歐拉公式將三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái),。本文我將利用不同的方法去推導(dǎo)歐拉公式，并解釋,，為何歐拉公式被譽(yù)為最美的數(shù)學(xué)公式,。

涉及的知識(shí)

泰勒公式

拉格朗日中值定理

積分法

正文：

數(shù)學(xué)史上被公認(rèn)為最偉大的數(shù)學(xué)家有阿基米德、牛頓,、歐拉,、高斯四人。拉普拉斯曾經(jīng)說(shuō),，讀讀歐拉吧,，他是所有人的老師。在北大未名BBS中,，ukim（北大數(shù)院學(xué)生于品,，現(xiàn)在在清華任教）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一個(gè)很好玩的故事：

John 和 Jacobi 這兩個(gè) Bernoulli 家族的人，都算不出來(lái)自然數(shù)倒數(shù)的平方和這個(gè)級(jí)數(shù),，Euler 從他老師 John 那里知道的,，并且給出了π2/6 這個(gè)正確的答案。Euler（歐拉）是他那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家,。法國(guó)有一個(gè)很著名的哲學(xué)家,，叫做 Denis Diderot，中文的名字叫做狄德羅,，是個(gè)無(wú)神論者,，這個(gè)讓葉卡捷琳娜女皇不爽，于是他請(qǐng) Euler來(lái)教育一下 Diderot,，其實(shí) Euler 本來(lái)是弄神學(xué)的,，他老爸就是的,，后來(lái)是好幾個(gè)叫 Bernoulli 的去勸他父親，才讓 Euler 做數(shù)學(xué)了,。Euler邀請(qǐng) Diderot 來(lái)了皇宮,，他這次的工作是證明上帝的存在性，然后,，在眾人面前說(shuō)：“先生,，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；請(qǐng)回答!”Diderot 自然不懂代數(shù),，于是被羞辱,，顯然他面對(duì)的是歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，他不得不離開(kāi)圣彼得堡,，回到了巴黎……

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler ,，1707年4月15日～1783年9月18日)，瑞士數(shù)學(xué)家,、自然科學(xué)家,。

歐拉本人得到歐拉公式后也非常喜歡。另一位大數(shù)學(xué)家高斯也說(shuō),，“一個(gè)人第一次看到這個(gè)公式而沒(méi)感覺(jué)到它的魅力,，他不可能成為數(shù)學(xué)家?！苯酉聛?lái)我們就來(lái)看看歐拉公式的證明方法,。

證明方法1——泰勒級(jí)數(shù)法

首先，我們可以把復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換一下：

就可以非常簡(jiǎn)單的泰勒公式推導(dǎo)歐拉公式：

這個(gè)證明方法本質(zhì)是構(gòu)造函數(shù),，利用中值定理可以得到歐拉公式,。

接下來(lái)我們看看為何它被譽(yù)為最美公式：

自然對(duì)數(shù)的“e”含于其中。

最重要的常數(shù) π 含于其中,。

最重要的運(yùn)算符號(hào) + 含于其中,。

最重要的關(guān)系符號(hào) = 含于其中。

最重要的兩個(gè)元在里面,。零元0 ,，單位1是構(gòu)造群，環(huán),，域的基本元素,。

最重要的虛單位 i 也在其中。

由此我們可以看到,，歐拉公式以簡(jiǎn)潔明了的形式把許多數(shù)學(xué)語(yǔ)言中最重要的元素放在一起，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美與統(tǒng)一美,。

正文到此結(jié)束,。用一張圖描述歐拉公式：