程的隨機(jī)波動,，對產(chǎn)品的性能影響很小。 但是如果某一批來料的磁性雜質(zhì)很高,，那就危險了：電池自放電會因此大幅增加,。但是某一批來料磁性雜質(zhì)很低呢？也不至于讓自放電分布顯著降低,，因為正極雜質(zhì)對自放電的影響只是一個方面,，還有負(fù)極、導(dǎo)電劑,、空氣粉塵等各個方面的影響,，電池自放電不會因為正極磁性雜質(zhì)的異常偏低而顯著降低，卻會因為正極磁性雜質(zhì)的異常偏高而顯著變高,。 也就是說,，正極磁性雜質(zhì)，一定程度的小范圍波動時,，對自放電的影響是對稱的,，但是當(dāng)出現(xiàn)了異常偏高或偏低的波動時，影響就不對稱了,，且過高的正極磁性雜質(zhì)含量還很可能成為電池自放電（異常偏高）的主要影響因素,。此時，正態(tài)分布產(chǎn)生的原理被破壞,，自放電自然也就難以服從正態(tài)分布了,。
不只正極磁性雜質(zhì)含量異常偏高，其它原材料的雜質(zhì)異常波動,、生產(chǎn)粉塵的異常波動,、刀模的過度磨損、設(shè)備引入了金屬雜質(zhì)等等異常情況發(fā)生后,，對電池自放電的影響都不是對稱的,，都會提高電池自放電的偏大比例，從而讓本該服從正態(tài)分布的自放電分布產(chǎn)生正偏,。 同理,，容量容易負(fù)偏（出現(xiàn)好多低容的）、內(nèi)阻容易正偏（出現(xiàn)好多高內(nèi)阻的）,，也都是發(fā)生了前工序的異常情況,，這里就不再一一列舉了,。 從六西格瑪?shù)慕嵌葋碚f，本該服從正態(tài)分布的制程數(shù)據(jù)沒有服從正態(tài)分布,，那一定是出現(xiàn)了異常變異,，此時為了提高良率、改善品質(zhì),，應(yīng)該盡快識別出異常變異的來源,，并將其消除。 當(dāng)然,，異常變異的產(chǎn)生,、識別及改善，絕非一篇文章能解釋的清楚,。接下來,，我們繼續(xù)以數(shù)據(jù)分布為切入點，介紹幾種常見的不服從正態(tài)分布的制程數(shù)據(jù)的產(chǎn)生原因,。 數(shù)據(jù)這個熊樣,，發(fā)生了什么？ ：正偏是最為常見的異常分布類型之一,，其概念指的是右側(cè)數(shù)據(jù)明顯偏多并出現(xiàn)拖尾，而左側(cè)則基本不存在拖尾,。
舉例：正偏數(shù)據(jù)是制程過程中非常常見的情況,，例如如下的電芯內(nèi)阻分布：
產(chǎn)生原理：對正偏分布的分析，其重點在于 “為何出現(xiàn)了很多數(shù)值偏大的點”,。上文對此已有了介紹：當(dāng)過程的波動都在控制范圍之內(nèi)時,，過程的波動一般會對稱的影響輸出；但是當(dāng)出現(xiàn)了異常波動,，例如對于內(nèi)阻而言的虛焊和焊穿,，則都是會造成內(nèi)阻增加，從而讓輸出不再對稱,，引發(fā)正偏,。數(shù)據(jù)特點：從大方向上看，我們很容易讓內(nèi)阻偏高,，但卻很難做出來內(nèi)阻很低的電池,；我們很容易讓電池自放電偏大，卻很難做出來自放電偏小的電池,；我們很容易做出來低容電池，但是想讓電池容量比設(shè)計值高10%,，則幾乎沒有可能,。因此,，我們可以將內(nèi)阻的上限、自放電的上限,、容量的下限,，稱為數(shù)據(jù)的 “可惡化側(cè)”，一組制程數(shù)據(jù),，除了測試異常外,，一般都是向自己的 “可惡化側(cè)” 產(chǎn)生偏態(tài)。
改善：教科書般的改善方式是通過控制圖的持續(xù)監(jiān)控,，第一時間識別出出現(xiàn)異常變異的數(shù)據(jù),，并現(xiàn)場查找原因。但這一方法對于鋰電容量,、自放電等異常卻不適用,，因為電池做到檢測工序，前工序的一一生產(chǎn)順序早已混的一塌糊涂,，控制圖已經(jīng)不能繼續(xù)使用了,。另外一種方法，可以找到多個異常數(shù)值最大的電芯拆解（例如內(nèi)阻最高的電芯,、自放電最大的電芯）,，從中可以比較容易的找到幾個異常的原因，然后再針對性的進(jìn)行改善,。而對于異常數(shù)據(jù)不是特別大,、分布尚未離群的產(chǎn)品而言（如本例中內(nèi)阻為22.2毫歐的電芯），很難界定其到底是屬于異常產(chǎn)品還是合格品的正常波動,，所以分析的價值要小很多,。
：左側(cè)數(shù)據(jù)明顯偏多并出現(xiàn)拖尾,，同時右側(cè)數(shù)據(jù)相對于左側(cè)偏少,。
舉例：最常見的負(fù)偏數(shù)據(jù)，莫過于電池的容量分布了：
產(chǎn)生原理：負(fù)偏及正偏分布,，是最為常見,、同時也是最為棘手的問題，因為其數(shù)據(jù)產(chǎn)品偏態(tài)的原因,，往往是同時發(fā)生了多個異常,，而每個異常的比例又不高，一些低容電芯,，前工序甚至干脆沒有產(chǎn)生 “不合格的制程指標(biāo)”,，而僅僅是恰巧同時發(fā)生了 “涂布偏上限、輥壓偏下限（從而造成壓實過大）” 多個極端情況的疊加而已。因此,，即便前工序都是100%的合格品,，做到后工序，不合格產(chǎn)品亦或是明顯偏離正態(tài)分布的產(chǎn)品,，還是會有出現(xiàn)的概率,。
改善：由于偏態(tài)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的復(fù)雜性，因此對其的改善也難以一蹴而就,。從總的方向來看,，設(shè)計方面要留有足夠的余量，這樣即便過程產(chǎn)生波動,，也不至于造成對輸出的非對稱影響,。制程方面，要保證穩(wěn)定,，穩(wěn)定的含義并不是指 ”過程數(shù)據(jù)全部在規(guī)格限內(nèi)“,，同時也要求制程數(shù)據(jù)的均值與目標(biāo)均值接近，不能出現(xiàn)一批偏上限,、一批偏下限的情況,，因為后者很容易造成多個工序疊加后的不良。
只要設(shè)計余量充足,，制程能力較高且比較穩(wěn)定,，過程中就不會產(chǎn)生過多的特殊變異，從而讓前工序波動對檢測指標(biāo)的影響一直保持在 “影響程度不大,，且左右對稱” 的程度,，并保證檢測指標(biāo)的正態(tài)性及合格率。
：“雙峰”實際上并不是一種對數(shù)據(jù)分布分布形狀的標(biāo)準(zhǔn)描述,，原則上應(yīng)該視第二個峰到底是偏大還是偏小，將其列入至正偏或者負(fù)偏的范疇,。但是由于雙峰的產(chǎn)生原理與上面介紹的正偏,、負(fù)偏有差異，因此將其單獨列出,。舉例：前文提到的自放電分布,，就屬于雙峰的典型例子：
產(chǎn)生原理：雙峰的產(chǎn)生，說明過程中產(chǎn)生了引發(fā)大量產(chǎn)品特征均值異常漂移的特殊變異,。例如原材料批次間的巨大差異,，生產(chǎn)環(huán)境及條件的顯著變化等。與傳統(tǒng)正偏或負(fù)偏相比,，雙峰的特點是異常數(shù)量非常多,、與正常產(chǎn)品數(shù)量達(dá)到了一個量級，從而二者“并駕齊驅(qū)”，產(chǎn)生雙峰,。數(shù)據(jù)特點：從上面實際的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),，異常峰的產(chǎn)品數(shù)量要少于正常峰，另外更重要的是,，異常峰的標(biāo)準(zhǔn)差一般也會大于正常峰。也就是說,，當(dāng)發(fā)生異常時,，不僅異常產(chǎn)品的均值會有顯著變化，產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)差也會變大,。改善：異常峰產(chǎn)生的原因,，往往只有一個，因此只要將其識別并改善,，就容易消除雙峰,。由于異常峰的產(chǎn)品比例一般很高，因此主要從原材料,、生產(chǎn)測試環(huán)境,、工藝變更這些可能引發(fā)產(chǎn)品大批量異常的大方向進(jìn)行尋找，個別設(shè)備的差異,、生產(chǎn)參數(shù)的偶爾波動,，一般不至于產(chǎn)生雙峰這一異常。改善了雙峰,，并不一定會同時消除其它一切特殊變異,，因此一些少數(shù)量的正偏異常可能被雙峰掩蓋,，當(dāng)雙峰消除后,，這些正偏異常會重新顯現(xiàn)，并繼續(xù)困擾工程人員,。
拓展：當(dāng)異常峰與主峰的距離產(chǎn)生變化時,，雙峰的樣式也會發(fā)生變化，下面用minitab自動生成一些不同距離的雙峰數(shù)據(jù),，供大家參考：
：“峰度”是描述數(shù)據(jù)形狀的一個物理量之一，當(dāng)峰度過大時,，數(shù)據(jù)相對于正態(tài)分布而言,，會顯得“中間數(shù)據(jù)過多、雙肩位置數(shù)據(jù)過少”,，感性來看的話,，數(shù)據(jù)擬合曲線會更為細(xì)長。
舉例：下列的電壓分布，均值附近位置的概率密度明顯高于正態(tài)分布擬合曲線,，而兩邊的概率密度又與正態(tài)分布擬合曲線差不多,，是典型的高峰度數(shù)據(jù)分布。
產(chǎn)生原理：高峰度其實可以看成是 “均值相等,、方差差異大” 的雙峰重疊情況,，例如上圖中的電壓分布，其實是兩個正態(tài)分布的重疊情況：
與雙峰不同的是,，高峰度數(shù)據(jù)分布的異常峰均值與主峰接近,，但方差要大上數(shù)倍。單純來料批次差異改變的一般都是均值,、惡化標(biāo)準(zhǔn)差的幅度沒有這么大,，根據(jù)文武的經(jīng)驗，高峰度的異常峰一般由測試環(huán)境的大幅變化或不同組別產(chǎn)品混批次造成,。
數(shù)據(jù)特點：對于高峰度異常數(shù)據(jù),，一般會出現(xiàn)在 “受測試環(huán)境影響比較大，偏高偏低都容易出現(xiàn)” 的數(shù)據(jù)中,。文武曾見過電壓,、自放電數(shù)據(jù)出現(xiàn)這一異常，因為電壓受溫度影響比較大,，環(huán)境出現(xiàn)波動時更容易 “上躥下跳”,。改善：乍一看，高峰度數(shù)據(jù)相對于正態(tài)分布而言,，1σ至2σ之間的 “肩部” 數(shù)據(jù)少了,，而±1σ的 “頭部” 數(shù)據(jù)更多了，數(shù)據(jù)分布更集中了,，似乎不需要改善,。但實際上，高峰度數(shù)據(jù)的主要問題不在于頭部數(shù)據(jù)多了,，而在于異常峰的過大波動,。將其消滅，制程能力將大幅提高,。：高峰度是指數(shù)據(jù)分布比正態(tài)分布擬合曲線更“瘦”，低峰度則是指數(shù)據(jù)分布比正態(tài)分布更“胖”：低峰度數(shù)據(jù)均值區(qū)域概率密度低于正態(tài)分布,，而肩部數(shù)據(jù)的概率密度又顯著高于正態(tài)分布,。
舉例：下列的容量分布，均值位置的數(shù)據(jù)明顯更為扁平,，是典型的低峰度分布,。
產(chǎn)生原理：對于低峰度數(shù)據(jù)分布而言,，其很大可能是由多個“均值差異大、標(biāo)準(zhǔn)差接近”的正態(tài)分布疊加而成,，如下所示：
數(shù)據(jù)特點：對于低峰度數(shù)據(jù)分布的分析,，要特別注意其左右兩側(cè)數(shù)據(jù)的遞減幅度是否一致。若像本例中,，左右兩側(cè)數(shù)據(jù)遞減幅度一致,，則說明不同正態(tài)分布的差異主要為均值，而標(biāo)準(zhǔn)差沒有惡化,，過程 “只是漂移,、而沒有變差” ，分析方向上要往涂布面密度波動,、測試溫度波動等這類 “主要造成均值變化” 的角度去突破。而如果數(shù)據(jù)在 “可惡化側(cè)” 發(fā)生了惡化,，既數(shù)據(jù)明顯發(fā)生了正偏（K值,、內(nèi)阻等）或負(fù)偏（容量等），則說明此時數(shù)據(jù)不僅產(chǎn)生了漂移,、還發(fā)生了惡化,。以容量為例，會同時造成其均值和標(biāo)準(zhǔn)差變化的參數(shù)包括壓實過高,、保液量過低,、負(fù)極過量不足等。
改善：如果發(fā)現(xiàn)左右兩側(cè)數(shù)據(jù)概率密度遞減速度接近,，則將主要精力集中于識別出多組數(shù)據(jù)間均值差異大的原因,。以上述容量分布為例，造成多組容量分布均值差異的原因,，最大的可能性在于涂布時多卷極片的敷料重量均值差異過大,，當(dāng)這幾卷極片的電池混在一起后，就出現(xiàn)了低峰度數(shù)據(jù)分布,。如果發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)在可惡化側(cè)產(chǎn)生了偏態(tài),，則要重點考慮那些會同時造成造成均值漂移和標(biāo)準(zhǔn)差變大的原因。當(dāng)然哪些因素會僅僅造成均值的漂移,、哪些會同時造成標(biāo)準(zhǔn)差的惡化,，是長期經(jīng)驗的積累，遇到具體問題時需要具體討論,。
：這并不是一種 “教科書” 式的數(shù)據(jù)分布，該數(shù)據(jù)的一側(cè)概率密度很低,、像刀鋒一樣,，另一側(cè)則有拖尾現(xiàn)象,。舉例：一批電池由于導(dǎo)電劑加少而發(fā)生了高內(nèi)阻，數(shù)據(jù)符合刀鋒分布的樣式,。
產(chǎn)生原理：與前面的幾種分布不同,，刀鋒型數(shù)據(jù)的產(chǎn)生無法用幾個正態(tài)分布的簡單疊加來解釋。以上述導(dǎo)電劑加少造成的內(nèi)阻偏高為例,，數(shù)據(jù)左側(cè)的低內(nèi)阻電芯的數(shù)量很少,、從而產(chǎn)生了刀鋒形狀；右側(cè)則由于導(dǎo)電劑加少,、一點點的異常波動都會讓內(nèi)阻顯著增加,，從而數(shù)據(jù)又嚴(yán)重正偏。 對于這類異常,，一般是產(chǎn)生了根源的設(shè)計,、制程問題（例如本例的導(dǎo)電劑加少了），讓數(shù)據(jù)徹底偏離了正態(tài)分布的樣式,。 改善：數(shù)據(jù)出現(xiàn)了刀鋒型分布,，一定是發(fā)生了與設(shè)計相關(guān)的根本性變異（正常的導(dǎo)電劑添加量，不至于造成如此程度的正偏+不對稱,，這種基礎(chǔ)的研究,，索尼三十年前就做完了），因此,，主要從設(shè)計端或與設(shè)計相關(guān)的制程工序排查異常產(chǎn)生的原因,。 舉例：一批電池的內(nèi)阻在制作直方圖后,，出現(xiàn)了這種“詭異”的情況：
產(chǎn)生原理：產(chǎn)生鋸齒形的一種常見原因，是測量工具的分辨力（最小刻度,，例如千分尺的分辨力為1um,，萬分尺為0.1um）不夠，能夠讀出的不同數(shù)值太少,，而直方圖的橫坐標(biāo)組數(shù)又太多,，最終產(chǎn)生了鋸齒狀。但是對于上面的詭異數(shù)據(jù)而言,，測量系統(tǒng)是電壓內(nèi)阻分選儀,，其分辨力0.01毫歐一定是足夠的，那又為何會產(chǎn)生這種情況呢,？
改善：經(jīng)過對原始數(shù)據(jù)的分析文武發(fā)現(xiàn),，雖然測量工具的分辨力是足夠的，但是由于產(chǎn)品的數(shù)量太多了,，而minitab又是通過數(shù)據(jù)量來自動給出橫坐標(biāo)組數(shù)的,，數(shù)據(jù)量很大時,，橫坐標(biāo)組數(shù)就會非常多，從而造成數(shù)據(jù)成鋸齒狀,。只要手動將橫坐標(biāo)組數(shù)減少,，就可以得到正常的分布圖。
雖然我們無法直接通過數(shù)據(jù)分布類型來解決實際問題,，但是對正態(tài)分布產(chǎn)生原理及異常分布產(chǎn)生原理的研究,，可以幫助我們找到進(jìn)一步分析和解決問題的方向，從而大幅加快我們解決問題的速度,。 相信大家實際遇到的問題,，遠(yuǎn)比文武本文介紹的復(fù)雜的多。各位的寶貴經(jīng)驗,，也歡迎在文末或微信群里留言討論,。
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